專題03玩轉(zhuǎn)抽象函數(shù)問題的八大題型

題型歸納

題型一：抽象函數(shù)的定義域.......................................................................4

題型二：抽象函數(shù)求值............................................................................4

題型三：抽象函數(shù)的值域..........................................................................5

題型四：抽象函數(shù)的解析式.......................................................................6

題型五：抽象函數(shù)的單調(diào)性.......................................................................7

題型六：抽象函數(shù)的奇偶性.......................................................................8

題型七：抽象函數(shù)的對稱性......................................................................10

題型八：抽象函數(shù)的周期性(拓展)..............................................................12

愿型專練

【知識點(diǎn)綜述】

1.抽象函數(shù)的概念

所謂抽象函數(shù)是指用函數(shù)符號(如/(x)表示)，卻沒有給出具體解析式的函數(shù).

2.周期函數(shù)(拓展)

(1)定義：設(shè)由數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對于任意xe。，都有

/(x+T)=/(x)恒成立，那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：若函數(shù)存在周期，則它有無數(shù)個周期，所有周期的絕對值中最小的那個正數(shù)(如果存

在)，叫做這個函數(shù)的最小正周期.

3.抽象函數(shù)的性質(zhì)

(1)定義域：求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則.在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則

的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi).

①若己知函數(shù)/。)的定義域?yàn)閇。，b],則復(fù):合函數(shù)/(g(x))的定義域由群g(x)劭求出.

②若己知函數(shù)/(g(x))的定義域?yàn)榭冢?，則/(x)的定義域?yàn)殡p戈)在/“時的值域.

(2)周期性(拓展)

/(x+〃)=/(x)=>T=Q；f(x+〃)=-/(x)=>T=2ai

/、(工+4)=當(dāng)=>7=2〃；(左為常數(shù));

f(x+a)=/(/+/))=>T=|t7-Z)|

(3)對稱性:

I/12

對稱軸：/(4一X)=/(4+工)或者/'(24-工)=/'(1)=>/(X)關(guān)于X=4對稱；

對稱中心：/(a—x)+/(a+x)=2b或者/(2叱X)+/(X)=2Z?n/(x)關(guān)于(。/)對稱；

特別地，如果/Q)同時關(guān)于x=a對稱，又關(guān)于(Ac)對稱，則/Q)的周期「=|。一母

4.單調(diào)性與對稱性(或奇偶性)結(jié)合解不等式問題

⑴/(x)在R上是奇函數(shù)，且/'(X)單調(diào)遞增n若解不等式/&)+/&)>0,則有

2+匕>0；

/Q)在R上是奇函數(shù)，且/⑺單調(diào)遞減n若解不等式/(x1)+/(x2)>0,則有

2+%<0；

(2)/(x)在H上是偶函數(shù)，且f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增n若解不等式/(xj>/(x2),則有|再|(zhì)>周

(不變號加絕對值)；

/(X)在R上是偶函數(shù),且/(X)在(0,+8)單調(diào)遞減=若解不等式/(x()>/(x2),則有力<岡(變

號加絕對值)；

關(guān)于(。力)對稱，且單調(diào)遞增n若解不等式則有

⑶/(X)/(X)/(X,)+/(X2)>2/7,

x,+x2>la；

/Q)關(guān)于(。力)對稱，且/(x)單調(diào)遞減n若解不等式/&)+/(/)>26,則有

司+3<2。；

(4)/(x)關(guān)于X=Q對稱，且/(X)在(4,+8)單調(diào)遞增n若解不等式/(為)>/(.々)，則有

%一4>民—H(不變號加絕對值)；

/(X)關(guān)于工=4對稱，且/6)在(。,+00)單調(diào)遞減=>若解不等式/&)>/卜)，則有

|^1-6f|<|x2-a\(不變號加絕對值)；

5.抽象函數(shù)的模型

(1)正比例函數(shù)模型：

f(x)=kx(k^6)t對應(yīng):f(x±y)=f(x)±f(y)；

(2)反比例函數(shù)模型：

/⑴二幽/(?)=/(")/(.

x，對應(yīng)：/(x)+/3)氏/1),/(刃,/(不+歹)均不為0].

