專題02一元二次方程的應(yīng)用的五類綜合題型

目錄

典例詳解

類型一、利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問題

類型二、利用一元二次方程解決傳播問題

類型三、利用一元二次方程解決營(yíng)銷問題

類型四、利用一元二次方程解決與圖形有關(guān)的問題

類型五、利用一元二次方程解決動(dòng)態(tài)幾何問題

壓軸專練

念.類型一、利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問題

一、增長(zhǎng)率問題的基本公式

增長(zhǎng)率問題的核心公式為：N=,其中：

a表示初始量（基期量）；

x表示平均增長(zhǎng)率（通常設(shè)為未知數(shù)）；

〃表示增長(zhǎng)次數(shù)（如年數(shù)、周期數(shù)）；

N表示經(jīng)過〃次增長(zhǎng)后的最終量（末期量）。

若為下降率，則公式變?yōu)镹=心-X）"，x為平均下降率。

二、一元二次方程的建立與求解

當(dāng)增長(zhǎng)次數(shù)歸2時(shí)，公式可轉(zhuǎn)化為一元二次方程：。（1+x）2;N。

步驟：先整理方程為一般形式加=0（此處。為系數(shù)，與初始量。區(qū)分），再用配方法、公式法或因

式分解法求解。

注意：解出的x需為正數(shù)（增長(zhǎng)率），且符合實(shí)際意義，需舍去不合理的解（如負(fù)數(shù)解）。

三、實(shí)際問題中的關(guān)鍵分析

明確“初始量”和“末期量”：需從題目中準(zhǔn)確提取增長(zhǎng)前后的具體數(shù)值，避免混淆。

區(qū)分“累計(jì)增長(zhǎng)”與“單次增長(zhǎng)”：若問題涉及兩年的總增長(zhǎng)量，需用“第一年增長(zhǎng)量+第二年增長(zhǎng)量=

總增長(zhǎng)量”列式，而非直接套用平方公式。

單位與精度：結(jié)果通常需化為百分?jǐn)?shù)，且根據(jù)題意保留合適的小數(shù)位數(shù)（如精確到1%）。________________

例I.交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守"一盔一帶'’的規(guī)定.某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔3月

份到5月份的銷量，該品牌頭盔3月份銷售375個(gè)，5月份銷售540個(gè)，且從3月份到5月份銷售量的月增

長(zhǎng)率相同.

⑴求該品牌頭盔銷售星的月增長(zhǎng)率；

（2）若月增長(zhǎng)率不變，求7月份銷售頭盔多少個(gè)？

【變式1-1】在國(guó)家積極政策的鼓勵(lì)下，中國(guó)新能源汽車的市場(chǎng)需求呈螺旋式上升，某汽車企業(yè)2023到2025

這兩年4型汽車年銷售總量增加了60%,年銷售單價(jià)下降了10%.

⑴設(shè)2023年銷售A型汽車總量為。萬輛，銷售單價(jià)為〃萬元，請(qǐng)用代數(shù)式填表：

年份年銷售A型汽車總量/萬輛年銷售A型汽車單價(jià)/萬元年銷售4型汽車總額/億元

2023ab①______

20251.6〃0.9Z?②______

（2）該汽車企業(yè)A型汽車這兩年銷售總額的年增長(zhǎng)率相同，求年增長(zhǎng)率.

【變式1-2】某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，2022年甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)均為125元，隨著生產(chǎn)成本

的降低，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)年平均下降25元，乙種商品2024年每件的進(jìn)價(jià)為80元.

⑴求乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均=降率；

（2）2024年該超市用不超過7800元的資金一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，求最少購(gòu)進(jìn)多少件甲種商品.

【變式1-3】為了滿足人們對(duì)于精神文明的需求，某市決定逐步在各社區(qū)建設(shè)微型圖書閱覽室.2022年投

入資金2000萬元，2024年投入資金2880萬元，假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同.

