6.4.2探索三角形相似的條件.兩角證明相似

分層練習(xí)

基礎(chǔ)練

考察題型一兩角證明相似

1.如圖，要使可以添加條件：.

A

【詳解】解：可添加條件：ZAEF=ZACB,

證明如下：

?.ZAEF=ZACB,

：.MFE^>AABC.

故本題答案為：ZAEF=ZACB（答案不唯一）.

2.下列四組圖形中不一定相似的是（）

A.有一個(gè)角等于40。的兩個(gè)等腰三角形

B.有一個(gè)角為50。的兩個(gè)直角三角形

C.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形

D.有一個(gè)角是60。的兩個(gè)等腰三角形

【詳解】解：A中可能一個(gè)是底角為40。，另一個(gè)為頂角為40°,.?.不一定相似；

8中相當(dāng)于兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，.?.一定相似；

C中直角三角形，且有一銳角相等，.?.一定相似；

。中60。的等腰三角形即為等邊三角形，.?.一定相似.

故本題選：A.

3.在A48C中，ZACB=90°,用直尺和圓規(guī)在AB上確定點(diǎn)O,使，根據(jù)作圖痕跡判斷,

正確的是（）

A.CB.

【詳解】解：當(dāng)CD是49的垂線時(shí)，MCD^^CBD,

CD1AB.

/.NCDA=NBDC=W,

?.ZACB=90°,

...Z4+ZACD=ZACD+/BCD=90°,

:.ZA=NBCD,

..AACD^^CBD.

由作圖痕跡可知:

A選項(xiàng)中，8是NAC8的角平分線，不合題意;

8選項(xiàng)中，8不與垂直，不合題意；

C選項(xiàng)中，CD是的垂線，符合題意；

。選項(xiàng)中，C。不與回垂直，不合題意.

故本題選：C.

4.如圖，AABC中，NA=65。，44=6,47=3,將MAC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三

A.B.

【詳解】解：A、根據(jù)平行線截得的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似：

A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似；

C'、兩三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，故兩三角形不相似；

兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似.

故本題選：C.

5.AA8C為。的內(nèi)接三角形，AO為8C邊的高，AE為O的直徑.求證：AABE^MDC.

A

4E為：O的直徑,

/.ZABE=90°，

月。為AC邊的高,

.?.ZADC=900，

；.ZABE=ZADC,

又/E=NC,

^ABE^^ADC.

考察題型二判斷相似三角形的個(gè)數(shù)

1.如圖，在平行四邊形A8CD中，石是延長線上一點(diǎn)，連接。石，交AC于點(diǎn)、G,交BCF點(diǎn)、F,那么

圖中相似三角形（不含全等三角形）共有（）

C.4對(duì)D.3對(duì)

【詳解】解：.四邊形ABCD是平行四邊形,

:.ZEBF=AEAD,ZEFB=ZEDA,

/.NEFB^NEAD：

同理可得：AFGC^ATXM,^EBF^ADCF,AGAE^AGCD,MDE^CDF.

故本題選：B.

2.如圖，在A48C中，高BD、CE相交于點(diǎn)尸.圖中與AAEC一定相似的三角形有（)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【詳解】解：,.NA=ZA，ZAEC=ZADB=9QP,

ZACE=ZABD,

乂?.NA￡C=4￡C=90°,

:MECs江EB,

?ZACE=ZACE,ZAEC=ZADB=9（r,

MJEC^AFDC.

故本題選：c.

3.如圖，正方形ABC。中，石是C。的中點(diǎn)，AE.BC的延長線交于點(diǎn)尸，AE的垂直平分線分別交AE、

BC于EH、G,連接EG,則與AFEC相似的三角形個(gè)數(shù)為（）

C.3D.4

【詳解】解：?四邊形A88是正方形，

:.EC//AB、ZD=ZDCB=ZDCF=9O>,

/.AFEC^zXEAB，

DE=EC，ZAED=/FEC,

:.AECF=EDA(ASA),

?GHLAF,

NFCE=NFHG，

?ZF=ZF，

:.gCFs.HG.

故本題選：C.

考察題型三先證明相似，再求值

1.如圖，。、E分別是A4BC邊AB,AC上的點(diǎn)，NAD￡=NACB,若4）=4,AB=12,AC=8,則AE

的長是（）

A.2B.4C.6D.8

【詳解】解：?.44=NA，ZADE=ZACB,

ADAE

??1=1,

ACAB

4AE

??一=，

812

AE=6.

