考點(diǎn)培優(yōu)練02一元二次不等式及基本不等式7大考點(diǎn)

???考點(diǎn)預(yù)覽

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考點(diǎn)01一元二次不等式及其解法....................................2

考點(diǎn)02一元二次不等式恒成立問(wèn)題..................................2

考點(diǎn)03一元二次不等式及其應(yīng)用....................................5

考點(diǎn)04利用基本不等式求最值......................................7

考點(diǎn)05二次與二次（一次）的商求最值..............................9

考點(diǎn)06基本不等式“1力的妙用.......................................13

考點(diǎn)07條件等式求最值............................................14

???考點(diǎn)通關(guān)<<<

考點(diǎn)01一元二次不等式及其解法

二次函數(shù)圖象、方程及不等式的關(guān)系

設(shè)y=ar+Z>.r+c(a>0),方程av2+/?x+c=0的判另”式/=從一4ac

判別式J>0J=0J<0

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根沒(méi)有

求方程)，=0的解b

解不等X|,X2(X|<X2)占=也=一五實(shí)數(shù)根

式)00畫函數(shù)丫=，*+加+。(。J/

或y<0\\0/

>0)的圖象o|串叼夕

的步驟

得等的集y>0{x|xVxi_或X>X2){巾?VXVJQ}R

不式解y<0{x|jqVxV%2}00

已知集合A={x|xvl},3={x|x2+2x_8<0},則從8=()

A.{x\x<4}B.{x|x<2]C.{.d-4<x<1}D.{A|-2<x<1}

【答案】B

【分析】先求出集合〃，然后結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可求解.

【詳解】集合A={x|x<l},?={X|X2+2X-8<0}={X|-4<X<2},

則AD8={X|XV2}.

故選：B.

2.不等式/一|川—6>0的解集為()

A.-3)(3,-Ko)B.(—co,-2)1(2,+co)

C.-2)o(3.-KO)D.—3)U(2.+00)

【答案】A

【分析】根據(jù)絕對(duì)值分類討論列式結(jié)合一元二次不等式計(jì)算求解即可.

x之0x<0

【詳解】八⑶一6>°等價(jià)于/

-x-6>0^\x2+x-6>0

.r>0x<0

“(x-3)(x+2)>0或(x+3)(x-2)>0,

解得x>3或x<-3.

故選：A.

3.不等式X2—3X+2〈0的解集為.

【答案】{x|l<x<2}

【分析】根據(jù)二次不等式的解法直接求解即可二

【詳解】《2-3%+2<0，

BP（x-2）（x-l）<0,

所以1cx<2.

故答案為：{x|l<x<2}.

4.已知關(guān)于x的一元二次不等式加+區(qū)一cvO的解集為何3。<5},則不等式以「+6—。〉。的解集

為?

【答案】

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集確定對(duì)應(yīng)方程的根和二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，利用韋達(dá)定理將仇C川4表示,

再化簡(jiǎn)所求的不等式并求解.

【詳解】已知不等式便+法-。<0的解集為{鄧<X<5},所以。>0,且方程加+加-。=0的兩根為3,5,

bc

根據(jù)韋達(dá)定理，=3+5,--=3x5,所以/w—8a,c=-\5a.

aa

不等式以工+法一?！怠？苫癁?5依2一g衣一〃>o,兩邊同時(shí)除以a,

得一即（3x+l）（5x+l）<0,解得

所以不等式GV?+/u--。>0的解集為“工一!<工<一:>.

JJ

故答案為：<X-

5.已知方程4』+（〃-2）.丫+（〃?-5）=0有一正根一負(fù)根，且正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值，則實(shí)數(shù)〃?的取值

范圍是.

【答案】（3,2）

【分析】結(jié)合題意根據(jù)二次方程的性質(zhì)，利用韋認(rèn)定理列不等式求解.

【詳解】因?yàn)榉匠??+(加一2卜+(6-5)=0,存在2個(gè)根,

所以A=(〃?-2)—-16(〃7—5)="/一20m+84=-6)(〃?-14)>0,

解得/〃<6或〃>14

設(shè)方程4*+("7-2)匯+(〃7-5)=0的兩個(gè)根為巧，與，

lit—5

因?yàn)閮筛?正i負(fù)，所以為?居二—^<0,解得〃?<5：

4

因?yàn)檎^對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值，所以內(nèi)+占=-噌>。，解得m<2,

綜上可得，機(jī)￡(-8,2).

