2.2.1直線的點斜式方程教學(xué)設(shè)計

教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容與解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是人教A版（2019）選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程2.2.1直線的點斜式方程，內(nèi)

容包括：本節(jié)課學(xué)習(xí)直線的傾斜角與斜率.先明確傾斜角定義：本節(jié)課學(xué)習(xí)直線的點斜式方程，基于直線上

一點坐標(biāo)與斜率，由斜率公式推導(dǎo)得出方程），-比=k（x-x0）,其適用條件為直線斜率存在.當(dāng)直線過原點

時可簡化，斜率為0時為），=兆，斜率不存在時為x=x0.斜截式H是點斜式的特例，b為直線

在y軸上的截距.通過學(xué)習(xí)掌握方程形式、適用范圍及轉(zhuǎn)化，為后續(xù)直線方程學(xué)習(xí)奠基.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課是直線方程的基礎(chǔ)內(nèi)容，承接直線的斜率與傾斜角知識，通過斜率公式推導(dǎo)得出點斜式方程y

=k（x-x0）,體現(xiàn)從幾何關(guān)系到代數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想.教學(xué)中需強(qiáng)調(diào)其適用條件為

直線斜率存在，同時介紹斜率不存在時的特殊形式x=,以及過原點的簡化形式和斜截式），=心+6

與點斜式的聯(lián)系，明確截距的概念.通過學(xué)習(xí)，學(xué)生能理解方程與直線的對應(yīng)關(guān)系，掌握方程的推導(dǎo)、形式

及轉(zhuǎn)化，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他直線方程和解決直線相關(guān)問題奠定基相，提升數(shù)學(xué)抽象與運算素養(yǎng).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：掌握直線點斜式方程的推導(dǎo)、形式、適用條件及簡單應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)與解析

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握直線方程的點斜式和斜截式,并會用它們求直線的方程.

（2）了解直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系.

（3）會用直線的點斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題.

2.目標(biāo)解析

（1）該目標(biāo)要求掌握點斜式和斜截式方程，需理解其推導(dǎo)邏輯，明確適用條件.通過練習(xí)能根據(jù)己知條

件求方程，強(qiáng)化代數(shù)表達(dá)與幾何意義的轉(zhuǎn)化，提升運算與抽象素養(yǎng).

（2）此目標(biāo)聚焦斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系，需明確斜截式中k、b的含義，理解k#）時兩者的對應(yīng)，

區(qū)分方程與函數(shù)的異同，深化對知識關(guān)聯(lián)的認(rèn)識.

（3）該目標(biāo)強(qiáng)調(diào)運用兩種方程解決平行與垂直問題，需結(jié)合斜率判定條件，通過方程分析斜率關(guān)系,

培養(yǎng)利用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，鞏固邏輯推理素養(yǎng).

學(xué)情分析

學(xué)生已掌握直線傾斜角、斜率概念及斜率計算公式，能通過兩點求斜率，但對“斜率刻畫直線傾斜程

度”的理解不夠深入.多數(shù)學(xué)生能四別?次函數(shù)解析式，卻未將其與直線方程關(guān)聯(lián).

預(yù)估困難：

一是難理解點斜式方程推導(dǎo)中“從斜率公式到方程”的轉(zhuǎn)化邏輯；

二是易混淆斜截式中k、b的兒何意義與一次函數(shù)中參數(shù)的區(qū)別；

三是用方程解決平行與垂直問題時，不會從方程中提取斜率分析關(guān)系.

解決方法：結(jié)合斜率公式分步推導(dǎo)，用幾何畫板動態(tài)演示方程與直線的對應(yīng)關(guān)系；通過對比表格明確

斜截式與i次函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別；設(shè)計階梯式例題，引導(dǎo)從方程中找斜率再應(yīng)用判定條件.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：理解點斜式推導(dǎo)邏輯，區(qū)分斜截式與一次函數(shù)關(guān)系，運用

方程解決平行與垂直問題.

