專題24.1圓的有關(guān)性質(zhì)

典例體系

一、知識(shí)點(diǎn)

1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)

(1)圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形.如圖所示的圓記做。o.

(2)弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦.

(3)呱：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大r?半圓的弧叫做優(yōu)弧.

(4)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

(5)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角.

⑹弦心距：圓心到弦的距離.

知識(shí)點(diǎn)二：垂徑定理及其推論

2.垂徑定理及其推論

定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論

(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

延伸

根據(jù)圓的對(duì)稱性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：d

A.

①弧AC=弧BC;

②弧AD=MBD；(olj

③AE=BE;

④AB_LCD;⑤CD是直徑.B

只要滿足其中兩個(gè)，另外三個(gè)結(jié)論一定成立，即推二知三

.關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直

角三角形.

3.圓心角、弧、弦的關(guān)系

定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.

推論

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組最都分

別相等.

4.園周角定理及其推論

(1)定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

(2)推論：

①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.如圖b,ZA=ZC.

②直徑所對(duì)的圓周角是直角.如圖c,NC=90。.

③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).如圖a,ZA+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°.

二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練

考點(diǎn)1：與圓有關(guān)的最值問題

典例：(2020?云南云大附中初三三模)如圖，菱形人BCD的邊人8=8,ZB=60°,P是/W上一點(diǎn)，BP=3,Q

是CO邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形4PQ。沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)當(dāng)。V的長度最小時(shí)，C。的長為()

13

A.5B.7C.8D.—

2

【答案】B

【解析［作C"_LA8于H,如圖.

???△ABC為等邊三角形，

：.CH=—AB=4y/3AH=BH=4.

2

?:PB=3,

???梯形APQQ沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,

???點(diǎn)A在以2點(diǎn)為圓心，力為半徑的弧上，

???當(dāng)點(diǎn)4在PC上時(shí)，CA的值最小，

AZAPQ=ZCPQ,rfnCD//AB,

/.NAPQ=/CQP,

：?/CQP=/CPQ,

：.CQ=CP=1.

故選B.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本通考杳了菱形的性質(zhì).解答本題的關(guān)鍵是確定A，在PC上時(shí)CA，的長度最小.

鞏固練習(xí)

1.(2020?山東東平初三二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)A(0,1)、點(diǎn)B(0,1+。、C(0,1-t)(t>0),

點(diǎn)P在以D(3,5)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足NBPO90。，則t的最小值是()

【答案】B

【解析】如圖，連接4尸.

：.AB=(\+t)-1=/,AC=\-(1-Z)=f,

：.AB=AC.

VZ^PC=90°,：.AP=-BC=AB=i要f最小，就是點(diǎn)A到。。上的一點(diǎn)的距離最小，，點(diǎn)P在AD上.

2t

故選B.

A.1B.2

【答案】B

CO垂直平分。8,

故選B.

3.（2019?棗莊礦業(yè)集團(tuán)公司第三中學(xué)初三）如圖，在矩形ABCO中，48=4,4。=6,E是48級(jí)的中點(diǎn)，F(xiàn)

是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將AE8廠沿石〃所在直線折疊得到△EB'F,連接夕。，則夕。的最小值是（）

A.2癡-2B.6C.2屈-2D.4

【答案】A

【解析】解：如圖，方的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，以AE的長為半徑的圓.所以，當(dāng)方點(diǎn)落在DE上時(shí)，B'D

取得最小值.

根據(jù)折疊的性質(zhì)，2EBF9AEB，F(xiàn),

：.EB'±B'F,

:?EB，=EB,

???E是43邊的中點(diǎn)，AB=4,

：.AE=EB'=2,

?:AD=6,

:?DB』2M-2.

故選A.

”D

【答案】D

【解析】解：在菱形ABCD中，

VZABC=60°,AB=1,

??.△ABC,aACD都是等邊三角形，

①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上（在菱形的邊及其內(nèi)部）的點(diǎn)滿足題意，此時(shí)就轉(zhuǎn)化為了“直線外一點(diǎn)

與直線上所有點(diǎn)連線的線段中垂線段最短”，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PD值最小，最小值為1；

③若以邊PB為底，ZPCB為頂角，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作圓，則弧BD上的點(diǎn)A與點(diǎn)D均滿足APBC

為等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PD最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在；

故選D.

