指數(shù)與對(duì)數(shù)的計(jì)算、指數(shù)與對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、零點(diǎn)與方程的解專(zhuān)項(xiàng)

訓(xùn)練-2026高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

軟熟⑤對(duì)照的的算、器熟與對(duì)數(shù)的實(shí)舔改用、零支與方程的解專(zhuān)項(xiàng)制推

目錄

題型一指數(shù)與對(duì)數(shù)的計(jì)算............................................................1

題型二指數(shù)與對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用........................................................5

題型三零點(diǎn)與方程的解..............................................................8

題型一

33

1.(25-26高一上?江蘇南通?期中)⑴求(Ig2)+31g2xlg5+(lg5)的值:

3-32-2

小口自1i-R(?+a)(a+a-2).十

(2)已知。一。7=1,求-----------------的值；

a4-a-4

7ym

(3)已知rn=匕取:,n=log7,證明：log“63=二'.

/2'TiVTl十TTb

2.（25一26高一上,安徽蕪湖?期中）（1）已知：U+a得=3,求，1產(chǎn)

a2+a-2—2

(2)已知log>3=a,log27=b,試用a,b表示logt256.

3.(25-26高一上?江蘇南京?期中)計(jì)算下列各題：

⑴0.0644-(-4)。+(23)++V(2-e)2；

2,Ofc2

(2)lg25+日也8+lg5xlg20+lg2+log23-log38+5；

o

⑶已知QT+?=3,求一+。：+3的值.

。+小一2

4.(25-26高一上?江蘇南京?月考)計(jì)算：

(1)3—(一3)°+0(-3)5+(0.57；

(2)lnVe+lg/+21g2+3lo&2.

...........?

5.(25-26高一上?廣東廣州?期中)計(jì)算：

⑴招I+(75+2)。+信廠+V(V3-2)2；

,n3

(2)logu8+lg125+lg8—e—log92xlog(81；

6.（25-26高一上?江蘇南京?期中）⑴求值：（備尸一（/1—（懸）+64苴

（2）求值：27.2+log95xlog1003+書(shū)票；

（3）設(shè)正實(shí)數(shù)。滿足/—cd=3,求+的也

x—x~l

7.(25—26高一上?江蘇泰州?期中)求下列各式的值:

(1)已知U+aT=3,求。+。：+2的值；

a2+a~2-2

⑵Qg2)2+lg2?lg50+lg25；

(3)若lg2=Q,3"=10,用a,b表示log1245.

8.(25-26高一上?河南?期中)化簡(jiǎn)求值：

.Q.2.\_____________

+(0.02)~-5X7(1-5^)-4+(3-7i)°;

(2)-logo.15+Ig2+lg2-lg5+2"喝5

log^VlO

題型二指數(shù)與對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

9.（25-26高三上?福建漳州?月考）2023年8月24日，日本不顧國(guó)際社會(huì)的強(qiáng)烈反對(duì),將福島第一核電站核

污染廢水排入大海，對(duì)海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有21種

半衰期在10年以上;有8種半衰期在1萬(wàn)年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度c（Bq/L）與

時(shí)間方（年）近似滿足關(guān)系式c=k?出（k,a為大于0的常數(shù)且aWl）.若c=!時(shí)，1=10；若。=心時(shí)，力

=20.則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度c為古時(shí)，大約需要（）（參考數(shù)據(jù)：log23

^1.58,log,5^2.32)

A.43年B.53年C.73年D.120年

10.（25—26高三上?安徽?期中）在一個(gè)有限的資源和空間環(huán)境下，某種生物的數(shù)量尸⑴與時(shí)間”單位：天）

的關(guān)系式為：P（i）=￡,，其中K,A為正常數(shù).已知該種生物數(shù)量為4，與時(shí)，所對(duì)應(yīng)的時(shí)間分

1+Ae~lyJ

別為ty,t2f則t-2—1[=（）

A.In2R.In3C.21n2D.21n3

11.（25-26高一上?重慶沙坪壩?期中）美國(guó)生物學(xué)家雷蒙德?皮爾提出一種能較好地描述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生

長(zhǎng)曲線，稱(chēng)為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡(jiǎn)化為/（①）=

工+b（P>0,a>l,kV0）的形式.已知/（/）=]+：區(qū)+6（cWN）描述的是一種植物的高度隨著時(shí)間

M單位:年）變化的規(guī)律.若剛栽種時(shí)該植物的高為1米，經(jīng)過(guò)一年,該植物的高為2米，要讓該植物的高

度超過(guò)3.8米，至少需要（）年.