故答案為：(-。,2).

6.已知函數(shù)f(x)=log3(〃比2+X+2),￡R.

⑴若的定義域?yàn)镽，求機(jī)的取值范圍；

⑵若的值域?yàn)镽，求〃?的取值范圍.

(1A

【答案】(1)￡,+8

(2)[o,1

O_

【分析】C)用l+x+2>0在R上，恒成立，分5=0,，〃土0兩種情況，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出

答案；

(2)、=帆，+3+2的值域必須包含(0,+oo),分〃=?0,〃?工。兩種情況，根據(jù)根的判別得到不等式，求出

答案.

【詳解】(1)函數(shù)/")=log3(〃/+x+2)的定義域?yàn)镽,則〃>+工+2>0在R上恒成立.

當(dāng)〃7=0時(shí)，x+2>0在R上不恒成立，不符合題意;

m>0

當(dāng)刑￥0時(shí),有解得〃?>J.

△=l-8/n<0O

綜上,，〃的取值范圍為

(2)函數(shù)/。)=唾3(〃請(qǐng)+1+2)的值域?yàn)镽,

則y=nix2+x+2的值域必須包含：0,內(nèi)).

當(dāng)〃?=0時(shí)，則y=x+2的值域包含(0,+8),符合題意；

m>0I

當(dāng)"7。()時(shí)，有(AI。、八，解得0v〃?W三.

A=l-8/?z>08

綜上，〃?的取值范圍為Nt.

_o_

考點(diǎn)02一元二次不等式恒成立問(wèn)題

a>0,

1.不等式"2+力大+00的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)。=0時(shí)，/?=(),c>0；當(dāng)〃=()時(shí)，〈

△<0,

[tz<0,

2.不等式aF+bx+cvO的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a=0時(shí)，b=0,c<0；當(dāng)時(shí)0時(shí)，《八

A<0,

7.已知I關(guān)于t的不等式質(zhì)2—6M-A+830對(duì)任意XGR恒成立，則我的取值范圍是()

A.O<A:<1B.()<A:<1

C.&<0或k>lD.kVO或0

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，分％=0和攵=0兩種情況討論，即可求出左的取值范圍.

【詳解】當(dāng)％=0時(shí)，不等式h2一6人+4+8之0化為82()恒成立，

當(dāng)士V0時(shí)，不等式上一一66+A+S之O不能恒成?7：,

當(dāng)心0時(shí)，要使不等式立-6G十—。恒成立，需△=36〃—4仰+以)4。，

解得OvE,

2

綜上所述，不等式kx—6kx+k+8^0對(duì)任意XGR恒成立，k的取值范附是04k?1,

故選：A.

8.已知不等式ar?+Zzx+1>0的解集{-^1——<x<1}>若對(duì)Brw[4,+8),不等式—"Lr—2aNO成立，則

實(shí)數(shù)〃?的最大值為()

A.3B.4C.5D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)題意結(jié)合三個(gè)二次之間的關(guān)系列式求參數(shù)恒成立問(wèn)題結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)列式求利的取

值范圍，即可得結(jié)果.

【詳解】不等式加+法+1>0的解集為卜彳。<1,則方程江+笈+1=0的兩根為-;，1,且。<。,

\b

所以J",解得［：，，

—IxI,=—1b=\

2a

不等式bx2-nix-2?>0,即為/一〃a+4之0,

故不等式x2-爾+420對(duì)Dxe[4,-K?)恒成立,

???二次函數(shù)y=/-孫+4的對(duì)稱軸為x=￡,則有：

H1/〃

—<4—>4A

①』2，解得機(jī)<5：或②2，，無(wú)解；

4j〃+4Z0償，〃X(?+4N0

綜上所述：加W5,所以實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為5.

故選：C

9.對(duì)于任意KWR,J/-2+2〃“T2都有意義，則/〃的取值范隹是()

A.mN2B.0<m<2C.0<m<2D.0<in<4

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法，分類討論計(jì)算即可.

【詳解】易知mx2+2mx+220恒成立，

顯然當(dāng)〃2=0時(shí),符合題意;

m>0

當(dāng)〃7工0時(shí)，要滿足題意需〈△=438i'即°<相2,

綜上0?〃?W2.

故選；C

10.f(x)=ax2-(\-2a)x-2.

⑴若對(duì)任意的x都有/(x)"x-3成立，求。的范圍;

⑵解關(guān)于x的不等式/(x)v0.