5.（2020?廣東東莞初三一模）如圖，在。。中，半徑為5,弦A8=6,點(diǎn)C在上移動(dòng)，連接OC,則OC

的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】解：連接。4,過點(diǎn)。作O”J_A3于”.

:.AH=HB=3,NA〃O=90。，

\'OA=b,

根據(jù)垂線段最短可知0C的最小值=4,

故選:B.

6.（2020?山東濰坊初三一模）如圖，在矩形紙片A8CO中，A8=4,AD=6,點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)是A。

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將/沿E尸所在直線翻折，得到aAEF,則AC的長的最小值是

【答案】2M-2

【解析】解：以點(diǎn)E為圓心，AE長為半徑作圓，連接CE,當(dāng)點(diǎn)A，在線段CE上時(shí)，AC的長取得最小值,

如圖所示：

在R@BCE中，BE=—AB=2,BC=6,ZB=90°,

2

7.（2020?陜西銅川初三一模）如圖，已知正方形A8CQ中，AB=6：E是邊AQ的中點(diǎn)，。是邊CD上的動(dòng)點(diǎn),

Q是半圓8c上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PQ的最小值是

ED

【答案】672-3

【解析】解：取8。的中點(diǎn)0,連接0E,作￡點(diǎn)關(guān)于。。的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接交C。于P，交半圓于Q,

如圖,

?:PE=PE,

???PE+PQ=PE+PQ=Q￡,

???此時(shí)PE+PQ有最小值,

???￡是邊A。的中點(diǎn)，

：.0E±ADfOE=6,

?：DF=DE=3,

：.0E=6血,

???M=60-3,

即PE+PQ的最小值是6^/2-3.

故答案為6夜-3.

【答案】8

【解析】,??四邊形ABCD是矩形

???AB=CD=12,BC=AD=10,

???M是AD邊的中點(diǎn)，

AAM=MD=5

??,將AAMN沿MN所在直線折疊，

???AM=A'M=5

，點(diǎn)A，在以點(diǎn)M為圓心，AM為半徑的圓上，

???如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段MC上時(shí)，AC有最小值,

?，A，C的最小值=MCMA,=135=8

故答案為：8.

9.（2020.黑龍江哈爾濱初三一模）如圖，A3是。。的弦,"=4,點(diǎn)C是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NAC8=45。.若

點(diǎn)N分別是人/工8C的中點(diǎn)，則MN長的最大值是

【解析】解：???點(diǎn)M,N分別是八&BC的中點(diǎn),

當(dāng)4C取得最大值時(shí)，MN就取得最大值,

當(dāng)AC時(shí)直徑時(shí)，最大,

10.（2020?天津和平初三二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，44,0）、B（0,3）,以點(diǎn)B為圓心、2為半徑

的08上有一動(dòng)點(diǎn)P.連接AP,若點(diǎn)。為AP的中點(diǎn)，連接OC,則。。的最小值為

2

【解析】解:作A關(guān)于y軸的對(duì)美點(diǎn)4,則4（一4,0）,???"是AA4P的中位線，當(dāng)4P取最小值時(shí),OC

取最小值.連接48交。8于點(diǎn)P,此時(shí)4P最小.在RSO48中，OV=4,OB=3,：.A,B=5,；.A'P=52=3,

【解析】過P點(diǎn)作弦AB,使AB_LOP,則AB為過P點(diǎn)的最短的弦,

V0P1AB,

/.AP-BP,

在RQAOP中，0A=5,OP=3,

AAB=2AP=8.

故答案為：8.

考點(diǎn)2：圓心角、弦、弧之間的關(guān)系

典例：（2020?哈爾濱市第四十九中學(xué)校初三期中）如圖，是四邊形ABC。的外接圓，對(duì)角線AC與BZ）相

交于點(diǎn)E,且連接4。、CB.