A.2B.3C.4D.5

12.（25—26高一上?河北邯鄲?期中?多選）若臭氧含量"與時(shí)間，（單位：年）的函數(shù)關(guān)系式為“=朋0。一忐，其

中正數(shù)M）為臭氧的初始含量，則（）

A.隨著時(shí)間的增加，臭氧的含量增加

B.隨著時(shí)間的增加，臭氧的含量減少

C.當(dāng)￡=100時(shí)，M=旭

e

D.已知打年臭氧含量為M，與年臭氧含量為此，若M。此，則力2T尸100

13.（25—26高一上?浙江?期中?多選）2025年8月27日，我國(guó)新赧、西藏等地發(fā)生多次3.1至4.7級(jí)地震，一般

來(lái)說(shuō),震級(jí)在3級(jí)以上時(shí)，我們稱(chēng)該地震為有感地震（即人們能感覺(jué)到此次地震）.里氏震級(jí)H與地震釋

放能量E的關(guān)系為￡=k?10和.已知6級(jí)地震釋放的能量為6.3X1013。J,則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.震級(jí)越大,地震釋放的能量越大

B.k=6.3x10'

C.8級(jí)地震釋放的能量為6級(jí)地震釋放能量的1000倍

D.某次地震釋放的能量為7x109。J,則該地震為有感地宸

14.（24—25高一上?四川成都?期末）聲壓級(jí)人（單位：dB）與聲壓P（單位：Pa）的關(guān)系為3201g導(dǎo)其中

R=2x10-5（Pa）為人在空氣中能聽(tīng)到的最低聲壓.己知飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)聲音的聲壓級(jí)七片比人正常說(shuō)話聲

音的聲壓級(jí)Lp,大60dB，則獸=

15.（24-25高一上?河南商丘?期末）已知某種食品的保鮮時(shí)間版單位：/I）與儲(chǔ)存溫度M單位：℃）滿足的關(guān)

系式為V=2皿%a,beR,若該食品在（）℃時(shí)的保鮮時(shí)間是1283在41時(shí)的保鮮時(shí)間是在24℃時(shí)保鮮

時(shí)間的2倍，則該食品在20℃時(shí)的保鮮時(shí)間是h.

16.（25-26高一上?北京通州?期中）在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，緩存的核心作用是加速數(shù)據(jù)訪問(wèn).當(dāng)緩存加載完成后，

未被讀取的信息比例C（t）會(huì)隨時(shí)間t的推移逐漸下降，其變化規(guī)律可用函數(shù)模型C（t）=4+B￡近似

描述.其中/表示穩(wěn)態(tài)未被讀取比例，/?表示初始時(shí)未被讀取的“額外”比例，丁為衰減時(shí)閏常數(shù).某工程

附對(duì)某服務(wù)器緩存進(jìn)行性能測(cè)試，下表記錄了以下數(shù)據(jù)（緩存加載完成后開(kāi)始計(jì)時(shí)）：

￡（分鐘）0510

754530

用該模型推算當(dāng)1=15時(shí)，緩存中未被讀取的信息比例約為（）

A.20%B.22.5%C.25.5%D.28%

17.（25-26高三上?河北?月考）地震時(shí)釋放出的能量E（單位：爾格，1爾格=10-焦耳）與地震里氏震級(jí)M

之間的關(guān)系為lgE=1.5M+11.8.若第一次地震的里氏震級(jí)比笫二次高4級(jí)，則笫一次地震釋放出的能

量是第二次的（）

A.3倍B.101倍C.倍D.10。倍

18.（25-26高三上?遼寧?期中）宋代詞人周邦彥詞中曾寫(xiě)“葉上初陽(yáng)干宿雨，水面清圓，一一風(fēng)荷舉”.已知

池塘中的荷花每經(jīng)過(guò)一天的生長(zhǎng)，荷葉覆蓋水面面積都是前一天的六倍，若荷葉經(jīng)過(guò)20天可以完全長(zhǎng)

滿池塘水面,則當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉大約生長(zhǎng)了（參考數(shù)據(jù)：吆2=0.3）（）

A.15天B.16天C.17天D.18天

19.（25-26高三上?遼寧?階段練習(xí)?多選）在極端刺激下，物理刺激強(qiáng)度與人類(lèi)心理感受之間的關(guān)系近似滿

足史蒂文斯嘉定律：S=k?「,其中k為非零常數(shù)，也為嘉常數(shù)，S為主觀感覺(jué)強(qiáng)度，/為物理刺激強(qiáng)度，/

>0.現(xiàn)有如下RPE（主觀感覺(jué)強(qiáng)度）表：

強(qiáng)度s66

自我感覺(jué)6-89-1112-1415-1718-20

0

已知在臨床條件下k=!，在R/石強(qiáng)度為S：時(shí)得到的實(shí)際物理刺激強(qiáng)度為，.，則（）

A.當(dāng)71=2時(shí)，？3>/2B.當(dāng)九=2時(shí)，2A>31]