(3)一次函數(shù)模型：

模型1：若/(x±y)=/(x)±/(y),則〃x)=/(l)x；

模型2：若〃x±y)=/a)±/(y),則/(x)為奇函數(shù)；

2/12

模型3：若/(X+歹)=/(x)+/?)+m,則/?=[/(1)+ni]x-m；

模型4：若f(x-y)=f(x)-/(y)+m,則/(x)=[/(1)-加卜+“；

⑷二次函數(shù)模型：

f\x)=ax2+6x+c(a*0),對應(yīng)：f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy+m；

⑸三次函數(shù)模型：

f(x)=ax3+bx2+ex+d[a0),對應(yīng)：f(x)=/(x->>)+f(y)+xy(x->1)

⑹幕函數(shù)模型：

模型l：/(x)=W,對應(yīng)：/(盯)=/(x)/(y)；

模型2：f(x)=x\對應(yīng)：/(-)=777-

yf(y)

(7)指數(shù)函數(shù)模型(供提前了解，詳見必修第一冊第三章)：

模型1：/(X)=[/⑴對應(yīng)：/(x+y)=/(x)/(y)(其中/(X)>0)；

模型2：/(x)=[/(l)「,對應(yīng)：/(x-y)=^j(其中/(x)>0)；

模型3：/(X)=[/("加]，對應(yīng):f(x+y)=

m

模型4：/(x)=〃[/0)],對應(yīng)：/(》_.二加I：；;

(8)對數(shù)函數(shù)模型(供提前了解，詳見必修第冊第四章)：

模型1：/(幻=1。8爐(。>0且0/1),對應(yīng)：f(xn)=nf(x)x

模型2：/(工)二108“工(4>0且2工1),對應(yīng)：/'(孫)=/5)+.八p)；

模型3：/(工)二108鵬(〃〉0且工1,工療>0),對應(yīng)：J\~)=；

模型4：/(工)=[/(4)+加]34一〃7(。>0且。1,不力>0),對應(yīng)：/Cu)=/(x)+/(y)+川，則

模型5：/(x)=[/(a)—機(jī)]k)g“x+機(jī)(。>0且wl,x,>>0),對應(yīng)：/(±)=/(x)-/(y)+〃7.

(9)正弦函數(shù)模型供提前「解，詳見必修第一冊第四章)：：

f(x)=sinX,對應(yīng)：f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),來源于

sin2a-sin20=sin(a+/?)sin(a-^)；

(10)余弦函數(shù)模型(供提前了解.，詳見必修第二冊第?章)：

3/12

模型I：模x）=coswx,對應(yīng)：/（工+田+/（工-歹）=2/0”（田（/（%）不恒為0）,則

模型2：/J）二cos5，對應(yīng)：/。）+/3）=2/（三與/（字）（/（x）不恒為0）；

模型3：/（外=工郎卬工，對應(yīng)：/（工+回+”工一內(nèi)二y⑴“以/⑴不恒為。）.

（II）正切函數(shù)模型（供提前了解，詳見必修第二冊第一聿）：

/（X）=tan.，對應(yīng)："x土＞）=]!（；）；）；；；（"工）“歹）工】）?

題型一：抽象函數(shù)的定義域

（1）若y=/（x）的定義域?yàn)椋ā?，b）,則解不等式aVg（x）V〃即可求出y=/（g（x））的定義域；

（2）若》=/3"））的定義域?yàn)椋ā?，b）,則求出g（x）在（〃，3上的值域即得y=/（x）的定義域?

1.（24-25高一上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）己知函數(shù)/（2..1）的定義域?yàn)椋?,2）,則函數(shù)/（l-x）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

C.(—2,4)D.(-2,0)

2.⑵-25高二下?吉林?期末）已知函數(shù)蚱/⑸的定義域?yàn)閇Y3],則函數(shù)y=*的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-6,-l)u(-l,2]B.[-4,-l)u(-l,4]

C.[-4,4]D.[-5,-l)u(-l,3]

（24-25高二上?廣東陽江?階段練習(xí)）函數(shù)/（2x+l）的定義域?yàn)椴?,2],則函數(shù)），=△立的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

3.

x+1

A.{x|-1<x<2}B.{x\-\<x<5}

C.-x-\<x<.—■D.{x\-1<x<5}

2

1

4.（24-25高一上?遼寧鞍山?階段練習(xí)）已知〃x）的定義域?yàn)椋á?，則/—+/x+弓的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

11]

A.B.C.D.

JU?23,2>

5.（24-25高一上?江西贛州?期末）若函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2）,則函數(shù)/"）的定義域?yàn)?