^^教學(xué)過程設(shè)計

新課存入

情境引入

在城市建設(shè)的工地上，施工隊遇到了一個棘手的問題：已知一臺挖掘機(jī)器人在坐標(biāo)原點（0。）處，需要沿

一條坡度為1:1（即傾斜角45。）的直線前進(jìn)，去挖掘位于點（3「3）處的地下管道.但突然接到通知，由于地

下管線調(diào)整，挖掘機(jī)需要改從點出發(fā)，仍然保持原來的坡度繼續(xù)作業(yè).

此時工程師提出疑問:

如何準(zhǔn)確描述這條新的作業(yè)路線，才能夠讓挖掘機(jī)器人沿著指定的路線進(jìn)行挖掘作業(yè)？

設(shè)計意圖：以施工場景為載體，激發(fā)探究欲，引導(dǎo)學(xué)生思考用點和斜率描述直線，為點斜式方程學(xué)習(xí)搭建

橋梁.

教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生提取已知點和斜率，討論描述路線的方法，結(jié)合斜率公式推導(dǎo)，自然引出點斜式方程.

新知探究

引言：在“傾斜角與斜率”的學(xué)習(xí)中我們知道，給定一點和一個方向可以唯一確定一條直線.即：

“直線確定”意味著直線上任意一點的坐標(biāo)與定點的坐標(biāo)？）（％,.%）、斜率攵兩個要素之間的關(guān)系是完

全確定的.

思考：那么，如何用這個點坐標(biāo)和表示直線方向的斜率來表示這條直線呢？

練習(xí)：如圖示，直線1經(jīng)過點外（%,%）,P（x,y）是直線/上不同于點凡的任意一點，設(shè)直線/的斜

率為k，求k.

學(xué)生：根據(jù)斜率公式，即可求得斜率女

預(yù)設(shè)：由題意可得，/山，所以由斜率公式可得：左=匕&①

x一4

思考：將①式去分母，得到一個什么式子？

預(yù)設(shè)：）'一先="（1一玉））②關(guān)于x,y的方程

小結(jié)①：不同于點4的任意一點P（x,y）都滿足方程p=%=儀X—.%）

思考：點網(wǎng)的坐標(biāo)（凡，滿足關(guān)系式y(tǒng)-=攵（工一工0）嗎？

學(xué)生：將與，先代入關(guān)系式為一為=攵（毛一毛），關(guān)系式恒成立，所以滿足.

小結(jié)②：點圓的坐標(biāo)叵亞也滿足關(guān)系式了一%=攵。-%）

結(jié)論①：由小結(jié)①②得：直線/上每一個點的坐標(biāo)（x,y）都滿足關(guān)系式），-%=以工-％）

探究：滿足關(guān)系式y(tǒng)-%二-工-與）的每一個點都在直線/上嗎？

學(xué)生：小組討論，嘗試探究，體會分類討論思想.

預(yù)設(shè)：設(shè)點4（x，y）的坐標(biāo)』，））滿足關(guān)系式），一%=左"一%）,則）1-No=k（M-與）?

追問1：當(dāng)天二小時，點［在直線/上？

預(yù)設(shè)：當(dāng)時，,=）\），這時點［與＜）重合，顯然有點，在直線/上；

追問2：當(dāng)玉工X。時，點片在直線/上？

預(yù)設(shè)：當(dāng)芭工與時，有&=江也，這表明過點4的直線人的斜率為h因為/,乙的斜率都為Z且

辦一而

都過點玲，所以它們重合.所以，點6在直線/上.

結(jié)論②：滿足關(guān)系式），-%=以戈-%）的每一個點都在直線/上

定義：我們把方程丁一為二履工一%）稱為過點玲（無，）’0），斜率為女的直線/的方程.

方程y-%=攵（工一/）由直線上一'個定點（/，）'o）及該直線的斜率女確定，

我們把它叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式（pointslopcform）.