【答案】(1)04，”1

(2)否案見解析

【分析】（1）就4=0、。工0分類討論，后者再結(jié)合判別式可求。的范圍;

（2）就4=0、4>0、〃<一3、〃=一3及一;<“<（）分類討論后可得不等式的解集.

【詳解】（1）—3即為蘇+2如+1N0,

若4=0,則120t亙成立；若。工0,則4/一4.W0,UP0<?<L

故OWaWl

（2）/（工）<（）即為0￥2—（1一2〃）％-2〈0即（0￥—1）（工+2）<0,

①當(dāng)。=0時(shí),-x-2<0,即解集為（一2,田）,

②當(dāng)。工時(shí)，令（））得，

0x+23—1=0X,=-2,X2=1

⑺當(dāng)a>0時(shí)，1>0,開口向上，此時(shí)不等式的解集為卜I-2c<0；

（泊當(dāng)時(shí)，-2=：,開口向下，此時(shí)不等式的解集為｛x|x+-2｝；

（位）當(dāng)。〈-；時(shí)，-2<5<0,開口向下，此時(shí)不等式的解集為｛x|x<—2或

（浙）當(dāng)一』<a<0時(shí),1<-2,開口向下，此時(shí)不等式的解集為卜1彳<：或大2｝.

綜上所述，當(dāng)〃=0時(shí)，解集為｛%U>-2｝：

當(dāng)〃>0時(shí)，解集為b1一2<.1<，］；

a\

當(dāng)〃〈一〈時(shí)，解集為｛xl'<-2或x>L｝；

2a

當(dāng)〃=一；時(shí)，解集為3x0-2｝；

當(dāng)一，va<（）時(shí)，\x\x<-^x>-2｝.

2a

考點(diǎn)03一元二次不等式及其應(yīng)用

「莉再贏苜蔡茁訪芭插茶祚須由禾琴有近海笑縈「迎希米薜

I

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11.常熟“叫花雞”，又稱“富貴雞”，既是常熟的特產(chǎn)，也是聞名四海的佳肴，以其鮮美、香噴、酥嫩著稱.

雙十一購(gòu)物節(jié)來(lái)臨，某店鋪制作了300只“叫花雞”，若每只“叫花雞”的定價(jià)是40元，則均可被賣出；若每

只“叫花雞”在定價(jià)40元的基礎(chǔ)上提高x（xeN,）元，則被賣出的“叫花雞”會(huì)減少5x只.要使該店鋪的“叫

花雞”銷售收入超過(guò)12495元，則該店鋪的“叫花雞”每只定價(jià)應(yīng)為（）

A.48元B.49元C.51元D.50元

【答案】D

【分析】根據(jù)題意列出不等式求解即可.

【詳解】根據(jù)題意可得(40+x)(300—5x)>12495,整理得/一20工+99v0,

解得9cx<11,又xeN',所以x=10,該店鋪的“叫花雞”每只定價(jià)應(yīng)為40+10=50.

故選：D.

12.某商家為了提高一等品M的銷售額，對(duì)一等品M進(jìn)行分類銷售.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該商家有200件一等品

產(chǎn)品單價(jià)為元.現(xiàn)計(jì)劃將這200件i等品分為兩類:精品和優(yōu)品.其中優(yōu)品X件(mN”,C125),

分類后精品的單價(jià)在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加2x%,優(yōu)品的單價(jià)調(diào)整為機(jī)元(〃eN”)，因市場(chǎng)需求旺盛，

假設(shè)分類后精品與優(yōu)品可以全部售完.若優(yōu)品的單價(jià)不低「分類前一等品M的單價(jià)，且精品的總銷售額不

低于優(yōu)品的總銷售額，則〃的值可能為.

【答案】6或7

【分析】根據(jù)題意列出不等式組求解即可.

9

(x\fi?5<x<5(H-D

【詳解】依題意機(jī)(1+2X％)(2007)2〃?〃―六-貝I]2二y一、

I25J[x+50(3-n)x+10000>0

x>125

1tli25KxK25(〃-1)知：/?>6>且〃eN*,

t)00

由/+50(3—n)x+1000020知：〃K-----H-----+3在xe[125,200)上怛成立，

50x

因?yàn)?，=二+3+3在xe[125,200)上遞增，

50A

口一，125200°?.r

所以)'min二.+^^+3=7.1，即〃<7,

JU14J

綜上,6<7：<7?〃wN".