⑴求該市2022年至2024年建設(shè)微型圖書閱覽室投入資金的增長(zhǎng)率；

⑵2024年每個(gè)社區(qū)建設(shè)微型圖書閱覽室的平均費(fèi)用為100萬元.2025年為提高微型圖書閱覽室品質(zhì)，每個(gè)

社區(qū)建設(shè)費(fèi)用增加25%,如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2025年最多可以給多少個(gè)社區(qū)建設(shè)微

型圖書閱覽室？

怎類型二、利用一元二次方程解決傳播問題

一、傳播問題的基本模型與公式

傳播問題的核心模型基于“每輪傳播的數(shù)量固定”的規(guī)律，其通用公式為：o其中：

?代表初始傳播源的數(shù)量（如開始感染病毒的人數(shù)、初始傳播消息的個(gè)體數(shù)）；

k表示每個(gè)傳播源在一輪傳播中平均能影響的新個(gè)體數(shù)量（例如一個(gè)人平均能傳染給k個(gè)人）；

〃為傳播的輪數(shù)；

N是經(jīng)過〃輪傳播后的總數(shù)量（包含初始源和新增個(gè)體）。當(dāng)〃=2時(shí)，公式變?yōu)橐辉畏匠?。?+

公2=N,此為解決兩輪傳播問題的常用表達(dá)式。

二、一元二次方程的構(gòu)建與求解要點(diǎn)

在傳播問題中建立方程時(shí)，需依據(jù)題目描述確定〃、々、N的具體數(shù)值。

三、實(shí)際應(yīng)用中的關(guān)鍵分析

區(qū)分“傳播后總數(shù)”與“新增數(shù)量”：題目可能要求計(jì)算新增個(gè)體數(shù)量，需用傳播后的總數(shù)減云初始源數(shù)

量。如上述例子中，第二輪新增感染人數(shù)為121-1-1x10=11()人。

挖掘隱含條件：部分題目未直接給出輪數(shù)，需根據(jù)時(shí)間、事件發(fā)展階段等條件推斷。例如“經(jīng)過兩天感

染人數(shù)達(dá)到加人，每天感染人數(shù)相同”，可默認(rèn)一天為一輪傳播，從而確定傳播輪數(shù)〃二2。

注意單位與取值范圍：傳播數(shù)量必須為非負(fù)整數(shù)，結(jié)果需符合實(shí)際場(chǎng)景，避免出現(xiàn)小數(shù)或負(fù)數(shù)解。通過

以上三點(diǎn)，可系統(tǒng)掌握利用一元二次方程解決傳播問題的核心邏輯與解題技巧。

例2.某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)量的小分支，主干、支干和小分支的總

數(shù)是73,每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？

【變式27】有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感.

⑴問每輪傳染中平均1個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

(2)如果有兩個(gè)人患了流感，若不及時(shí)控制，第三輪傳染后共有多少人患流感？

【變式2-2］據(jù)最新監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)顯示，2024年流感疫情在全球范圍內(nèi)呈現(xiàn)出一定的波動(dòng)，但總體趨勢(shì)以甲型

流感(4型流感)為主.特別是八(HIM)p山〃09亞型流感病毒，成為當(dāng)前最主要的流行毒株.某興趣小

組，通過收集數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)最開始如果右一個(gè)人患了甲流，經(jīng)過兩輪傳染后共后81人患了流感，請(qǐng)問每輪傳

染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

【變式2-3】在一次聚會(huì)上，規(guī)定每?jī)蓚€(gè)人見面必須握手，且握手1次.

⑴若參加聚會(huì)的人數(shù)為3,則共握手次；若參加聚會(huì)的人數(shù)為5,則共握手次;

若參加聚會(huì)的人數(shù)為〃(〃為正整數(shù))，則共握手次；

⑵若參加聚會(huì)的人共握手28次，請(qǐng)求出參加聚會(huì)的人數(shù)；

(3)嘉嘉由握手問題想到了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：若線段上共有〃，個(gè)點(diǎn)(不含端點(diǎn)A,B),線段總數(shù)為多少呢？

請(qǐng)直接寫出結(jié)論：

(4)小明想到另一個(gè)數(shù)學(xué)問題：若"邊形的邊數(shù)增加1,對(duì)角線總數(shù)增加9,求邊數(shù)〃的值.