C.當(dāng)n=3時(shí)，心心〈選D.當(dāng)n=4時(shí)MT2A〉/：￡

20.（24-25高一上?廣東?期末?多選）某機(jī)構(gòu)根據(jù)邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型結(jié)合過(guò)去15年的數(shù)據(jù)，對(duì)2010-2040年

我國(guó)新能源汽車(chē)的市場(chǎng)滲透率進(jìn)行了模擬和預(yù)測(cè)，得到我國(guó)新能源汽車(chē)的市場(chǎng)滲透率/（①）與時(shí)間。（單

位:年，規(guī)定c=0表示2010年初）的函數(shù)關(guān)系為〃為=——白E（°<》<30）,則下列結(jié)論正確的是

JL?仁

（）參考數(shù)據(jù)：1#31.1.

A./（⑼的圖象關(guān)于點(diǎn)（15。）中心對(duì)稱(chēng)

B./（x）的圖象關(guān)于直線2=15對(duì)稱(chēng)

C.2022年初,我國(guó)新能源汽車(chē)的市場(chǎng)滲透率不足25%

D.預(yù)計(jì)2030年初,我國(guó)新能源汽車(chē)的市場(chǎng)滲透率超過(guò)90%

21.（25—26高一上?上海?期中）聚合酶鏈?zhǔn)椒磻?yīng)（PCH）擴(kuò)增技術(shù)可以將微量的。M4片段大量復(fù)制以便儀

器進(jìn)行檢測(cè)，常用于醫(yī)學(xué)、考古、刑偵等領(lǐng)域，每1次擴(kuò)增將ON4片段量變?yōu)閿U(kuò)增前的2倍.若某研究中

初始。N4片段量為5,要求用于儀器檢測(cè)的DM4片段量不低于10%則檢測(cè)前需要擴(kuò)增的次數(shù)至少為

（lg2so.3010）.

22.（24—25高一上?廣東梅州?期末）放射性物質(zhì)原子核數(shù)的衰變規(guī)律是：N=N。O尢其中M指初始時(shí)

刻的原子核數(shù)，￡為衰變時(shí)間，丁為半衰期，N為衰變后剩余的原子核數(shù).已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的

半衰期分別為7；、4（單位：天），若兩種物質(zhì)的初始原子核數(shù)相同，512天后發(fā)現(xiàn)甲的原子核數(shù)是乙的原

子核數(shù)的4倍，則親一親=

題型三基點(diǎn)與方程的解

—+CLXX42

23.(25-26高一上?重慶?期中)已知函數(shù)/(*)=.1'°,若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)①i,g,使得

歹。+1,x>2

/(電)=/(附)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(一co,4)U(5,+8)B.(-8,4)U[5,+8)C.(-8,4)D.(-co,4]U[5,+oo]

24.(25-26高一上?北京?期中)設(shè)/(⑼=3,+3%-8,用二分法求方程3,+3啰-8=0在c￡(1,2)內(nèi)近似解

的過(guò)程中得/(I)V0,/(L5)>0,/(1.25)V0,則方程的此根所落區(qū)間為()

A.(1.5,2)B.(L1.25)C.(1.25,1.5)D.不能確定

25.(25—26高三上?福建漳州?月考)已知函數(shù)/(。)=]，：一"'#1’則方程/(/(。))=J的解的個(gè)數(shù)為

()

A.3B.4C.5D.6

26.(25—26高一上?山東?期中?多選)已知函數(shù)/3)=-d+2的03)=《鈕，，若方程。(/(為)一

w+1,xCO

。=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)Q可能的取值為()

A.4B.1C.4D.4

454

T‘'TVCl

；,若存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g(c)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),

{ar,x>a

則Q的取值范圍.

—T2—2LI4-32

28.(25—26高一上?浙江?期中)已知函數(shù)/(⑼=《'，若函數(shù)g(c)=t(t為常數(shù))與函

—2x—11,x<—2

數(shù)fQ)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)土的取值范圍是.

29.(25—26高一上?北京?期中)已知函數(shù)/⑴為二次函數(shù)，/(c)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,-3),對(duì)稱(chēng)軸為c=l,函數(shù)

/(⑼在R上最小值為—4.