故答案為：6或7.

13.美國(guó)國(guó)家海洋和大氣管理局(NOAA)最近發(fā)布的?則預(yù)測(cè)引發(fā)全球關(guān)注：預(yù)計(jì)在2024年6月，拉尼娜

現(xiàn)象極有可能卷土重來(lái)；但盡管其可能帶來(lái)短暫冷卻，卻不足以逆轉(zhuǎn)全球變暖的趨勢(shì).某企業(yè)欲生產(chǎn)一款防

暑降溫套裝，其每月的成本(單位：萬(wàn)元)由兩部分構(gòu)成：

①固定成本(與生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量無(wú)關(guān))：2()萬(wàn)元；

(

②生產(chǎn)所需材料成木：1。工+二萬(wàn)元，”單位：萬(wàn)套)為每月生產(chǎn)產(chǎn)品的套數(shù).

(I)該企業(yè)每月產(chǎn)量工為何值時(shí)，平均每萬(wàn)套的成本最低？每萬(wàn)套的最低成本為多少？

(2)若每月生產(chǎn)x萬(wàn)套產(chǎn)品，每萬(wàn)套售價(jià)為：6°+沈)萬(wàn)元，假設(shè)每套產(chǎn)品都能夠售出，則該企業(yè)應(yīng)如何制

定計(jì)劃，才能確保該套裝每月的利潤(rùn)不低于625萬(wàn)元.

【答案】⑴尸20萬(wàn)套時(shí),每萬(wàn)套的最低成本為12萬(wàn)元；

(2)該企業(yè)至少要生產(chǎn)30萬(wàn)套，才能確保該套裝每月的利潤(rùn)不低于625萬(wàn)元.

r20

【分析】(1)根據(jù)已知有平均每萬(wàn)套的成本)，=10+芯+一,應(yīng)用基本不等式求最小值；

20X

2

(2)由題設(shè)得至ijxZ+20x-202625,解一元二次不等式求解，即可得結(jié)論.

20

【詳解】(1)由題設(shè)，平均每萬(wàn)套的成本)，=1()+④+三之10+2信平=12,

當(dāng)且僅當(dāng)工=20萬(wàn)套時(shí)取等號(hào)，平均每萬(wàn)套的成本最低為12萬(wàn)元/萬(wàn)套；

22

(2)由題設(shè)，該套裝每月的利潤(rùn)為f(x)=x(30+±)-(10x+L)-20=20x+±-20,

102020

2

所以/(x)=—+20x-20>625,可得丁+400K-12900=(x-30)[x+430)AO.

20

所以xN30,即該企業(yè)至少要生產(chǎn)30萬(wàn)套，才能確保該套裝每月的利潤(rùn)不低于625萬(wàn)元.

考點(diǎn)04利用基本不等式求最值

廠?????????■?■?■■?■?■?■■?■?■???■?????■?????????■???■，??????■???■?????????■?????■?????■?????????????????????????????■?■?■■?■?????■???????????????■?????■???■?■?1

j已知x>0,y>0,貝！J：

：(1)如果不，是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是2/萬(wàn)(簡(jiǎn)記：積定和最小).

2

；(2)如果R+y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，與，有最大值是今-(簡(jiǎn)記：和定積最大).

\注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”"三相等''三個(gè)條件缺一不可.

14.(多選)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足％+)，=1,則()

A.D有最大值為jB..d+.y2有最小道為:

C.干+；有最小值為5D.而1+廳乃有最大值為2&

【答案】BC

4y141

【分析】利用基本不等式即可判斷AB,由二+—二一+--4,利用基本不等式即可判斷C,利用

xyxy

(學(xué)J(當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)〃時(shí)，等號(hào)成立)，即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：由l=x+)?之2，■。=母式；1，當(dāng)且僅當(dāng)x=)，=；1時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：EhX>\—=—=>x2+y2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=7時(shí)，等號(hào)成立，故B正確:

2I2J422

…丁〃?4y14(l-x)14141(41Y_4yx__)4yx..

對(duì)『C：由上+—=-----+—=-+一-4,又一+—=-+—ix+y)x=5+—+—>5+2I——=9,

xyxyxyxyyyxyyxy

當(dāng)且僅當(dāng)曳=±nx=2y='時(shí)，等號(hào)成立，所以匕+，N9—4=5,故C正確；

xy3xy

對(duì)于D：由(Jx+1；囚+2[4HT)；(ay=+2=2,所以而1+歷工工2及，

\/

當(dāng)且僅當(dāng)[廳二時(shí)，所以等號(hào)不成立，故D錯(cuò)誤.