等.類型三、利用一元二次方程解決營(yíng)銷問題

一、利潤(rùn)問題的基本數(shù)量關(guān)系

營(yíng)銷問題的核心公式為：總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)x銷售數(shù)量。其中，單件利潤(rùn)=售價(jià)

進(jìn)價(jià)；售價(jià)常通過“原價(jià)土價(jià)格調(diào)整量”表示，銷售數(shù)量與價(jià)格調(diào)整存在關(guān)聯(lián)，如價(jià)格每降低加元，銷量增加

〃件。這些關(guān)系是構(gòu)建方程的基礎(chǔ)，例如售價(jià)為x元，進(jìn)價(jià)為。元，初始銷量為8件，價(jià)格每降1元多售M牛，

則總利潤(rùn)y=(x-a)［b+c(原價(jià)-x)］。

二、一元二次方程的建立與求解

根據(jù)題目中“總利潤(rùn)目標(biāo)”或“銷量與售價(jià)關(guān)系”，將上述數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程。如已知總利潤(rùn)為固

定值，代入公式得到形如。-〃）S+

J）=d的方程，整理為一般式后用合適方法求解。需檢驗(yàn)解的合理性，舍去使售價(jià)或銷量不符合實(shí)際（如為

負(fù)）的解。

三、實(shí)際問題中的變量分析

要精準(zhǔn)分析價(jià)格、銷量、成本等變量間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。例如，考慮價(jià)格調(diào)整對(duì)銷量的影響方向（增或減），

以及成本是否隨銷量變化。同時(shí)，結(jié)合實(shí)際經(jīng)營(yíng)場(chǎng)景判斷最優(yōu)解，如求最大利潤(rùn)時(shí)，可通過二次函數(shù)性質(zhì)

或比較方程的解，選擇符合市場(chǎng)條件的售價(jià)方案。

例3.在2024年W77大滿貫比賽期間，買一件文創(chuàng)丁恤去看比賽，成為了體育迷們的“儀式感〃.商店以40

元每件的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批這樣的丁恤，以每件60元的價(jià)格出售.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，四月份的銷售量為192件，六月份

的銷售量為300件.

⑴求該款丁恤四月份到六月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率.

⑵從七月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)銷售回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該款7恤在六月銷售量的基礎(chǔ)匕每降1

元，月銷售量就會(huì)增加20件，則七月份的利潤(rùn)能達(dá)到8000元嗎？請(qǐng)說明理由.

【變式37】公安部提醒市民，騎車必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔1月

份到3月份的銷量，該品牌頭盔1月份銷售150個(gè)，3月份銷售216個(gè)，且從1月份到3月份銷售量的月增

長(zhǎng)率相同.

⑴求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；

⑵若此種頭盔每個(gè)進(jìn)價(jià)為30元，商家經(jīng)過調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每個(gè)頭盔售價(jià)為40元時(shí)，月銷售量為600個(gè)，在此

基礎(chǔ)上售價(jià)每漲價(jià)1元，則月銷售量將減少10個(gè)，在盡量讓利消費(fèi)者的情況卜，經(jīng)銷商想獲利12000元，則

每個(gè)頭盔的售價(jià)應(yīng)定為多少元？

【變式3-2】某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2022年該服裝的出廠價(jià)是300元/件，2023年、2024年連續(xù)兩年改進(jìn)

技術(shù)降低成本，2024年該服裝的出廠價(jià)調(diào)整為243元/件.