6.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)卜=/（寸-1）的定義域?yàn)?2,2],則函數(shù)^=/（'）的定義域?yàn)?/p>

函數(shù)N=/（x+l）的定義域?yàn)?

題型二：抽象函數(shù)求值

4/12

00與式

一般采用賦值法，0,1,X,4是常見的賦值手段.

7.(24-25高三上?福建泉州?階段練習(xí))若對任意的x/eR,函數(shù)“X)滿足坦？L/(x)+/(y),則/⑴二

()

A.6B.4C.2D.0

8.(24-25高三上?廣東深圳?期中)已知函數(shù)［*)的定義域?yàn)?0,*o),Vx,ye(0,+oo),都有

U=/(x)-/(y)+l,且《)=2,則/(512)=()

A.—6B.—7C.—8D.—9

9.(24-25高三上?廣東江門?階段練習(xí))函數(shù)〃x)滿足對任意的實(shí)數(shù)X,兒均有./■(??，)?/())=/(》)工0,

1

m/(2)+八3)+八4)++7(2025)_

?；2/(I)/(2)/(3)/(2024)

A.1014B.1012C.2024D.2025

10.(2025?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(》)滿足：VxeR,/(x-l)+6>/(x+5),/(x+l)-3>/(x-2),

若f(3)=2,則〃2025)=()

A.2022B.2023C.2024D.2025

11.(2025?安徽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)滿足/(x+y)=/*)+/(y)-i,則以下結(jié)論錯誤的是()

A./(0)=1B./(x)+/(-x)=2

C./(x+l)+/U-l)=/(2x)+lD./(1+X)+/(1-A)=0

12.(2025?浙江紹興?三模)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+y)=/(x)+/(y)+xy且/(1)=1,則

/(100)=.

13.(2025?重慶?模擬預(yù)測)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足.川+x)=/("x)+2x,則/(2026)=.

題型三：抽象函數(shù)的值域

G?00

求解方法有二：一是借助函數(shù)圖象的變換求解，如函數(shù)圖象左右平移，其值域不變；函數(shù)圖象上下

平移，其值域也相應(yīng)平移相同個單位；二是利用賦值法求解.

14.(24-25高三下?湖南長沙?階段練習(xí))已知函數(shù)》=/(力的定義域和值域分別為［-1川和［5,9］,則函數(shù)

y=/(x+i)的定義域和值域分別為()

A.［0,2］和［6,10］8.卜2,0］和［6,10］

5/12

c.［0,2］和［5,9］口.卜2,0］和［5,9］

15.侈選）（24-25高一上?廣東廣州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（幻的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?2,3）,則下列函數(shù)的

值域也為［-2,3）的是（）

A.y=f（x+\）B.y=fW+\

c.y=f{-x}D.y=-f（x）

16.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/*）的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?2,3］,則函數(shù)），=/（%+1）的值域

為■

17.（24-25高二下?浙江麗水?期末）已知定義在R上的函數(shù)/*）的值域是［1,2］,則函數(shù)y=/（x+3）+l的值

域是.

18.（24-25高三下?重慶?階段練習(xí)）已知/"）滿足/（x-y）/G）=2/（x）J（x）/0,且/⑴=4,則

/（2-x）+/（x）的值域?yàn)?/p>

19.（2025?山東聊城?模擬預(yù)測）已知偶函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,且/（x+y）=/（x）+/（j，）+2xy,則/（外

的值域?yàn)?

題型四：抽象函數(shù)的解析式

00目百

主要方法有二：一是方程法，即構(gòu)造關(guān)于函數(shù)（如/（M）的方程（組），通過解方程（組）即得所求函數(shù)

（如/（X））的解析式；

三是模型造，即結(jié)合所給條件確定相回函數(shù)的模型，再求HI其磔系數(shù)，即得函數(shù)的解析式._

20.（24-25高一上?廣東?期中）/G）的定義域?yàn)椋?,+動，滿足2〃x）-/（g）=2x+l,則/（外的最小值為（）

A」+逑B」+這C.2D.辿

3333

21.（24-25高三上?安徽合肥?期中）已知函數(shù)/（x）對任意x滿足37（x）-〃2-x）=4x,則/（力=.

22.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,且滿足/3+〃力=/（x+尸）-2肛72,/⑴=2,

若xeN',則函數(shù)/（用的解析式為.