⑴求證：AB=CD；

(2)在不添加任何輔助線的情況卜\直接寫出圖中所有的全等三角形.

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解圻

【解析】(1)證明：如圖，連接04、OB、OC、OD,

*：AE=DE,

/.NADB=NDAC,

...ZAOB=ZDOC,

：.AB=CD；

(2)解：①在△48。與△OCA中，

故"3QgZ\QCA(AAS)；

②在AASE與△￡)(?￡：中，

故"8&Z\QCE(AAS)；

③由48=OC知，NACB=NDBC.

在4WC與^OCB中，

故AA8C經(jīng)△OCB(AAS).

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了圓心角，弧，弦的關(guān)系，全等三角形的判定.全等三角形的5中判定方法中，選用哪一種方法,

取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必

須找一組對(duì)應(yīng)邊相等；若已知一邊一角，則找另一個(gè)角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.

鞏固練習(xí)

D

B

【答案】D

【解析】解：連接OC,延長CD交OB于點(diǎn)E,如圖,

°EB

/.ZCOE=45°,

/.CE1OB,

???ZOCE=ZCOE=45°,

.\ZABO=45°,

.\ZBDE=ZABO=45°,

故迄D.

【答案】C

工孤AB二弧BC,

AAB=BC,

VAB+BOAC,

.\AC<2AB.

故選C.

.()

3.（202（）.珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）如圖，已知八8、CO是。。的兩條直徑，且NAOC=50。，過A作人石〃C7）

交。。于￡,則NAOE的度數(shù)為（）

A.65°B.70°C.75°D.80°

【答案】D

【解析】-AE//CD,

/.乙AOC=4D0E,

??,ZAOC=50°,

???NOOE=50。，

:.NAOE=1800-ZAOC-NDOE=180。-50°-50°=80°.

故選O.

4.（2019?藍(lán)田縣育才學(xué)校）如圖，已知。。的半徑為5,弦AB、CQ所對(duì)的圓心角分別是/AOB,乙COD,

且N4O8與NCOD互補(bǔ)，弦C7）=8,則弦AB的長為（）

C.5近D.573

【答案】A

【解析】解：如圖，延長AO交00于點(diǎn)石，連接8凡

則ZAOB+ZH()E=18(r,

XVNA08+NC0Q=180°,

：,/BOE=NCOD,

：.BE=CDt

???AE為。O的直徑，

:.N4BE=90。，

故選:A.

A.OE=OFB.AB=CDC.NAOB二NCODD.OE>OF

【答案】D

.*.AB=CD,ZAOB=ZCOD,

ABE=-AB,DF=-CD,

22

，BE=DF,

XVOB=OD,

/.由勾股定理可知OE=OF,

即A、B、C正確，D錯(cuò)誤，

故選:D.

【答案】⑴見解析；（2）見解析.

【解析】證明⑴???AB=CD,

Z.AD=BC,

XVZADE=ZCBE,ZDAE=ZBCE,

AAADE^ACBE(ASA),

/.AE=CE.

【答案】見解析.

【解析】證明：?.?OB=OD,

，ND=NB,

VBDZ/OC,

/.ZD=ZCOD,ZAOC=ZB,

AZAOC=ZCOD,

考點(diǎn)3：圓的基本概念

典例：（2019?湖北房縣。初三期末）有下列四種說法：

①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；

③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓.

其中，錯(cuò)誤的說法有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】B

【解析】解：圓確定的條件是確定圓心與半徑，是假命題，故此說法錯(cuò)誤；

直徑是弦，直徑是圓內(nèi)最長的弦，是真命題，故此說法正確；

弦是直徑，只有過圓心的弦才是直徑，是假命題，故此說法錯(cuò)誤；

④半圓是弧，但弧不一定是半圓，圓的任意?條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每?條弧都叫半圓，所

以半圓是弧.但比半圓大的弧是優(yōu)弧，比半圓小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圓，是真畬題，故此說

法正確.