故本題選：C.

2.如圖，在AABC中，BC的垂直平分線MN交相于點(diǎn)。，C￡＞恰好平分NAC8.若4）=2,BD=3,

則AC的長是（）

【詳解】解：8C的垂直平分線交于點(diǎn)O,

CD=BD=3，

:.NB=/DCB，AB=AD+BD=5,

?.ar平分NACB,

ZACD=/DCB=NB,

ZA=ZA?

/.MCD^zXABC.

即4￡=2,解得：,4c=Vio.

ABAC5AC

故本題選：A.

3.如圖，正方形ABC。中，M為BC上一點(diǎn)、,ME1AM,ME交AD的延長線于點(diǎn)E.若A3=15,BM=8,

【詳解】解：四邊形ABC。是正方形，AB=15,8M=8,

二.MC=15-8=7,

1.MEA.AM,

.?.ZWE=90°，

/.ZAMB十乙CMG-90°,

ZAA/S+ZB4M=90。，

:.ZBAM=/CMG,ZB=ZC=90°，

:.加MsWCG，

ABBM

~MC~~CG

-=—，解得:CG=—

7CG15

,QG=I5-組爭

1515

AE//BC,

:"=CMG,NEDG=/C，

/.AMCG^AEDG,

.MCCG

~DE~~DG

56

-2_=五

DE169

15

:.DE^

8

故本題答案為：—

8

4.加圖，已知半圓。與四邊形ABCQ的邊AD、AB.BC都相切，切點(diǎn)分別為￡）、E、C,半徑0c=1,

則AE?BE=

【詳解】解：如圖，連接OE,

.?圣1員|0與四邊形八〃6的邊4）、AB.BC都相切，切點(diǎn)分別為￡）、石、C，

：.OELAB,AOJLCD，BC工CD,ZOAD=ZOAE,/OBC=/OBE、

：.AD//BC,

:.ZDAB+ZABC=\8(T,

:.ZOAB+ZOBA=90°,

ZAOB=90°,

?.N3E+ZAOE=900,ZAO￡+4O￡=90°,

：.ZEAO=ZEOB,

?.ZAEO=NO￡B=90°，

/.MEO^AOEB.

AEOE

..---=---,

OEHE

:.AE.BE=OE2=\.

故本題答案為1.

考察題型四分類討論思想在相似中的應(yīng)用

I.如圖，點(diǎn)?是RtAABC斜邊3c上異于8,。的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線械A(chǔ)43C,使截得的三角形與AA3C

相似，滿足這樣條件的直線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【詳解】解：過尸點(diǎn)作直線截AABC,則截得的三角形與A4BC必有一公共角NC，

VA48c是直角三角形，

?,?只要再作一個(gè)直角即可使截得的三角形與RtAABC相似，

過點(diǎn)尸可作AB的垂線、AC的垂線、8c的垂線，共3條直線.

故本題選：C.

2.如圖，點(diǎn)P是等腰A48C的腰上的一點(diǎn)，過點(diǎn)?作直線（不與直線重合）截AA8C,使截得的三

角形與原三角形相似.滿足這樣條件的直線最多有（）

A

A.2條B.3條C.4條D.5條

【詳解】解：?.BA=BC,

.-.ZA=ZC,

如圖，

①作尸E//8C,可得A4P￡SA4BC.

②作尸產(chǎn)//AC,可得M尸尸sMAC.

③作NAPG=NA,可得AAG戶cAABC,

故本題選：B.

3.如圖，在AABC中，AC=8,BC=4,A8=10,尸是AC上一點(diǎn)，CP=2,點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒

1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.當(dāng)宜線PQ截AA8C,存在與AA8C相似的三角形

【詳解】解：?.AC=8，BC=4,48=10,P是AC上一點(diǎn)，C尸=2,

:.AP=AC-CP=S-2=6^

.?點(diǎn)。從點(diǎn)八出發(fā)，以每秒I個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒,

AQ=lx/=r,

當(dāng)直線PQ截AA3C,存在與4WC相似的三角形時(shí)，有以下兩種情況:

①當(dāng)N4QP=NC時(shí)，MPQSA4BC,如圖I所示：

f=4.8；

②當(dāng)NAQP=/8時(shí)'△AQPSMBC,如圖2所示:

r=7.5,

,號(hào)直線PQ截AABC,存在與AABC相似的三角形時(shí)，，=4.8秒或7.5秒.

故本題答案為：4.8秒或7.5秒.