(x+y=l[y=o

故選：BC.

15.已知x>l,則f(x)=k的最小值為()

x-1

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

4

【分析】將函數(shù)配湊整理為/。)=(4-1)+，7+1,利用基本不等式可求得結(jié)果.

X—1

【詳解】止比=(i)+，_+i，

')x-lx-\'7x-1

Q.x>l,*r-1^0.

/(x)=(x-l)+—^―+1>2j(x-l)--^―+1=5,當(dāng)且僅當(dāng)xT=-^―,即x=3時(shí)取等號(hào)，

X—1VX—1X—1

所以/(力的最小值為5.

故選:B.

16.已知拋物線）3=2網(wǎng)（〃>0）的焦點(diǎn)為廣（4,0）,過(guò)尸作直線/交拋物線于兩點(diǎn)，則%1-司的最小

值為（）

7117

A.——B.—C.-D.—

312318

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出P，設(shè)出A,B坐標(biāo)，聯(lián)立直線和拋物線，利用設(shè)而不求思想結(jié)合基本

不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】

如圖，設(shè)拋物線丁=2川的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

..?焦點(diǎn)為尸（4,0）一二g=4,得P=8,即拋物線方程為），2=16X,

當(dāng)軸時(shí)，易得44,8）,8（4,—8）,則|4川=忸目=8,

川網(wǎng)4-81_7

貝丁時(shí)5一5-次

當(dāng)AB不垂直」軸時(shí),設(shè)斜率為hA（%,y）,5（馬,泗）,

則直線AB的方程為丁=刈工-4）,（攵工0）,代入y2=wr

可得公（工一4）2=16X,即k2x2一（弘2+16）x+16/=0,

8攵？+16

則fflll司+為=——；一，x,x=11A6,

k2

過(guò)人B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M,N,

則|AF|=|AM|=X]+4,忸q=忸入1=%+4,

__1__11_4+芭+4+占

\AF\+\BF\~4+x1+4+x,-（4+X,）（4+^）

?8-+16

3+/_16標(biāo)+16_1

8+%+x2

16+4%+4X+中2打/8爐+1664公+644

21Z6+16+4x----

ks~

1_I1

則由丁阿

于是，粵一向=粵-性向＞粵+向一整2杵懦

當(dāng)且僅當(dāng)寸=畫，即忸耳=6時(shí)取等號(hào).

71\BF\4.1

綜上：因77＞工，故—[7百的最小值為力.

1869|AF|3

故選:C.

V+[X+]

17.若lgr+lgy=2,則^—+:—的最小值為()

xy

【答案】B

【分析】先應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)，再應(yīng)用基本不等式計(jì)算即可得解.

【詳解】由l"+lgy=2得x>0,y>0,且不，=100.

p+1X+]I1

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=io時(shí)取“="，故」+—的最小值為

故選：B.

18.設(shè)正實(shí)數(shù)工、>、z滿足/-盯+y2-z=o,則值的最大值為（）

Z

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

xy_1

【分析】由已知條件可得出），利用基本不等式可求得與的最大值.

---*-----]z

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X、）'、Z滿足V一盯+y2—z=o,則z=F+y2—孫,

xy_.r)?

1

所以，zx2+y2-x)^

當(dāng)且僅當(dāng)±=2（x>0，）>。）時(shí)，即當(dāng)了=），時(shí)，等號(hào)成立,

故子的最大值為I.

故選：D.

19.不等式V+2g+4y2之。對(duì)于也42,3卜V），42.9]恒成立，則。的取值范圍是（）

C.D.[-1,-K?)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分離?參數(shù)得2。2--+4^對(duì)于Dxe[2,3],-T2,9]恒成立，通過(guò)換元求最值即可求出

\yx)

。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)椴坏仁??)，之-丁—力2對(duì)于Dxe[2,3],Wyw[2,9]恒成立,

所以不等式2a2-±+4^對(duì)于V,t?2,3],Dy?2,9]恒成立,

\y)

29

3,2

2929

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)g〃)=-(4f+；),/w--在--

32392上筆調(diào)遞減,

一

(§2、J=一2不s,所以2〃之一775'a~~V725,

故選：A

考點(diǎn)05二次與二次(一次)的商求最值

I、形如——=—!—<—4—m>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=j￡時(shí)等號(hào)成立;

ax~+bx+c以+6+￡2y/ac+bVa

x

2、形如加+隊(duì)+c，可以通過(guò)換元f=〃?x+〃分離降需轉(zhuǎn)化為對(duì)勾型

nix+n

20.設(shè)/(r)=丁―2「+2.?[].),貝汁()

2x-2

A.fMmin=1B.f(x)inax=1

C./U)min=-1D./(A-)max=-l

【答案】D

【分析】對(duì)/G)變形后，利用基本不等式求解.