其中錯(cuò)誤說法的是①@兩個(gè).

故選B.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查弦與直徑的區(qū)別，弧與半圓的區(qū)別，及確定圓的條件，不要將弦與直徑、弧與半圓混淆.

鞏固練習(xí)

1.(2020?廣西河池初三期末)如圖，圖中的弦共有()

B.2條C.3條D.4條

【答案】B

【解析】解：圖形中有弦A3和弦CO,共2條,

故選:B.

2.(2020?廣西北海初三月考)下列說法中，正確的是()

A.弦是直徑B.半圓是弧

C.過圓心的線段是直徑D.圓心相同半徑相同的兩個(gè)圓是同心圓

【答案】B

【解析】過圓心的弦是直徑，不是所有的弦都是直徑，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；圓上任意兩點(diǎn)間的部分是弧，故半

圓是弧，故B正確；過圓心的弦是直徑，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓是同心圓，故D錯(cuò)

誤，所以本題選B.

3.(2019?廣東省佛山市三水區(qū)三水中學(xué)初三一模)某公園計(jì)劃砌一個(gè)形狀如圖(1)所示的噴水池，后來有人建

議改為圖(2)的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認(rèn)為砌噴水池的邊沿()

A.圖(1)需要的材料多B.圖(2)需要的材料多

C.圖(1)、圖(2)需要的材料一樣多D.無法確定

【答案】C

【解析】設(shè)大圓的直徑是D,圖⑵中三個(gè)小圓的直徑分別為：d|,d2.d3,

.*.di+d2+d3=D

根據(jù)圓周長公式，得圖(1)中，需要21D；

圖(2)中，需要乃D+"5+"d?+乃ch=萬D+乃(di+d2+d3)=2乃D

故選：C.

4.(2019?吉林吉林初三一模)如圖,A(4,0),B(0,3),點(diǎn)C為AB中點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑作

圓弧，交線段OB于點(diǎn)D.則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

【解析】解：???A(4,0),B(0,3),

AOA=4,OB=3,

???點(diǎn)C為AB中點(diǎn)，

15

???BC=—AB=-=BD,

22

51

AOD=OB-BD=3--=—

22

5.(2020?射陽縣第二初級(jí)中學(xué)初二期中)下列說法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個(gè)圓是同心圓；

③兩個(gè)半圓是等?。孩芙?jīng)過圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無數(shù)條直徑.正確的是填序號(hào).

【答案】①

【解析】解?：直徑是弦，但弦不是直徑，故①正確：圓心相同但半徑不同的兩個(gè)圓是同心圓，故②錯(cuò)誤；

若兩個(gè)半圓的半徑不等，則這兩個(gè)半圓的弧長不相等，故③錯(cuò)誤；經(jīng)過圓的圓心可以作無數(shù)條的直徑，故

④錯(cuò)誤.綜上，正確的只有①.

故答案為：①

考點(diǎn)4：垂徑定理及其應(yīng)用

典例：(2020?廣州市白云區(qū)桃園中學(xué)初三期中汝I圖，在直角△ABC中，4c=90",以點(diǎn)C為圓心，BC為半

徑的圓交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.

(1)若乙A=25。，求弧DE的度數(shù)；

(2)若BC=2,AC=6,求BD的長.

B

【答案】（1）40°（2心普

【解析】解：（1）連接CD,

???在AABC中，ZC=90°,ZA=25°,

.,.ZB=65°,

VBC=CD,

.,.ZBDC=65°,

.,.ZBCD=50°,

.??弧DE的度數(shù)是90o50°=40°：

(2)作CH_LBD,如圖，則BH=DH,

在RtAACB中，AB=V/1C2+BC2=V22+62=2VT0?