理解：1、方程中與，為表示已知點圓的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；

2、方程中k表示直線/的斜率；

3、方程中x,y表示任意一點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，求直線方程時，x,y會保留下來

辨析：①點斜式方程由直線的斜率k和直線上定點外（為,為）確定；

②結(jié)構(gòu)特點：等號左邊為右邊%-與外為斜率；

③不能表示斜率不存在的直線，可以表示斜率為0的直線；

④方程），—%-氏（x-%）與二為不等價，雖然都表示直線/,但前者表示整條直線/,后者

王一與

表示剔除點發(fā)（乙），兄）的直線/?

牛刀小試

練1：斜率為4,經(jīng)過點（2,-3）的直線的點斜式方程是.

解析：由直線的點斜式方程知所求直線方程為），+3=4。-2）.

練2：若直線L經(jīng)過點4（1,-2）、傾斜角為g則直線1的點斜式方程是.

?5

解析：由直線L的傾斜角為會得直線1的斜率k=tan：=g,

乂直線I過點4（1,一2）,所以直線！的點斜式方程是y+2=V3（x-1）.

思考：當(dāng)直線/的傾斜角為0。時，直線/的方程是什么？為什么？

學(xué)生：學(xué)生先畫圖，然后嘗試著寫出方程.

y

勺/

J3

~7）x

當(dāng)直線/的傾斜角為0。時，tan00=0,即2=0,

這時直線/與x軸平行或重合，直線/的方程是y-），o=0,即＞=%?

牛刀小試

練3：過點(1,3),斜率A=0的直線方程為.

解析：由點斜式方程可得，y-3=0(x-l),即y=3.

練4：過點(2,1),平行于x軸的宣線方程為.

解析：因為直線平行于x軸，所以斜率為0,由點斜式方程可得：y-1=0(%-2),即y=l

思考：當(dāng)直線/的傾斜角為90。時，直線/的方程如何表示？為什么？

學(xué)生：學(xué)生先畫圖，然后嘗試著寫出方程.

當(dāng)直線/的傾斜角為90。時，由于tan90。無意義，直線沒有斜率，這時直線/與)，軸平行或重合，它

的方程不能用點斜式表示.又因為這時直線/上每一點的橫坐標(biāo)都等于飛,所以它的方程是

x-%=0,即工=廝.

設(shè)計意圖：進(jìn)一步加深對點斜式的認(rèn)識，結(jié)合圖形了解特殊形式的方程.得出點斜式方程適用于斜率存在.

牛刀小試

練5：過點(1,3),斜率不存在的直線方程為.

解析：因為斜率不存在，所以直線傾斜角為90。，與)，軸平行，所以直線方程為％=1

練6：過點(2,1),平行于)，軸的直線方程為.

解析：因為直線平行于y軸，所以斜率不存在，又過點(2,1),所以直線方程為無=2

應(yīng)用新知

例題1：直線/經(jīng)過點分(-2,3),且傾斜角。二45。，求直線/的點斜式方程，并畫出直線/.

師生活動：學(xué)生獨立完成相互交流，在教師的指導(dǎo)下，共同完成以下作圖過程.

預(yù)設(shè)：詳解：直線/經(jīng)過點兄(一2、3),斜率A=tan450=1,

代入點斜式方程得y-3=x+2.

畫圖時,只需再找出直線/卜的另一點R(x，x),

例如，取玉二-1,則y=4,得點《的坐標(biāo)為(-1,4),過《，片兩點的直線即為所求,

師生：歸納總結(jié)：1、如何利用直線上一定點凡(與,%)和斜率及求直線點斜式方程？

第I步：求斜率：利用己知條件求出直線斜率；

第2步：寫方程：①若斜率為0,直線方程為：)，=%；

②若斜率不存在，直線方程為：x=x。；

③若斜率為其他值，直線方程為：y-y.=k(x-x())

注意：若題中要求求直線的點斜式，因此不用去括號移項等操作.

2、如何在坐標(biāo)系上畫直線的圖象？

第I步：描點：描直線上兩個點，優(yōu)先選擇與坐標(biāo)軸的交點；

第2步：連線得圖象.