【詳解】xe(-l,l),Ml-xe(0,2),

(x-l)2+lx-11\-x1

--------------1----------+

2(x-l)22(1)22(1-x)2(1-x)

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，則f(x)g、=T.

故選：D.

21.當(dāng)x>—1時(shí)，求函數(shù)y="-+2x+3的最小值

x+1

【答案】272

9

【分析】將函數(shù)變形成Jwi+I+T，再利用重要不等式即可求出結(jié)果.

X+1

【詳解】因?yàn)閤>-l,所以x+l>0,

),/+2X+3=(Z)-+2…”3之2j(x+l)x展=2技

x+1x++1\x+\

7

當(dāng)且僅當(dāng)X+I=-即工=&-1時(shí)，等號(hào)成立，

x+\

所以函數(shù)y="、2K+3的最小值為2&?

x+1

22.函數(shù)?在(1,+ec)上的最大值為____________.

2A--x+1

3

【答案】y

【分析】令％-1=，，貝打>0,則/")=21+3+2，利用基本不等式計(jì)算可得?

-t

3?3

【詳解】解：因?yàn)?(x)=c；,,xe(l,+oo),令x—l.,則f>0,

f⑺=------------------------=--------------=——-——<—=J=—=-

則'2(，+1)2-"+1)+12J+3/+22+3+)2乒+37，

2

當(dāng)且僅當(dāng)2/=-，￡=1即x=2時(shí),等號(hào)成立.

t

故/(X)的最大值為3.

3

故答案為：y

考點(diǎn)06基本不等式“1%的妙用

「:新罵漉.二疝鬼蔭京有薛菽瀛「而苛正曲以儲(chǔ)即f族菽

；形如癡+W=h出，可以通過(guò)同除油，化為丁+巴=，構(gòu)造“I”的代換求解.

ba

\2.形如a+8=r,求_!_+』型，則可以湊配(〃+〃?)+9)=/+〃7,再利用“1”的代換來(lái)求解..

a+mb

:其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來(lái)進(jìn)行變換湊配.

11

---------1--------

\(1)3、對(duì)于分?jǐn)?shù)型求最值，如果復(fù)合a+b=t,求。+機(jī)〃+〃型，則可以湊配(a+m)+(b+n)=t+m+n,

；再利用“1”的代換來(lái)求解.

122

23.已知。>0,〃>0,且——+￡=：，則4.+以的最小值為()

A.4B.16C.12D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，得到4（。+2）+2匕=]x[4（a+2）+勿x（」二十馬=葭[8+2；+艮曾],結(jié)合基本不

2a+2b2a+2b

等式，求得4（。+2）+2/＞的最小值，進(jìn)而求得4a+幼的最小值，得到答案.

【詳解】由題意知：實(shí)數(shù)。＞0力＞0,且一+

a+2b3

又4。+2%=4（。+2）+2〃-8

因?yàn)?（a+2）+2b=]x[4（a+2）+如x（＜+5=葭[8+々+華辿]

2a+2b2a+2b

之,8+2白F^^]=[X（8+8）=24，

當(dāng)且僅當(dāng)蕓=絲空時(shí)，即。=11=6時(shí)，等號(hào)成立，

a+2b

所以4〃+2/?224-8=16,即4〃+勸的最小值為16.