⑴若這兩年此類服裝的出廠價(jià)下降的百分率相同，求平均下降率；

⑵2024年某商場(chǎng)從該服裝廠以出廠價(jià)購(gòu)進(jìn)若干件此類服裝，以義X）元/件銷售時(shí)，平均每天可銷售】0件.為

了減少庫存，商場(chǎng)決定降價(jià)銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，每天可多售出2件，如果該商場(chǎng)想每天

盈利1920元，那么單價(jià)應(yīng)降低多少元？

【變式3-3】近年來以創(chuàng)建省級(jí)文旅示范村為契機(jī)，某村大力發(fā)展文旅產(chǎn)業(yè)，先后投資建設(shè)了“村農(nóng)場(chǎng)體驗(yàn)”，

“甜瓜采摘基地”，"水上童話夢(mèng)工廠〃，"親子研學(xué)”等文旅項(xiàng)目.這些項(xiàng)目不僅為本村和周邊群眾提供了就近

務(wù)工機(jī)會(huì)，而且使本村經(jīng)濟(jì)得到快速增長(zhǎng).據(jù)悉，2024年此村集體經(jīng)濟(jì)收益從2022年的1000萬元升至1210

萬元.

⑴求此村從2022年到2024年這兩年，集體經(jīng)濟(jì)收入的年平均增長(zhǎng)率

（2）該村還積報(bào)創(chuàng)新農(nóng)業(yè)發(fā)展模式.在“大棚經(jīng)濟(jì)”上做文章.培養(yǎng)特色高效農(nóng)業(yè)，使大棚產(chǎn)業(yè)成為農(nóng)民增收

致富的“一把金鑰匙”.由于條件適宜，該村種植了甜瓜、西紅柿等大棚果蔬.2024年五月份，甜瓜成熟并

開始采摘銷售，若每千克盈利10元，每天可售出500kg.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克漲價(jià)1元，F(xiàn)1銷售量

就減少20kg.該大棚基地要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，每千克甜瓜應(yīng)漲價(jià)多少元？

囊類型四、利用一元二次方程解決與圖形有關(guān)的問題

一、圖形面積的基本公式與變形

解決圖形問題的基礎(chǔ)是掌握常見圖形的面積公式，如長(zhǎng)方形面積S二長(zhǎng)X寬，正方形面積S=邊長(zhǎng)X邊

長(zhǎng)，三角形面積S=：X底X高等。當(dāng)圖形存在邊長(zhǎng)變化或拼接組合時(shí)，需根據(jù)條件對(duì)公式進(jìn)行變形。例如，

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加x,則新面積S=（原長(zhǎng)+外（原寬+力，為建立一元二次方程提供依據(jù)。

二、一元二次方程的構(gòu)建與求解

根據(jù)圖形的面積、周長(zhǎng)等條件建立方程。如已知圖形變化后的面積為固定值，將邊長(zhǎng)與面積關(guān)系代入公

式得到方程，例如（a+x）S+x）=c,展開整理為一元二次方程的一般形式（〃+b）x+ab-c=0,再

通過因式分解法、公式法等求解。需結(jié)合圖形實(shí)際意義，舍去使邊長(zhǎng)為負(fù)或不符合圖形邏輯的解。

三、圖形問題中的幾何關(guān)系分析

解題時(shí)要挖掘圖形的隱含條件，如矩形對(duì)邊相等、直角三角形的勾股定理等。若涉及拼接、裁剪等操作，

需理清邊長(zhǎng)的等量關(guān)系，例如裁剪正方形后剩余圖形的面積計(jì)算，或拼接圖形后周長(zhǎng)與面積的變化。同

時(shí)，注意單位統(tǒng)二，確保計(jì)算結(jié)果符合圖形的尺寸要求和實(shí)際場(chǎng)景。|

例4.如圖，在寬為10m,長(zhǎng)為16m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草

坪.要使草坪的面積為135m2,求道路的寬.

【變式47］如圖：利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），用20加的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地A8CO.設(shè)矩形與墻垂

直的一邊為m?，矩形的面積為Sn?.