23.（2025高三上?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）具有下列性質(zhì)：①Dm,〃eR,/?+/?（〃）=/（〃?+〃）；

②V〃?，〃wR,當(dāng)〃?>〃時，/（〃）</（〃），則函數(shù)/（月可能的一個解析式為.

24.（24-25高二下?浙江?期末）定義在R上的函數(shù)/⑺滿足/（%-力=/。）-/3-1且/（力是一個增函數(shù),

請寫出滿足條件的一個函數(shù)/"）=.（寫出一個即可）

25.（2025?重慶?模擬預(yù)測）設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/（x）滿足：Vx,PeR都有=/（/（x））+y且

/（0）=〃（〃為常數(shù)），貝I」函數(shù)/（.*）=.

26.（2025高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)/1）滿足Wx/wZ,/（x+y）=/（x）+/（y）+2孫+1,且〃-2）=1,

6/12

則“2〃乂〃cN.)=.

題型五：抽象函數(shù)的單調(diào)性

⑴若給出的是“和型”抽象函數(shù)f(x+y)=…，判斷符號時要比要變形為

/(4)-/(M)=/［(工2-演)+再］-/(再),或變形為f(x2)一/區(qū))=/(X2)-/［區(qū)一七)+七］。

⑵若給出的是“積型”抽象函數(shù)/(孫)=…，判斷符號時要比要變形為f(x2)-f(x.)=f(x［?上］一/(%)),

IXJ

或變形為/(%)-小)—心?土.

IX2)

27.(23-24百三下?四川南充?階段練牙)名知/⑴是定義在R上的函數(shù),71對任意實(shí)數(shù)X」，

/k+2y)=/(x)+2/3.

⑴若/⑴二一2,求/出，，1)的值.

(2)若%>0時恒有/卜)<0,試判斷函數(shù)/(%)單調(diào)性，并說明理由.

28.(24-25高一下?貴州六盤水?期中)己知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽，對任意》，V都滿足/(工+丁)=/(力/3,

且/(力=0.當(dāng)“0時,/(x)>l,且"2)=9.

⑴求/⑴，/⑶的值；

(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明/(x)在R上單調(diào)遞增；

7/12

（3）若對任意的xwR,/（2%2一/+4/3/（..5）/（3.”4）恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

29.（23-24高二下?福建福州?期中）已知函數(shù)/（》）的定義域?yàn)椋ǎǎ?+司，對任意正實(shí)數(shù)工，々都有

/（再々）=/（占）+/（*2）+1，且當(dāng)0<XVl時，/（V）>-1.

⑴求/⑴的值；

⑵試判斷/（4）的單調(diào)性，并證明；

⑶若/（6》2—5x）+1>0,求X的取值范圍.

題型六：抽象函數(shù)的奇偶性

判斷抽象函數(shù)奇偶性的步驟:

（1）驗(yàn)證定義域的對稱性；

8/12

(2)應(yīng)用賦值法構(gòu)造關(guān)于/(x)和/(-x)的關(guān)系。

(3)處理非標(biāo)準(zhǔn)自變量形式：若條件中出現(xiàn)如/。-1)為奇函數(shù)的描述，需注意自變量替換規(guī)則：奇函

數(shù)定義應(yīng)改寫為/'(-X-1)=-/(-V-1).

30.湖北省武漢市問津教育聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)費(fèi)題)已知函數(shù)/(x)是定義在

[7,4]上的偶函數(shù),在[-4,0]上單調(diào)遞增.若/(x+l)</(-2),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

A.(-oo,-3)U(l,+oo)B.(-3,1)

C.[-3,1)U(3,5]D.[-5,-3)U(l,3]

31.(24-25高三上?福建泉州?期中)已知函數(shù)/(工卜/一-/工+3則滿足/(2〃L2)+/(〃L1)>6的實(shí)數(shù)

的取值范圍是()

A.3+力B?[+力C.D.(3收)

32.(23-24高三上?浙江杭州?期末)若定義在R上的奇函數(shù)/(幻在(田,0)上單調(diào)遞減，且/(3)=0,則滿

足2)20的％的取值范圍是()

A.[-l,0]U[5,+x)B.[-2,-l]U[0,5]

C.[-2,0]U[5,+?>)D.[-l,0]U[2,5]

33.(24-25高三上?河北邢臺?期末)已知函數(shù)/(X)是定義在R上的減函數(shù)，且/(工-1)-2為奇函數(shù)，對任

意的〃?-2同，不等式+恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是()