(1)求/(宏)的解析式：

⑵若在區(qū)間[-1,3]上，不等式/?>2/+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)若函數(shù)F(x)=f(x)+(3—a)。+4在(0.3)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

...................0

30.(25-26高一上?北京?期中)函數(shù)/(切=2］一工的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

X

A.(-1,0)B.(^-,1)C.(1,2)D.(2,3)

4

31.(25-26高一上?浙江寧波?期中)己知關(guān)于力的方程--^-+1=k恰有兩個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)k的取值

\x\-k

范圍為()

C.(2,『

A.B.D.（馮\）

2

22+4c+5x<()

'，若存在四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

{±

孫羯￡3皿31VgVgCg)使得/⑶)=/3)=/(4)=/(g)，則①述2曲為的取值范圍是()

A.(-oo,4]B.[0,4]C.[0,4)D.[0,3)

33.(25—26高一上?河北邯鄲?期中?多選)已知函數(shù)/⑺=(“產(chǎn)況42,若函數(shù)gQ)m

(g—6c+9,x>2

有且僅有4個(gè)零點(diǎn)Ci,x2,g,刈(其中x}<x2<x,i<g)，則()

A.函數(shù)/Q)的增區(qū)間為[1,2],[3,+oo)

B.m的取值范圍為0VaV2

C.x1x2+x3+x4=7

D.xj(xi)+x2f(x2)+①3/(g)+皿/(4)的取值范圍為(。，￥)

?工一]

34.(25—26高一上?重慶?期中)已知函數(shù)/(0=4'，若關(guān)于c的不等式(/(c)—2)(/(c)—￡)

—2x—x^c<0

V0有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)力的取值范圍為.

35.(25—26高一上?遼寧撫順?期中)函數(shù)/(①)=/口手的零點(diǎn)為.

36.(25—26高一上?河南南陽(yáng)?期中)已知/(c)是定義在A上的奇函數(shù)，且當(dāng)2400寸，/(0=砂+2①

⑴求/(①)的解析式；

(2)求/(0的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)若關(guān)于⑦的方程/(/)=￡有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

前戳與對(duì)率的針?biāo)悖?，戳易?duì)率8實(shí)除*用?本JL鳥(niǎo)方程的解考?xì)堉票?/p>

目錄

題型一指數(shù)與對(duì)數(shù)的計(jì)算...................................................1

題型二指數(shù)與對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用................................................5

題型三零點(diǎn)與方程的解..............................................................11

指數(shù)與對(duì)數(shù)的計(jì)算

33

1.(25-26高一上?江蘇南通?期中)(1)求(Ig2)+31g2xlg5+(lg5)的值;

(2)已知。一小=1,求33+/)3+：-2-2)的值；

a1—a-4

(3)已知m=log；，!,n=1。&7,證明：logu63=.

2mn+m

【答案】(1)1;(2),;(3)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)原式=(Ig2+lg5)[(lg2)2-lg2?lg5+(lg5)2]+31g2xlg5

=IglO?[(Ig2+lg5)2-31g2-lg5]+31g2xlg5

=1x[(lgl0)2-31g2-lg5]+31g21g5

=l2-31g2-lg54-31g21g5=l

-1222-2

(2)(a-a)=a+a~—2=1,則Q?+a=3,

3-3-1-1

a+a=(Q+QT)(Q2-1+Q-2)—(a+a)(3—1)=2(a+a),

a4—a-4=(a.24-a-2)(a2—a-2)=(a24-a-2)(a—a-|)(a4-a-1)=3(a4-a_1),

由a+LWO,則3：W+「—2)=23+小?(3-2)=,

a4—a-43(a4-a-,)3

⑶m=log；佟=一1。噓=一霍，n=log27=罌，

/Inoinz

ln7,21n3

MIi“l(fā)n63In74-ln9In7+21n3ln2十ln2

則1噸用3=正"=正立布=In2+ln7=1十近

,十ln2

=：J=一"2,即iog“63=河12

14-nm+mnmn+m

2.(25-26高一上?安徽蕪湖?期中)⑴已知：?+。弓=3,求。產(chǎn)：[2

(2)已知log23=a,log27=b，試用a,b表示log|256.