新知探窕

思考：如果斜率為女的直線/過點七(0")，這時直線的點斜式方程是什么？

師生活動：學(xué)生思考，獨立完成.

預(yù)設(shè)：)，一〃=k(x-0),即y=6+力.

定義：我們把直線/與)，軸的交點(0,〃)的縱坐標(biāo)》叫做直線/在)，軸上的截距.這樣，方程)，=丘+〃由直

線的斜率&與它在)，軸上的截距人確定，我們把方程.)，=丘+力叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截

式.其中，2和人均有明顯的幾何意義：&是直線的斜率，〃是直線在y軸上的截距.

追問：截距是距離嗎？

預(yù)設(shè)：截距不是距離，截距可正可負(fù)可為零，木質(zhì)是一個實數(shù).

設(shè)計意圖：鞏固直線點斜式方程，推導(dǎo)直線斜截式方程.斜截式方程中，最容易出錯的就是截距的概念，這

里將概念落實到位.

師生：師生共同分析點斜式的特點，歸納總結(jié)，辨析如下：

①斜截式方程y=公+匕由直線的斜率k和在y軸上的截距確定；

②結(jié)構(gòu)特點：等號左邊為y的系數(shù)為1,右邊的x系數(shù)為斜率，匕為截距；

③左與方的幾何意義：攵為直線的斜率，方為縱截距；

④不能表示斜率不存在的直線.

設(shè)計意圖：鞏固直線點斜式方程，推導(dǎo)直線斜截式方程.斜截式方程中，最容易出錯的就是截距的概念，這

里將概念落實到位.

思考：方程y=履+人與我們學(xué)過的一次函數(shù)表達(dá)式類似.

我們知道，一次函數(shù)的圖象是一條直線，你如何從直線方程的角度問題：你如何從直線方程的角度認(rèn)識

一次函數(shù))=依+〃？你能說出一次函數(shù)y=2x+l,y=3x及y=—x+3圖象的特點嗎？

學(xué)生：一次函數(shù)是直線斜截式方程.但是直線方程不一定是一次函數(shù).對于斜截式，直線方程里斜率可以是

0,但一次函數(shù)斜率不能為0.例如：對于直線斜截式方程y=kx+b,當(dāng)上0時，這個直線方程就是一次

函數(shù)，當(dāng)k=0（即斜率為0）時，y=b就不能稱一次函數(shù)了，是常函數(shù)了.

一次函數(shù)產(chǎn)Zr-1圖象是斜率為2,在y軸上的截距為-1的直線.

一次函數(shù)產(chǎn)3x圖象是斜率為3,在y軸上的截距為0的宜線.

一次函數(shù)尸x+3圖象是斜率為-1,在y軸上的截距為3的直線.

牛刀小試

練1：直線y=V3x-3在y軸上的截距是.

解析：對于直線y=V5x—3,令x=0,可得y=—3,所以所求在y軸上的截距是一3.

練2：直線y=V5x-3在x軸上的截距是.

解析：對于直線y=V5x-3,令y=0,可得％=遍，所以所求在%軸上的截距是VI

練3：已知直線/傾斜角為60。，且過（2,舊），貝〃的斜截式方程為.

解析：直線1的斜率為tan6（T=6，又過點（2,75）

所以直線I的點斜式方程為：y-V3=V3（x-2）,

根據(jù)斜截式方程的特點，去括號移項變形為：丫=岳-6.

所以直線/的斜截式方程為：y=V3^-V3.

應(yīng)用新知

例題2：已知直線（：y=Kx+4，/2:y=k2x+b2,試討論：

（1）乙〃4的條件是什么？（2）的條件是什么？

分析：回顧前面用斜率判斷兩條直線平行、垂直的結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)/J//2或4時，K，卜與如打應(yīng)滿

足的關(guān)系.

預(yù)設(shè):⑴若4〃%則固=&，此時，卜4與y軸的交點不同，即4。4；反之，若因=&,且4工4，

則

（2）若4J_4,則秘2=T；反之，若"？=T，則/K

由例2我們得到，對于直線4:y=+4，/2:y=k2x+b2,

/1/〃2。仁=42，且仇工4；/1±/2<=>kxk2=-1.