A.(r,3]B.I

34.(2025高二下?山東青島?競賽)已知/(x)是定義在R上不恒為0的函數(shù)，/(x+1)為奇函數(shù)，/(2x-1)為

偶函數(shù)，則()

A./(-3)=0B./(0)=0C./(2)=0D./(4)=0

35.(2025?江蘇?二模)已知函數(shù)/(X)和g(x)的定義域均為R.若/(x+1)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù),且

/⑴一g(x-2)=2—x,則/(g(-1))=()

A.-IB.0C.1D.2

36.(多選)(24-25高三下?重慶,階段練習(xí))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)不是常值函數(shù),當(dāng)x>l時，f(x)>0,

而且對任意的x/wR有/(中)=/(x)/(y)+/(x)+/(y),則下列說法正確的有()

A./(1)=0

B.若xe(0,l),則/(x)e(—1,0)

C./(x)在(0,出)單調(diào)遞減

9/12

D.若/(一1)=0,/(3)=2,則不等式/。一1)<8的解集為{x|-3<x<5}

37.(23-24高一下?河北保定?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足:

/(X+歹)=/(力+/3-3Mx+j).

⑴判斷y=/(x)的奇偶性并證明；

(2)若=求/(—2)；

⑶若心>0,/(阿+/>0,判斷并證明歹=/(x)+V的單調(diào)性.

38.(23-24高一上?山東?階段練習(xí))已知定義在(YO,0)U(0,+8)上的函數(shù)/(X)滿足/()，)-/口)=架怨,

當(dāng)1>0時,/(工)>0,且/(1)=1.

⑴求/(2)J(-1)；

(2)判斷/(x)的奇偶性，并說明理由：

(3)判斷/(》)在(-0,0)上的單調(diào)性，并說明理由.

題型七：抽象函數(shù)的對稱性

1.對稱性：

對稱軸：/(〃一彳)=/(〃+》)或者/(2a-x)=/(x)=>/(x)關(guān)于X=Q對稱;

10/12

對■稱中心：/（〃-x）+/（a+x）=23或者/（2a-x）+/（i）=2bn/（x）關(guān)于（。力）對稱；

2.如果/⑴同時關(guān)于X=Q對稱，又關(guān)于（b,c）對稱，則/（x）的周期7=|。—4

3.單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結(jié)合解不等式問題

①/（x）在R上是奇函數(shù)，且/（x）單調(diào)遞增n若解不等式/日）+/卜）＞0,則有

玉+Z＞0；

/⑴在/?卜是奇函數(shù),月/（丫）單調(diào)遞減n若解不等式/（芭）+/（丫2）＞0,則有

X[+＜0;

②/（X）在R上是偶函數(shù)，且/（X）在（0,+8）單調(diào)遞增n若解不等式/（$）＞/卜），則有岡＞同

（不變號加絕對值）；

/（x）在R上是偶函數(shù),且/（x）在（0,+00）單調(diào)遞減n若解不等式/（x（）＞/（x2）,則有同＜同

（變號加絕對值）.

③/（1）關(guān)于（生〃）對稱，旦/（外單調(diào)遞增=若解不等式/（當(dāng)）十/（々）＞2〃，則有

X1+%＞2。；

/（X）關(guān)于（。㈤對稱，且/（X）單調(diào)遞減=若解不等式/卜）+/&）＞26,則有

x]+x2＜2a；

④/（x）關(guān)于X=Q對稱，且/（x）在（〃,+8）單調(diào)遞增n若解不等式/（x,）＞/（x2）,則有

N-4＞,2一。|（不變號加絕對值）；

/⑴關(guān)于X=Q對稱，且/（X）在（〃,+8）單調(diào)遞減n若解不等式/（x,）＞/（x2）,則有

,]一4＜,2-4（不變號加絕對值）：

39.724-25高一下?安徽合肥?期末）已知函數(shù)/*）為定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)產(chǎn)（數(shù)=/（4-1）+1]可

(3999、

)

UOOO；

A.2000B.1999C.4000D.3999

40.（2025島二?全國?專題練習(xí)）著函數(shù)y=/（x+l）是偶函數(shù)，則函數(shù)歹=/@）的圖像關(guān)于對稱.

41.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)/（X）滿足/（2-x）=/（4+x）.若方程/（x）=0有5

個根，則這5