【答案】⑴春；(2)總士I

51+。+。

【詳解】(1)/.(。亍+。刁=a+2+QT=9;

a+a-1=7;

/.(a+a-1)2=a?+2+a-2=49;

a2+a-2=47;

.a+aT+2=9=1

**a2+a-2—2455,

CXrf.=1。段56=10改8+1限7=3十10>7=3+b

log242log26+log27log22+log23+log271+a+b-

3.(25—26高一上?江蘇南京?期中)計(jì)算下列各題：

(1)0.064^-(一4)°+⑵尸+V(2-e)2；

2logi2

(2)lg25+上國(guó)8+lg5xlg20+lg2+log23-log38+5；

o

(3)已知QT+/=3,求：+3的值.

a+a-1-2

【答案】(l)M+e(2)8(3)65

16

【詳解】⑴0.0643-(-)°+⑵尸+J(2-c)2=(0.4)3X(-^-1+2區(qū)得)+e-2=-1--1+4-e-

2,Ofo22

(2)lg25+?lg8+lg5xlg20+lg2+log23-log38+5=21g5+21g2+lg5x(lg2+1)+lg2+log28+

2=2+(Ig5+lg2)lg2+lg5+3+2=8,

(3)由a，十a(chǎn)'=3可得(a5+a7)=9,

所以a+。一|=7,進(jìn)而(a+。一廳=49,故a2+a~2=47,

°3+Q-3+3(Q+Q-I)(Q2_I+Q-2)+37X46+3收

------:----=------------z-----------=-----z----=65

。十「一255

4.(25—26高一上?江蘇南京?月考)計(jì)算：

(1)84-(-3)°+4(-3)5+(0.5尸；

(2)lnVe+Ig-y+21g2+3lo&2.

【答案】⑴0;⑵1.

【詳解】(1)84-(-3)°+，(-3y+(0.5)-,=⑵京-1+(-3)+2=2-1-3+2=0.

(2)Wi+lg|+21g2+3丘2=J+lg|+lg22+2=得+lg(|X22)+2=/+1+2=

5.(25-26高一上?廣東廣州?期中)計(jì)算：

⑴溝+(胡+2)。+信廠+V(V3-2)2；

(2)logj8+lgl25+lg8—e,n3—log,)2Xlog|81；

【答案】⑴6⑵春

[--

【詳解】⑴溝+(75+2)。+(5)2+V(V3-2)2

?J

=(34)++1+3^+2-73=3+1+73+2-73=6.

ln3

(2)log48+lg125+lg8-e-log92xlog^l；

=叱23+庚+尼2-3-普、署；

............B

=1log22+3(lg2+lg5)-3-x墨

4+3-3-1=4.

6.（25-26高一上?江蘇南京?期中）⑴求值:+64飛；

ln^/2

(2)求值：27M+log5xlog3+

9100InlO'

:一次⑦+力一）

1,、(x34-0：

（3）設(shè)正實(shí)數(shù)6滿足"一］3=3,求^------的直.

x-x~1

【答案】（1）一售；（2）苧；（3）著

_1

【詳解】（1+64飛

=信戶(hù)3一(一2)2一倍尸+2-

_349,119.

2525'

(2)27%2+log95xlogI))((3+

=(3lofis2)3+lgxM+±lg2

=8+地x圖+42=巡，

21g32484'

33

(3)(x+x彳)—(爐—x.)=4xxx可=4,

所以(C'+N3)=13,又4J+23>0,

~i-J-.-

所以/十/*=Vl3,

222?>

71

所以X3+x3+2=13即爐+土=11,

所以/+化7=(小+#-與(/-1+2-方)=10V13,

x—x~x—xOG—l+c：，)=36,

小+/3)3+①T)=Vlgx]0方=130=65

所以

x—x~l363618

7.(25—26高一上?江蘇泰州?期中)求下列各式的值:

(1)已知涓+<3=3,求的值；

Q-+Q-2-2

(2)(lg2)2+lg2-lg50+lg25；

(3)若lg2=a,3b=10,用a,b表示10gl245.

【答案】（1）《⑵2⑶皿5=嗡普

□

【詳解】（1）因?yàn)樾?。6=3,所以?xún)蛇呁瑫r(shí)平方得：a+2+tr1=9,

所以。+=7,兩邊再平方得：〃+2+。-2=49,

故Q2+「=47所以。+。：+2

Q2+Q-2-247-25

⑵原式=Ig2(lg2+lg50)+lg25=lg2(lgl00)+lg25=21g2+21g5=2(lg2+lg5)=21gl()=2。原式.