4.如圖，AB,DE是O的直徑，點(diǎn)C在（O上，NABC=20＞,點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針方向繞圓心O

旋轉(zhuǎn)。。（0＜口＜180）,當(dāng)。=時(shí)，直徑止在A/WC中截得的三角形與AWC相似.

【詳解】解：分三種情況:

①當(dāng)OE_LAA時(shí)，百徑DE在AABC中截得的三角形與AA4C相似,

ZABC=2(T,OB=OC,

.-.ZOCB=Z4BC=20°,

NCOD=ZAOD-ZAOC=90°—40。=5/，

「.a=50:

②當(dāng)OEJ.BC時(shí)，直徑DE在AABC中截得的三角形與AABC相似，

:.NCOD=4BOD=7伊,

a=70,

③當(dāng)OEJ.AC時(shí)，直徑DE在AABC中截得的三角形與AABC相似.

/.Z.COE=ZAOE=ZABC=20°,

.*.cr=ZCOD=160.

故本題答案為：50或70或160.

提升練

1.已知為【O的直徑且M=2,點(diǎn)。是二O上一點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)D在半徑OB上,且人。=AC,

AE與過點(diǎn)。的。。的切線垂直，垂足為E.若N￡4C=36。，則CD=,OD=.

【詳解】解：如圖：連接OC,

設(shè)OD=x，

.?直徑A6=2,

..OA=OC=\,

AD=AC=I+x,

,EC與O相切于點(diǎn)C，

：.OC±EC,

?.AE±EC,

/.ZA￡C=90°,

:.AE//OC,

.?.NE4C=ZACO=36。，

?.OA=OC^

ZACO=ZOAC=36c,

?：AC=AD,

：.ZADC=ZACD=72?,

NOCD=ZACD-ZACO=36°,

?.ZCOD=2ZG4D=72°,

:"COD=ZADC=M,

OC=DC=1,

：.ZOCD=ZCAD^ZADC=/ODC,

:.ADOC^SDCA^

DODC

.?''=,

DCDA

經(jīng)檢驗(yàn)：x=z!A2色是原方程的根，

2

?/A>0,

：.OD=2L

2

故本題答案為：i,士4i.

2

2.如圖，A4BC是邊長為6o〃等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、8出發(fā)，分別沿45、8c方向勻速運(yùn)

動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是k7〃"，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),

在運(yùn)動(dòng)過程中作QR//84交AC于點(diǎn)R,連接PR,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s),當(dāng)/=s時(shí)MPRS"RQ.

【詳解】解：AA3C是邊長為等邊三角形，

.?.ZA=ZB=ZC=60°,

?.QR//BA,

.?.NCRQ=ZA=60。，NCQR=NB=60。,

「.△CRQ為等邊三角形，

一點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的速度是k〃"s，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度是2c〃z/s,

/.AP=t,PB=6T,BQ=2f,CQ=CR=RQ=6-2i,AR=2t,

?QRMBA,

NQRP=ZAPR,

若要'\PRs"RQ,則需滿足/RPQ=60°,

/./RPQ+7APR=]20°,/ARP+/APR=1?O°.

NBPQ=AARP,

又?=

MPRs^QP,

BP_BQ

獲一而‘

―-=—?解得：/=1.2.

2tt

故本題答案為：1.2.

3.如圖，在AA8C紙板中，AC=8,BC=4,AB=10,尸是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)。沿直線剪下一個(gè)與AA8C

相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么"長的取值范圍是—.

【詳解】解:①如圖，過尸作9//48交于?；蚴?。/8C交4?于E，則或/SAPE^/SACB,

此時(shí)()<AP<8；

②如圖，過產(chǎn)作NAPW="交AB「",則―"SA43C,

此時(shí)0<A巴8；

③如圖，過P作NCPG=NCBA交BC于G，則△CP8AC84,

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)8重合時(shí)，CB?=CPxCA,即42=6x8,

：.CP=2,AP=6,

此時(shí)，a,AP<8；

綜上，要有4種不同的剪法，使得過點(diǎn)。沿直線剪下一個(gè)與A4BC相似，則”長的取值范圍是6,AP<8.

故本題答案為：6,4P<8.

4.如圖，RtAABC中，NR4C=90。，他=AC=3,點(diǎn)。在8C上運(yùn)動(dòng)(不能經(jīng)過8、C),過。作ZAZ)￡=45。,

OE交AC于￡.