師生：歸納總結(jié)：如何利用直線的斜截式判斷兩條直線平行或垂直?

對于直線4：y=偽，/2:y=k2x+b2

①I、//1?ok、=k?,旦b、于b?②/,1/2<=>k]-k2=-\

設(shè)計意圖：體會如何利用直線方程研究兩直線平行'垂直的關(guān)系.

重點題型

題型一：求直線的點斜式方程

例題：根據(jù)下列條件分別寫出直線的點斜式方程：

(1)斜率是舊，且經(jīng)過點4(5,3)；(2)傾斜角為120。，在)，軸上的截距為-2.

解析：(1)因為直線的斜率是V5,且經(jīng)過點A(5,3),所以直線的點斜式方程為：y-3=V3(r-5).

(2)因為直線在)，軸上的截距為-2.,所以直線過點(0,-2),又因為直線的斜率是k=tanl2(T=

-瓜

所以直線的點斜式方程為：y+2=-0).

方法總結(jié)；先求直線上某點的坐標(biāo)和直線的斜率，然后代入直線的點斜式方程即可得解.

題型二：求直線的斜截式方程

例題：根據(jù)條件寫出下列直.線的斜截式方程.

(1)斜率為2,在)，軸上的截距是5；(2)傾斜角為120。，在x軸上的截距是-2.

解析：(1)由直線的斜截式方程知，所求直線方程為y=2%+5.

(2)因為直線在x軸上的截距是-2,所以直線過點(-2,0)

又因為直線的斜率是々=tanl200=-V3,

所以直線的點斜式方程為：y-0=-V3(x+2).

所以直線的斜截式方程為：y=—28.

方法總結(jié)：法①：先求直線直線的斜率和在丫軸上的截距，然后代入斜截式即可.

法②：先求點斜式式，然后去括號移項變形得斜截式.

題型三：求直線的截距

例題(1)求直線y-V3=V3(x-2)在x軸與y軸上的截距；

(2)求直線y=5x-2在x軸與y軸上的截距.

解析：(1)當(dāng)x=0時，y=-V3,所以2在y軸上的截距為-VI

當(dāng)y=0時，x=1,所以[在工軸上的截距為1.

(2)當(dāng)x=0時，y=-2,所以/在y軸上的橫距為-2.當(dāng)y=0時，x=|,所以，在x軸上的截距為

方法總結(jié)：①：令x=0,解方程的y的值，則是直線在y軸上的截距;

②：令y=0,解方程的x的值，則是直線在x軸上的截距.

題型四：利用點斜式(斜截式)求直線斜率和傾斜角.

例題：(1)已知直線的方程是)，+7=工-3,求該直線的斜率；

解析：已知可得出直線的點斜式方程為)，-(-7)=［工+(-3)］，

所以，直斜率為1.

(2)求直線的傾斜角.

解析：由直線的斜截式方程：、=-瓜+】，

可得，直斜率為-V5,BPtana=—V3?又因為aW［O,IT)

所以，該直線的傾斜角a為：120。

方法總結(jié)：利用點斜式和斜截式的結(jié)構(gòu)特點，求出斜率&,然后利用A=tana,求出直線的傾斜角.

題型五：直線圖象的辨析

例題：已知直線/的方程為丫=g+1)(1)工0),其圖象不經(jīng)過第三象限，則()

A.kb<0B.kb,,0c.kb>0Q妙?.€)

解析：當(dāng)AwO時，直線/不經(jīng)過第三象限，〃>0，//”CO.

當(dāng)k=0/>0時，直線/也不經(jīng)過第三象限，

綜上，kb、,O.故選：B.

方法總結(jié)：根據(jù)題意，畫出直線圖象草圖，再結(jié)合k,b的幾何意義，進(jìn)行分類討論分析，即可得出結(jié)果.