(3)由題意得，logJO=b,即lg3=J,

0

所―=器=耦土筆等一X

2+b—ab

2a+y2ab+1

8.(25-26高一上?河南?期中)化簡(jiǎn)求值：

2

⑴(3豺+(0.02戶(hù)一5x7(1-V2)-4+(3—冗)。；

⑵一log“5+?膜+膜.吆5+

log^VlO

【答案】⑴-1

(2)11

2

【詳解】(1)(3豺+(0.02/一5x7(1-V2)-4+(3—冗)°

=(7?j+J島)'_5X(7(V2-1)'[+(3-4

*+5H77^7^+l

4(V2-l)(-x/2+1)

=j+5^-(5V2+5)+l

7

4

⑵—1?？v5+?場(chǎng)2+lg2-lg5+

log^lO

=lg5+-r^-+lg2-lg5+2x2,O&5

=lg5+lg2-lg2+lg2-lg5+2x5

=lg5+lg2(lg2+lg5)+10

=lg5+lg2+10

=11

題型二

9.（25-26高三上?福建漳州?月考）2023年8月24日，日本不顧國(guó)際社會(huì)的強(qiáng)烈反對(duì),將福島第一核電站核

污染廢水排入大海，對(duì)海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有21種

半衰期在10年以上;有8種半衰期在1萬(wàn)年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度c（Bq/L）與

時(shí)間方（年）近似滿足關(guān)系式c=k?出（k,a為大于0的常數(shù)且aWl）.若c=!時(shí)，1=10；若。=心時(shí)，力

=20,則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度c為擊時(shí)，大約需要（）（參考數(shù)據(jù)：log23

%1.58,1。&572.32）

A.43年B.53年C.73年D.120年

【答案】力

（i=k-a10[a=（^i

【詳解】由題意得:…解得，所以c=Jx4，

當(dāng)。=工時(shí)得工=1x（」訥即

60'寸603I21'20I21，

兩邊取對(duì)數(shù)得==log1-^r=log>20=24-log25=2+2.32=4.32,

1（）22（）

所以￡=43.2,

即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度c為工時(shí)，大約需要43年.

故選：A

10.（25—26高三上?安徽?期中）在一個(gè)有限的資源和空間環(huán)境下，某種生物的數(shù)量PQ）與時(shí)間￡（單位：天）

的關(guān)系式為：為⑴=￡，其中K,4為正常數(shù).已知該種生物數(shù)量為與，與時(shí)，所對(duì)應(yīng)的時(shí)間分

1+Ae~lyJ

別為tiF,則為—=1=（）

A.In2B.In3C.21n2D.21n3

【答案】。

【詳解】由P（幻?代入化簡(jiǎn)得斌』8①，由P&）=與得上丑=2②，

?yO

①和②相除得e"T'=4,則打一打=ln4=21n2.

故選：C.

11.（25-26高一上?重慶沙坪壩?期中）美國(guó)生物學(xué)家孟蒙德?皮爾提出一種能較好地描述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生

長(zhǎng)曲線，稱(chēng)為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡(jiǎn)化為/（乃=

]+"（P>0，a>l，>V0）的形式.已知/（乃二百、六c€N）描述的是一種植物的高度隨著時(shí)間

如單位:年）變化的規(guī)律.若剛栽種時(shí)該植物的高為1米，經(jīng)過(guò)一年,該植物的高為2米，要讓該植物的高

度超過(guò)3.8米，至少需要（）年.

A.2B.3C.4D.5

【答策】。

【詳解】依題意可得則卜+4『一I，解得b=l,k=—1,

U⑴=2［看=2

???〃，)=1+晨,

因?yàn)椤?1+3一工+】在定義域［0,+8)上單調(diào)遞減，且1+3一,*>0,又在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(①)在［0,+8)上單調(diào)遞增，而/(3)=—7—7=3.6,/(4)=—上1=烏>3.8

1+31+37

即f(3)V3.8Vf(4),

.?.該植物的高度超過(guò)3.8米，至少需要4年.

故選：C

12.(25-26高一上?河北邯鄲?期中?多選)若臭氧含量M與時(shí)間￡(單位:年)的函數(shù)關(guān)系式為其

中正數(shù)河)為臭氧的初始含量，則()

A.隨著時(shí)間的增加，臭氧的含量增加

B.隨著時(shí)間的增加，臭氧的含量減少

C.當(dāng)￡=1(小時(shí)?，”=必

e

D.已知白年臭氧含量為Mi,右年臭氧含量為M，若M=eM2，則12Tl=100

【答案】6CD

【詳解】對(duì)于6選項(xiàng)，由函數(shù)§=一襦單調(diào)遞減，函數(shù)”二a單調(diào)遞增，

可得函數(shù)M=Me-忐單調(diào)遞減，故4選項(xiàng)錯(cuò)誤，3選項(xiàng)正確；

對(duì)于。選項(xiàng)，當(dāng)力=100時(shí)，河=乂；盧愕=幽?，故。選項(xiàng)正確；

e

對(duì)于。選項(xiàng)，由M=q朋2,有M)e=eMi)e3,可得打一G=1。。，故。選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