D

BC

⑴若面積S=48m?,求A3的長(zhǎng)；

⑵能圍成面積為58m2的矩形嗎？說明理由.

【變式4-2］如圖，用長(zhǎng)為25米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為14米），圍成中間隔有一道籬笆

的長(zhǎng)方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在8c上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門.

'/flID1

L門門c

⑴設(shè)花面的一邊A8長(zhǎng)為x米，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示另一邊A。的長(zhǎng)為一米；

⑵若此時(shí)花面的面積剛好為60平方米，求此時(shí)花畫的長(zhǎng)與寬；

(3)建成花圃的面積能為61平方米嗎？請(qǐng)說明理由.

【變式4-3】如圖，小明打算用總長(zhǎng)度為51m的柵欄圍成兩個(gè)大小相同的矩形花園，花園的一面靠墻，墻長(zhǎng)

MN=25m,設(shè)的長(zhǎng)為

-------------------------\C

⑴DC的長(zhǎng)為多少米？(用含x的代數(shù)式表示)

⑵若矩形花園A3CO的面積為210m2,求AO的長(zhǎng).

(3)矩形花園A4CO的面積是否有可能達(dá)到240m2?若可能，求出工的值；若不可能，請(qǐng)說明理由.

國(guó)類型五、利用一元二次方程解決動(dòng)態(tài)幾何問題

一、動(dòng)態(tài)幾何中的變量關(guān)系與公式

動(dòng)態(tài)幾何問題需用變量表示運(yùn)動(dòng)中的線段長(zhǎng)度、圖形面積等。例如，點(diǎn)在線段上以速度v運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為/，則運(yùn)動(dòng)的距離為砧矩形的兩邊長(zhǎng)隨時(shí)間變化，其面積S={a+v/)(b-//r)(〃、〃為初始邊長(zhǎng)，

隊(duì)“為邊長(zhǎng)變化速度)。通過分析之動(dòng)規(guī)律，結(jié)合三角形面積、勾股定理等基本公式，建立含變量的等式。

二、一元二次方程的建立與求解策略

根據(jù)題目中面積、距離等定量條件，將變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程。如當(dāng)三角形面積達(dá)到特定值時(shí)，

代入面積公式得到方程,整理為一般形式后求解。例如，利用勾股定理建立方程(a-vr)2+(b-ut)2=

c2,求解后需結(jié)合運(yùn)動(dòng)范圍檢驗(yàn)，舍去超出圖形邊界或時(shí)間為負(fù)等不符合實(shí)際的解。

三、動(dòng)態(tài)過程中的幾何性質(zhì)應(yīng)用

要充分利用幾何圖形的特性，如相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、平行四邊形對(duì)邊相等等等量關(guān)系。在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)過程中，分析圖形形狀變化，例如從銳角三角形變?yōu)橹苯侨切螘r(shí)，利用勾股定理建立方程；圖形重

疊部分面積變化時(shí)，坤合圖形關(guān)系列出等式，確保方程建立符合幾何邏輯和運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

例5.如圖，在矩形A8CD中，=16cm,=6cm,動(dòng)點(diǎn)P,。分別從點(diǎn)A,。同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)。以3cm/s的

速度向點(diǎn)A移動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停止，點(diǎn)。以2cm/《的速度向點(diǎn)。移動(dòng).

AD

⑴匕。兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)尸和點(diǎn)。的距離是10cm?

⑵戶，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形心CQ的面積為33cm2?

【變式5-1］如圖所示，VA8C中，?B90?,A8=6cm,8C=8cm.點(diǎn)戶從點(diǎn)A開始沿AB邊向8以Icm/s

的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從8點(diǎn)開始沿8c邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，P,Q分別從4,B同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過幾

秒，

C

6cm

⑴點(diǎn)P,。之間的距離為4岳m(xù)?

(2)，/BQ的面積等于8cm2?

【變式5-2】在V4BC中，ZA=90°,ZB=30°,AC=8cm.