,?!CH?AB=：BC?AC,

在RSBCH中，BH=

，BD=2BH=4毀.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了勾股定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（202（）.山東嵐山初三期末）某居美區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道.如圖所示，

污水水面Mi寬為80cm,管道頂端顯高點(diǎn)到水面的距離為20cm,則修理人員需準(zhǔn)備的新管道的半徑為（）

A.50cmB.506cmC.100cmD.80cin

【答案】A

【解析】解：如圖,

解，得AO=50

故選:A

2.（2020?武漢市糧道街中學(xué)初三月考）如圖，。。的弦C。交直徑AB于E,OD=DE,CE：OE=3：5,若

A.4y/10B.475

c.3MD.30

【答案】A

【解析】解：過點(diǎn)。作OE_LC。于點(diǎn)E,

設(shè)CE=3x,DE=5x,

：,0D=DE=5x,CD=8A,

；?由垂徑定埋可知：DE=4x,

：.EF=x,

由勾股定理可知：OF=3x,

在RsOE/中，

由勾股定理可知：（3X）2+/=52,

/.CD=8A=4>/10，

故選：A.

3.（2020?廣西東蘭初三期末）如圖,AB是。0的直徑,弦CDJ_AB于點(diǎn)E,若AB=8,AE=1,則弦CD的

C.6D.8

【答案】B

OE=OBAE=41=3,

CD=2CE=2/，

故選B.

4.（2020?山東濱州初三學(xué)業(yè)考試）在。。中，直徑AB=15,弦DE_LAB于點(diǎn)C.若OC：OB=3：5,則

DE的長為（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】C

【解析】解：如圖所示：

???直徑48=15,

???80=7.5,

'：0C：08=3：5,

???。。=4.5,

^DEVAB,

：,DE=2DC=\2.

故選：C.

5.（2020.內(nèi)蒙古林西。初三期末）00的半徑為15cm,AB,CD是。。的兩條弦，AB〃CD,AB=24cni,

CD=18cm,則AB和CD之間的距離是（）

A.21cmB.3cm

C.17cm或7cmD.21cm或3cm

【答案】D

【解析】解：作OE_LAB于E,交CD于F,連結(jié)OA、OC,如圖，

AAE=BE=2AB=12cm,CF=DF=2CD=9cm,

在RsOAE中，VOA=15cm,AE=12cm,

在RsOCF中，VOC=15cm,CF=9cm,

當(dāng)圓心0在AB與CD之間時(shí)，EF=OF+OE=12+9=21cm（如圖1）；

當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時(shí)，EF=OFOE=129=3cm（如圖2）；

即AB和CD之間的距離為21cm或3cm.

故選：D.

6.（2019?廣東越秀初三月考）如圖，CD是圓O的直徑，AB是圓O的弦，且AB=10,若CDAB于點(diǎn)E,

則AE的長為（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】B

【解析】解：:AB是圓O的弦，CD1AB

AE=—AB=5.

2

故答案為B.

wE/—7P

，?

S---c

A.2B.2.5C.3D.4

【答案】B

EF的中點(diǎn)M,作MNJ_AD于點(diǎn)M,取MN上的球心O,連接OF,

???四邊形ABCD是矩形，

/.ZC=ZD=90°,

???四邊形CDMN是矩形，

AMN=CD=4,

設(shè)OF=x,則ON=OF,

/.OM=MNON=4x,MF=2,

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2,

即：（4x）2+22=x2,

解得：x=2.5,

故選B.

8.（2020?廣西興業(yè)初三其他）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.垂直于弦的直徑平分這條弦B.平分弦的直徑垂直于這條弦

C.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心D.同圓或等園中相等的弧所對(duì)的圓周角相等

【答案】B

【解析】A.垂直于弦的直徑平分這條弦，正確；

B.平分弦的直徑不一定垂直于這條弦，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，正確；

D.同圓或等園中相等的弧所對(duì)■的圓周角相等，正確.

故選：B.

9.（2020?江蘇泰興初三月考）如圖，ZkABC中，AB=5,AC=4,BC=2,以A為圓心AB為半徑作圓A,延長

BC交圓A于點(diǎn)D,則CD長為（）

9廠

A.5B.4C.yD.2V5

【答案】C

【解析】解：過A點(diǎn)作AH_LBD于H點(diǎn)，如下圖所示:

設(shè)CH二x,

13

由垂徑定理知：DH二BH二，，

1359

，CD=DH+CH=—+-=-

442

故答案為：C.