故選：B

14

24.設(shè)S”為正項(xiàng)等差數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，若5^5=2025,則一+——的最小值為（）

°h“2020

59

A.-B.-C.9D.5

22

【答案】B

【分析】由條件可得。6＞0,〃刈0＞。，由02025=2025根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得4+%必=2,結(jié)合等差數(shù)

14

列性質(zhì)可得4+生02。=2,再利用基本不等式求一+—的最小值即可.

a6a2G2O

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛/｝為正項(xiàng)等差數(shù)列，所以4＞。，生網(wǎng)＞。，

S,oi5=2025,可得（《十生一卜2云=2025,即q+a抄$=2,

2

由等差數(shù)列性質(zhì)可得％+4020=4+“2025=2,

所以—+—（。6-。2020）=以5+5也+

4a202021442020J214

因?yàn)?>0,a2020>0,故—>0,巴?〉（），

a6a2O2Q

則上理+222畫x也=4,當(dāng)且僅當(dāng)況=9時(shí)等號(hào)成

aba2020V。6a2020線“兩

^220=_H_24

由J?6%020解得％=§，。2021=3，

at>+。2020=2

7414IQ

即當(dāng)a=￡，%3=工時(shí)，—+~—取得最小值為彳（5+4）=不，

35a6a2O2OLL

故選:B.

I9

25.若直線依一力+2=0（〃>0,。>0）經(jīng)過(guò)圓/+八41-4），+4=0的圓心，則;十楙的最小值為（）

3l95

A.—+v2B.2&+3C.-D.—

【答案】B

【分析】由直線過(guò)圓心得到a+。=1，再結(jié)合乘“1”法即可求解.

【詳解】由/+）3+4]一4），+4=0,可得圓心坐標(biāo)（一2,2）,

因?yàn)橹本€以-處+2=0（。>0油>0）過(guò)圓心，

所以一勿一2/7+2=0,即〃+。=1,

所以，+2=（a+b）（l+2]=2+3￡+3N2&+3

ab\ab）ab

（當(dāng)且僅當(dāng)2=羊，即。=應(yīng)—1,〃=2—取等號(hào)，

ab

i0

所以一+工的最小值為2忘+3，

ah

故選：B

26.（多選）若〃?，〃都為正實(shí)數(shù)，且〃?+〃=2則（）

A.小〃的最大值為1B.*+±的最小值為9

mn

C./〃2+〃2的最小值為2D.n2+2m<3

【答案】ABC

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式及的妙用逐項(xiàng)求解判斷.

z\2

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?>0,〃>0,〃?+〃=2,所以—=1,

I2）

當(dāng)且僅當(dāng)m=k=1時(shí),取等號(hào)，所以“7〃的最大值為1,故A正班;

一281128、/、1或2Hf⑵[8〃？]

對(duì)于B,—+—=——F—（/7Z+=—10+—+—>—10+2J------=9,n

mn2VinnJ21innJ2（innJ

當(dāng)且僅當(dāng)生=則，即〃?=時(shí)，取等號(hào)，所以2+芻的最小值為9,故B正確；

mn33mn

對(duì)于c,由小匹9之等,得病+〃2之（〃；7）1=2,當(dāng)且僅當(dāng)m=〃=1時(shí)，取等號(hào),

所以蘇+〃2的最小值為2,故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)?〃+〃=2,

所以〃2+2〃]=//+2（2—〃）=〃2—2〃+4=（〃-1）~+323,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

考點(diǎn)07條件等式求最值

「可莉甬藏百巨知蔡祥福X酒完「由式芬解:阡耳漱策偏

I

’*1■?■?????■???????■?????■?■????????,??????????■???■，■?????■?????????????■?■???????■?????■???????????????■?????????????????????????????■???????■???■?■??

27.若實(shí)數(shù)m6滿足（。-力尸=2-他，則而的取值范圍為（?

A.（-2,2]B.H⑵C.[-2,2]D.-1,2

【答案】D

2

【分析】由3-〃）2=2-岫20得到a〃K2,變形得到/+從=2+曲2-2",解得"之一4，得到答案.

【詳解】^（a-b）2=2-ab>0,得帥42,當(dāng)且僅當(dāng)“=b=役或〃=2=-忘時(shí)，等號(hào)成立；

由3-與2=2—〃〃，得/+7/=2+4〃之0,解得"之一2,

當(dāng)a=0=0時(shí)不滿足（d-/?）2=2-ab,所以>一2：

又（a+”之0,i*&a2+b2=2+ab>—2abf解得"N-

當(dāng)且僅當(dāng)〃=逅/=-亞或〃=-"/=逅時(shí)，等號(hào)成立.

3333

9

綜上，——<ab<2.

故選：D.

28.已知正實(shí)數(shù)蒼），滿足D+x+2y=6,則x+2），的最小值是（）

A.25/2+2B.4C.5D.2G

【答案】B

Q