⑴如圖1,點(diǎn)〃從點(diǎn)A開始沿AC向點(diǎn)C以Icm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)〃開始沿向點(diǎn)A以2cnVs的速度

移動(dòng).當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨即停止移動(dòng).如果點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過/秒后，AQ的長(zhǎng)為切?.

⑵在(1)的條件下，經(jīng)過幾秒APAQ的面積等于3cm2?

(3)如圖2,點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始沿AB句點(diǎn)3以Icm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿8。向點(diǎn)C以2cnVs的速度

移動(dòng).當(dāng)??點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另?點(diǎn)隨即停止移動(dòng).如果點(diǎn)尸，。同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒V8PQ的面積等于24cm2?

【變式5-3］如圖，在矩形ABC。中，AB=4cm,8c=8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到A即停

止點(diǎn)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)8出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。即停止，點(diǎn)、P、。的速度都是lcm/s.連接PQ、AQ、

CP.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/s.

(1)當(dāng)，=時(shí)，四邊形A8Q尸是矩形；

(2)當(dāng)，=時(shí)，四邊形A成尸是菱形；

⑶是否存在某一時(shí)刻，使得PQ，PC,如果存在，請(qǐng)求出，的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

⑷在運(yùn)動(dòng)過程中，沿著AQ把“8Q翻折，當(dāng)/為何值時(shí)，翻折后點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在P。邊上.

壓軸專練

一、單選題

1.畢業(yè)將至，九(1)班全體學(xué)生互贈(zèng)祝福卡，共贈(zèng)祝福卡1560張，問：九(1)班共有多少名學(xué)生？設(shè)

九(1)班共有x名學(xué)生，根據(jù)題意可列方程為()

A.x2=1560B.x(x-l)=1560C.^(x+l)=1560D.^x(x-l)=1560

2.隨著科技水平的提高，某種電子產(chǎn)品的價(jià)格呈下降趨勢(shì)，今年的價(jià)格恰為兩年前的一半.假設(shè)該電子產(chǎn)

品每年降價(jià)的百分率均為x,則以下所列方程正確的是()

A.(1+x)2B.(I+X)2=2

,?,

C.(l-x)-=-D.(1-x)"=2

3.期圖1,有一張長(zhǎng)32cm、寬16cm的矩形硬紙片，裁去角卜.2個(gè)小正方形和2個(gè)小矩形(圖中陰影部分)

之后，恰好折成如圖2所示的有卷紙盒.若紙盒的底面積是130cm2,則紙盒的高為()

圖1圖2

A.2cniB.3cmC.4cniD.21cm

4.哪吒的乾坤圈工坊以每個(gè)30靈石的進(jìn)價(jià)購(gòu)入一批迷你風(fēng)火輪，并以每個(gè)50靈石售出，每口可售出80

個(gè).據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個(gè)迷你風(fēng)火輪的售價(jià)每降低2靈石，每日可多售出10個(gè)，若哪吒希望單FI盈利達(dá)4000

靈石，則需將售價(jià)降低多少靈石？若設(shè)降價(jià)x靈石，則列出方程為()

A.(50-x)卜0+]x10)=400()B.(50-x-30)(8。+|xI0^=40()0

C.(50-x-30)(80+1Ox)=40IJ0D.(50-2x-30)(80+1Ox)=4000

5.如圖，在VA4c中，ZC=9C)°,AC=4cm,BC=3cm,一動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)沿著CB方向以Icm/s的

速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)沿著4c邊以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P,。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，(s).當(dāng)

3

=時(shí)，t=()

A4+五女4-V2

A.---------sB.---------s

22

C.ilYis或上正sQ.丑在s或上立s

2222

二、填空題

6.某工廠生產(chǎn)的筆記本，每本成本10元，由于連續(xù)兩次降低成本，現(xiàn)在的成本是8.1元，則平均每次降低

成本的百分率是.