題型六：借助直線斜截式，利用平行與垂直關(guān)系求參數(shù)值

例題：當(dāng)。為何值時，

(I)兩直線y=-x+4a與y=(〃2—2)x+4互相平行？

(2)兩直線y=ax—2與y=(a+2)x+l互相垂直？

解析：(1)設(shè)兩直線的斜率分別為由，心，縱截距分別為加，b2

則■=-1,2,b\=4a,岳=4

a2-2=-l,

:兩條直線互相平行,

4爾4，

解得。=一1.故當(dāng)。=一1時，兩條直線互相平行.

(2)設(shè)兩直線的斜率分別為K七，則心=小心=。+2.

兩直線互相垂直，.'.hh=a(〃+2)=-1,解得a=-1.

故當(dāng)〃=一1時，兩條直線互相垂直.

方法總結(jié)：借助斜率和縱截距，利用與平行或垂直關(guān)系等價的斜率或縱截距關(guān)系，建立方

程，求出參數(shù)值，注意平行時防止重合的情況.

真題感知

1.(24-25高二上?江蘇鹽城?期中)直線I的方程是y=2%-4,則直線，的縱截距是()

A.2B.-2C.4D.-4

解析：因為直線，的方程是y=2%-4,令x=0,貝如=一4,所以直線，的縱截距是一4.故選：D

2.(24-25高二上?廣東廣州?期中)已知直線/傾斜角為g,且過點4(4,1),則直線/的方程為()

A.y-1=-^(x-4)B.y-1=^(x-4)

C.y-1=-V3(x-4)D.y-l=V3(x-4)

解析：由直線/傾斜角為得直線/的斜率為k=tang=—Vl

乂由直線/過點4(4,1),則由點斜式直線方程可得：y-l=-6a—4),

故選：C.

3.(24-25高二上?全國?課后作'也)已知直線/的傾斜角為120。，在y軸上的截距是3,則直線Z的方程為

()

A.y=V3x+3B.y=-V3x—3

C.y=—>/3x+3D.y=>/3x—3

解析：由題意可知，直線1的斜率為tanl20。=一V5,

又因為該直線在y軸上的截距是3,故直線1的方程為y二-gx+3.故選：C.

4.(24-25高二上?重慶?期中)直線y=—x+m的傾斜角為()

A.-B.-C.?D.-

6434

解析：因為直線y=-x+m的斜率為k=-l,

設(shè)直線的傾斜角為a,aW[Ojr),由k=七2110=-1,

得到a=乎，所以直線的傾能角為券

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故選：D.

5.（24-25高三上?上海?期中）過點（3,2）傾斜角為扣勺直線方程是.

解析：因為直線過點（3,2）,且傾斜角為］所以直線方程為％=3,

故答案為：x=3.

6.（24-25高一上?上海嘉定?期中改編）若直線/在工軸上的截距為3,且/的一個方向向量為沆=

（1,2）,則/的點斜式方程為.

解析：由/的一個方向向量為沆=（1,2）,得直線/的斜率為2,又因為直線/在x軸上的截距為3,,所以

直線過點（3,0）,所以直線/的點斜式方程為y=2（x-3）

7.（24-25高二上?江蘇連云港?期中）（多選）設(shè)直線1過兩點（3,百）和（9,-75）,則（）

A.直線l的斜率為-V5B,直線［的傾斜角為150。

C.直線I在不軸上的截距為6D.直線I在y軸上的橫距為3企

解析：根據(jù)斜率公式，上二二昔=一日，故A錯誤，

設(shè)直線傾斜角為a,由傾斜角的定義，0Wa<180。，且tara=-彥，則a=150。，B正確，

根據(jù)點斜式方程，直線的方程可寫作丫一聲二一自（工一3）,即丫=一梟+2后

令y=0,則％=6,令％=0,則y=2四，

故直線，在式軸上的截距為6,在y軸上的截距為2V5,C正確，D錯誤.

故選：BC

8.（19-20高一上?陜西安康?期末）直線y=kx+匕通過第一、二、四象限，則有（）

A.k>0,b>0B./c>0,b<0