10.（2020.金昌市金川總校第五中學(xué)初三期末）如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C是。。上的一點(diǎn)，若BC=6,

AB=10,OD_LBC于點(diǎn)D,則OD的長為.

【答案】4

【解析】解：???OD_LBC,

ABD=CD=-BC=3,

2

VOB=-AB=5,

2

故答案為4.

11.（2020.江蘇建鄴初三月考）如圖，AB為。O的直徑，弦CD1AB于點(diǎn)E,已知CD=6,EB=1,則。O

的半徑為.

【答案】5

【解析】解：連接OC，

為。。的直徑，ABLCD,

11

JCE=DE=-CD=-x6=3,

22

設(shè)。。的半徑為xcm,

則OC=xcm,OE=OB-BE=x-1,

在RiaOCE中，OGOU+CE1,

，f=32+(x-1)2,

解得；x=5,

???0O的半徑為5,

故答案為5.

【答案】26

木材直徑為26寸;

故答案為：26.

考點(diǎn)5：圓周角定理及其推論的應(yīng)用

⑴求Q。的半徑.

【解析】解：（1）連接OD,

所以（。的半徑為5；

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本翅考查了勾股定理，圓的半徑相等，垂徑定理，等弧對(duì)等弦等知識(shí)，通過勾股定理構(gòu)造方程，理解垂徑

定理是解題關(guān)鍵.

A.74B.106C.117D.127

【答案】D

VOA=OB,ZBAO=37°,

???ZAOB=18O°2X37°=106°,

故選D.

C

D

AB

GO

E

A.5B.6C.8D.10

【答案】A

【解析】解:連接OQ，交AC于H,

QD是AC的中點(diǎn)，

設(shè)圓的半徑為一，

故選A.

3.（2020.蘭州市外國語學(xué)校初三月考）p是。。外一點(diǎn)，以、尸3分別交于C、。兩點(diǎn)，已知AB、CD

D.32°

【答案】B

【解析】解：〈AB、的度數(shù)別為88。、32°,

VZP+ZA=ZADB,

:.ZP=ZADBZA=44°16°=28°.

故選：B.

4.（2019?吉林初三其他）如圖，點(diǎn)A、B、。、。在。。上，NAOC=120。，點(diǎn)9是弧4c的中點(diǎn)，則/。的

A.60°B.35°C.30.5°D.30°

【答案】D

【解析】連接

AZAOB=-NAOC=60。，

2

由圓周角定理得，ZD=-Z/465=30°,

2

故選D.

5.（2020.重慶市育才中學(xué)初二期末）如圖，在RSABC中,ZACB=90°,5A=56。.以BC為直徑的。O交

AB于點(diǎn)D,E是。O上一點(diǎn)，且CE的弧長和CD的弧長相等，連接OE,過點(diǎn)E作EF_LOE,交AC的延

長線于點(diǎn)F,則NCOE的度數(shù)為（）

A.88。B.72°C.68°D.56°

【答案】c

【解析】解：:在直角三角形ABC中，ZACB=90°,ZA=56°,

???ZABC=180°ZACBZA=34°,

乂7/ABC是CD所對(duì)圓周角，CD=CE，且NCOE為CE的圓心角，同弧所對(duì)圓周角度數(shù)為圓心角度數(shù)

的一半，

/.ZCOE=2ZABC=68°,

A.30。B.25°C.15°D.10°

【答案】A

??,圓O半徑為2,BC=2,

/.△OBC為等邊三角形,

???ZBOC=60°,

AZA=30°,

故選A.

A

【答案】D

【解析】連接BD,

???BD是的直徑,BD=5,

ZC=90°,

ABC=DC

故迄D

8J2020.江蘇昆山初三二模）如圖，4B是。O的直徑，。是GO上一點(diǎn)，連接4cOC,過點(diǎn)B作8ZV/OC