7.一花店用50()元購(gòu)進(jìn)了一批產(chǎn)品，按40%的利潤(rùn)定價(jià)，無人購(gòu)買，決定打折出售，但仍無人購(gòu)買，結(jié)果

又一次打折后才售完，經(jīng)計(jì)算，這批產(chǎn)品共盈利67元，若兩次打折相同、則每次打了折

8.如圖，要利用一面墻(墻長(zhǎng)為25m)建豬圈，用100m的圍欄圍成總面積為400m2的三個(gè)大小相同的矩形

豬圈，則豬圈的邊長(zhǎng)AB為

9.化學(xué)課代表在老師的培訓(xùn)下學(xué)會(huì)了“實(shí)驗(yàn)室用高錦酸鉀制取氧氣”的實(shí)驗(yàn)操作，回到班上后第一節(jié)課手把

于教會(huì)了若干名同學(xué).第二節(jié)課會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的每個(gè)同學(xué)又于把于教會(huì)了同樣多的同學(xué)，這樣全班49人恰好

都會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)了，那么1人每次能手把手教會(huì)_______名同學(xué).

10.如圖，在平行四邊形A8C。中，A3=8cm,BC=24cm,P，Q分別從AC同時(shí)出發(fā)，向D3運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)夕的速度為lcm/s,在運(yùn)動(dòng)的過程中，若存在使四邊形

APQB是鄰邊之比為2:1的平行四邊形時(shí)刻，則點(diǎn)Q的速度為cm/s.

三、解答題

H.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某企、業(yè)2021年利潤(rùn)為1(X)0萬元，2023年利潤(rùn)為144()萬元，該企業(yè)2021年到2023年利潤(rùn)的年

平均增長(zhǎng)率都相同.

⑴求該企業(yè)利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率；

⑵若2024年保持前兩年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率不變，該企業(yè)2024年的利潤(rùn)能否超過2000萬元？

12.新冠病毒是一種傳染性極強(qiáng)的病毒，在病毒傳播中，若1個(gè)人患病，若不加隔離防控每輪傳染中平均

一個(gè)人傳染〃個(gè)人，經(jīng)過兩輪傳染就共有625人患病.

⑴求出〃的值；

⑵若在第二輪傳染前，有10個(gè)患者及時(shí)隔離，按照這樣的傳染速度，兩輪傳染后，一共有多少人患??？

13.為增強(qiáng)同學(xué)們的體質(zhì)，豐富校園文化體育生活，富川縣某校八年級(jí)舉行了籃球比賽，比賽以循環(huán)賽的

形式進(jìn)行，即每個(gè)班級(jí)之間都要比賽一場(chǎng)，共比賽了45場(chǎng).

⑴問該校八年級(jí)共有幾個(gè)班？

⑵籃球比賽勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分，小奉同學(xué)所在的2101班要想獲得不低于14分的積分，至少要

取得多少場(chǎng)勝利？

14.有這么一種核桃，個(gè)頭不大，外表不類，但平均售價(jià)達(dá)到22元一斤，這就是赫章核桃.某核桃種植基

地到2020年年底已經(jīng)種植核桃100畝，到2022年年底核桃的種植面積達(dá)到196畝.

⑴求該基地這兩年核桃的種植面積的年平均增長(zhǎng)率.

(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)核桃的售價(jià)為22元/斤時(shí)，每天能售出200斤，銷售單價(jià)每降低1元，每天可多售

出50斤.為了盡快減少庫存，該基地決定降價(jià)促銷.已知該基地核桃的平均成本為14元/斤，若使銷售核

桃每天可獲利1750元，則銷售單價(jià)應(yīng)降低多少元？

15.如圖，用長(zhǎng)為22米的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度為14米)，圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方

形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門.

堵14nl

⑴設(shè)花圃的一邊AB長(zhǎng)為x米，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示另一邊AD的長(zhǎng)為一米;

⑵若此時(shí)花圃的面積剛好為4