13.(25-26高一上?浙江,期中?多選)2025年8月27日，我國(guó)新疆、西藏等地發(fā)生多次3.1至4.7級(jí)地震，一般

來(lái)說(shuō),震級(jí)在3級(jí)以上時(shí)，我們稱(chēng)該地震為有感地震(即人們能感覺(jué)到此次地震).里氏震級(jí)R與地震釋

放能量E的關(guān)系為后=人10劭.已知6級(jí)地震釋放的能量為6.3X1013。J,則下列說(shuō)法正確的是

()

A.震級(jí)越大，地震釋放的能量越大

B.k=6.3x105

C.8級(jí)地震釋放的能量為6級(jí)地震釋放能量的1000倍

D.某次地震釋放的能量為7x109。J,則該地震為有感地震

【答案】ACD

【詳解】由6級(jí)地震釋放的能量為6.3xl()i3。J,所以6.3乂1013=卜.10胡6,解得卜=63乂1(尸，所以6錯(cuò)

誤；：

E=310和=6.3x10:?10a=6.3x10”豺，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，A越大，則E就越大，所以力正確；

...........................G

當(dāng)R=8時(shí)，笈=kT0?8=k?10%當(dāng)R=6時(shí)，￡=k?10/$=￡?109,所以笈=1000瓦.所以。正確；

當(dāng)R=3時(shí)，E=6.3xio"舞3=6.3乂10t5。v7x10、地震釋放的能量為7x10。。J,

則該地震超過(guò)了3級(jí)，所以有震感，所以。正確.

故選：ACD.

14.（24—25高一上?四川成都?期耒）聲壓級(jí)人（單位：dB）與聲壓P（單位：Pa）的關(guān)系為〃,二201g《，其中

5

R=2x10-（Pa）為人在空氣中能聽(tīng)到的最低聲壓.已知飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)聲音的聲壓級(jí)LPi比人正常說(shuō)話聲

音的聲壓級(jí)LR大60dB，則獸=

【答案】10V1000

【詳解】由題設(shè)Lp、-Lp=201g-^—201g-^=201g-^-=60,

2■外為

所以1g強(qiáng)=3,

所以春=103.

■答案為：103.

15.（24-25高一上?河南商丘?期末）己知某種食品的保鮮時(shí)間以單位：拉）與儲(chǔ)存溫度M單位：。C）滿足的關(guān)

系式為9=23+1。"WR,若該食品在op時(shí)的保鮮時(shí)間是128拉,在TC時(shí)的保鮮時(shí)間是在241時(shí)保鮮

時(shí)間的2倍，則該食品在20℃時(shí)的保鮮時(shí)間是h.

【答案】64

120+6=128（b=7

【詳解】由題意得｛1+二募224田，解得。一獷

故y-2一擊入「當(dāng)n—20時(shí)，y—2T+‘一2”—64.

故答案為：64

16.（25-26高一上?北京通州?期中）在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，緩存的核心作用是加速數(shù)據(jù)訪問(wèn).當(dāng)緩存加載完成后,

未被讀取的信息比例C（t）會(huì)隨時(shí)間t的推移逐漸下降，其變化規(guī)律可用函數(shù)模型C（t）=A+Be4近似

描述.其中4表示穩(wěn)態(tài)未被讀取比例，8表示初始時(shí)未被讀取的“額外”比例，二為衰減時(shí)間常數(shù).某工程

師對(duì)某服務(wù)器緩存進(jìn)行性能測(cè)試,下表記錄了以下數(shù)據(jù)（緩存加載完成后開(kāi)始計(jì)時(shí)）：

A分鐘）0510

C(±)(%)754530

用該模型推算當(dāng)￡=15時(shí)，緩存中未被讀取的信息比例約為（）

A.20%B.22.5%C.25.5%D.28%

【答案】6

【詳解】由題意得：當(dāng)方=0時(shí)，。（0）=/+Be°=75%①，

當(dāng)力=5時(shí)，C（5）=4+8eT=45%②，

_JO

當(dāng)￡=10時(shí)，。（1（））=力+8/丁=30%③，

由①一②得3（1—葭，=30%④，

由②一③得6屋“1一0心）=15%⑤，

由易■得1=[⑥，所以4+與=45%⑦，

④22.

由①一⑦得。6=30%,解得8=60%,則4=15%,

_j5_5_5/1、3

所以當(dāng)￡=15時(shí)，C（15）=A+及丁=/l+3”xeFxe==15%+60%xg）=22.5%,

即當(dāng)￡=15時(shí)，緩存中未被讀取的信息比例約為22.5%.