(1)證明：AABD^ADCE;

(2)設(shè)9=x,AE=y,求)，與工的函數(shù)關(guān)系，并寫出其自變量取值范圍；

(3)若三角形ADE1恰為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出AE的長，不必說明理由.

【詳解】（1）證明：AB=AC=3,NE4C=90。,

/.ZB=ZC=45°?BC=3近,

ZADC=/MD+ZB=45。+ZB4D，

ZADC=ZADE+ZEDC=45°+ZEDC,

:.ZBAD=ZEDC

?ZZ?=ZC=45°,

(2)解：AB=AC=3,44C=90°,

/.BC=3應(yīng),

,BD=x，AE=y,

/.DC=3夜-x，CE=3-y>

MBAADCE，

ABBD

??,

DCCE

3x

/.y=-x2-x/2x+3(0<x<3>/2)；

3

(3)解：當(dāng)M)石為等腰三角形時(shí)，

①若AD=OE，

,MBAADCE,

:.MBDwNXJE,

CD=AB=3，

:.yj2-x=3,

x=3\/2—3，

AE=y=6—3\/2；

②若AD=AE，

則/A￡D=N4D￡：=45。，

/.ZmE=90%

即。與4重合，

不合題意，舍去：

③若AE=OE，如圖,

...ND44=90°,

：.DE±AC,

ABA.AC,

:.DEIIAB,

;.NEDC=NB=45°,

..ZADC=Z4DE+N￡DC=90。，

.?.A/UX?是等腰直角三角形，

...AE=-AC=

綜上，AE=6-3夜或。.

2

5.如圖，正方形A6C￡＞的邊長為4,石是3c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過P作石于尸，設(shè)P4=x.

（1）求證：

（2）若以P，F(xiàn),石為頂點(diǎn)的三角形也與AABE相似，試求x的值；

（3）試求當(dāng)x取何值時(shí)，以。為圓心，為半徑的CO與線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn).

【詳解】（1）證明：四邊形48a＞是正方形,

..AD//BC,

/.ZABE=90°，

：.ZPAF=ZAEB^

又.PF±AE,

...NPE4=ZABE=90°，

:.bm-BE、

(2)解：①當(dāng)AEf尸sAABE，且NPEF=ZE4B時(shí)，則有尸E//AB,

.?.四邊形ABEP為矩形，

:.PA=EB=2,即x=2；

②當(dāng)"FEsMBE,且NP￡F=NA旗時(shí)，

?NPAF=ZAEB,

:.ZPEF=ZPAF、

:.PE=PA,

?PhAE,

.?.點(diǎn)尸為AE的中點(diǎn)，

AE=4AB?+BE?="+2?=>/20=275,

EF=-AE=y/5,

2

PEEF日nPE也

---=,卜|」-==?

AEEB2V52

:.PE=5,即x=5；

綜上，滿足條件的x的值為2或5；

oR

(3)解：如圖，作D”J_AE,則:。與線段AE的距離［即為￡>〃的長，可得：d=—,

5

①當(dāng)點(diǎn)P在AP邊上時(shí)，D的半徑廠=/)P=4-x,

如圖，。與線段AE相切，

J=4-----；

5

②當(dāng)I點(diǎn)?在At)的延長線上時(shí)，D的半徑/=￡>P=x-4：

(i)如圖，,，。與線段AE相切,

[BEC

此時(shí)d=r,即—^―=X—4>

5

=4+鳴

5

DE=JCD2+EC2=2后,

：.PA=PD+AD=4+2x/5；

綜上，當(dāng)x=4-半或4=4+，或8<匕4+2后時(shí)，與線段AE1只有一個(gè)公共點(diǎn).

6.［初步嘗試］

(1)如圖①，在三角形紙片A4C中，248=90。，將AA4c折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，折痕為MN,則AM

與BM的數(shù)量關(guān)系為一；

［思考說理］

(2)如圖②，在三角形紙片ABC中，AC=BC=6,AB=IO,將A4BC折疊，使點(diǎn)、B與點(diǎn)、C重合,折痕

為MN,求處的值；

BM

［拓展延伸］

(3)如圖③，在三角形紙片ABC中，AB=9,BC=6,NAC8=24,將A48C沿過頂點(diǎn)C的直線折疊,

使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)6處，折痕為CM.

①求線段AC的長;

②若點(diǎn)O是邊4c的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段O?上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將A4尸M沿折疊得到4點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

PF

點(diǎn)為點(diǎn)ALAM與CP交于點(diǎn)尸，求々的取值范圍.