故選：B.

17.（25-26高三上?河北?月考）地震時(shí)釋放出的能量E（單位:爾格，1爾格=10々焦耳）與地震里氏震級(jí)”

之間的關(guān)系為lgE=L5M+11.8.若第一次地震的里氏震級(jí)比第二次高4級(jí)，則第一次地震釋放出的能

量是第二次的（）

A.及倍B.10」倍C.10。倍D.1。9倍

【答案】。

【詳解】設(shè)第一次和第二次地震的里氏宸級(jí)分別為M、M,釋放的能量分別為笈、后2,由題意得用=的

+4,

則1gm=IgEj-lgS,—（1.5M+11.8）—（1.5跖+11.8）=1.5（M—M,）=1.5x4=6,所以與=106,

乜2乜2

即第一次地震釋放出的能量是第二次的1。6倍.

故選：C.

18.（25—26高三上?遼寧?期中）宋代詞人周邦彥詞中曾寫(xiě)“葉上初陽(yáng)干宿雨，水面清圓，一一風(fēng)荷舉”.已知

池塘中的荷花每經(jīng)過(guò)一天的生長(zhǎng)，荷葉覆蓋水面面積都是前一天的言倍，若荷葉經(jīng)過(guò)20天可以完全長(zhǎng)

滿池塘水面,則當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉大約生長(zhǎng)了（參考數(shù)據(jù)：皎2。0.3）（）

A.15天B.16天C.17天D.18天

【答案】C

【詳解】設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積為a,

則經(jīng)過(guò)?天荷葉覆蓋水面的面積J=Q?得）（xWN）,

由題意得2a?（打二a?（刃20,即24s=,

兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得（41-2①）lg2=⑵）-c）lg5,

所以（41-2a:）x0.3=（20-?）x0.7,

解得x—17.

故選：C.

19.（25-26高三上?遼寧?階段練習(xí)?多選）在極端刺激下，物理刺激強(qiáng)度與人類(lèi)心理感受之間的關(guān)系近似滿,

足史蒂文斯第定律：S=3P,其中k為非零常數(shù)，n為尋常數(shù)，S為主觀感覺(jué)強(qiáng)度，/為物理刺激強(qiáng)度，/：

>0.現(xiàn)有如下凡PE（主觀感覺(jué)強(qiáng)度）表：：

.............G

強(qiáng)度S1S?S3S4S5

自我感覺(jué)6-89-1112-1415-1718-20

已知在臨床條件下k=在EFE強(qiáng)度為S,?時(shí)得到的實(shí)際物理刺激強(qiáng)度為，則（）

A.當(dāng)九=2時(shí)，/3＞&B.當(dāng)n=2時(shí)，2[3231]

C.當(dāng)n=3時(shí)，〃.＜發(fā)D.當(dāng)n=4時(shí)，/也/$＞/：&

【答案】AB。

【詳解】對(duì)于4選項(xiàng)，S=；H則/=/詔=2，耳，由S」＞S2可知，3＞/2,故4正確；

對(duì)于6選項(xiàng)，注意到/5=2宿＞2，1^=62，/1=2a&2向=42，故/5＞得/1,即2/5）3/1,故6正

乙

確；

時(shí)于C選項(xiàng),S=M則借＞鬻”等,當(dāng)*11,亂=17,&=12時(shí),借＞

衛(wèi)空=著＞1，可得&人＞百，故C錯(cuò)誤；

122144

對(duì)小牛于。八選、小項(xiàng)，77,Su=717,4則ml（"KJ/）Y*=4s4Xs43SX,4XS45Sj*小V6X不9X1^5=781＞1,b可亞得/rrM，、ArMr，弘故。c

正確.

故選:ABD.

20.（24-25高一上?廣東?期末?多選）某機(jī)構(gòu)根據(jù)邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型結(jié)合過(guò)去15年的數(shù)據(jù)，對(duì)2010-2040年

我國(guó)新能源汽車(chē)的市場(chǎng)滲透率進(jìn)行了模擬和預(yù)測(cè)，得到我國(guó)新能源汽車(chē)的市場(chǎng)滲透率/（①）與時(shí)間以單

位:年，規(guī)定》=（）表示2010年初）的函數(shù)關(guān)系為〃乃=一士F（0《①030）,則下列結(jié)論正確的是

JLIt/

）參考數(shù)據(jù)：1113^1.1.

A.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（15,春）中心對(duì)稱(chēng)

乙

B./（T）的圖象關(guān)于直線2=15對(duì)稱(chēng)

C.2022