公務(wù)員考試虛數(shù)試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.\(i^2\)的值是（）A.1B.-1C.\(i\)D.-\(i\)2.已知復(fù)數(shù)\(z=3+4i\)，其實(shí)部是（）A.3B.4C.7D.13.復(fù)數(shù)\(2i\)的虛部是（）A.0B.2C.2iD.14.\(i^3\)等于（）A.1B.-1C.\(i\)D.-\(i\)5.若\(z=1-i\)，則\(\vertz\vert\)為（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.2D.46.復(fù)數(shù)\(z=0\)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是（）A.\((0,0)\)B.\((0,1)\)C.\((1,0)\)D.\((1,1)\)7.已知\(z_1=2+i\)，\(z_2=1-i\)，則\(z_1+z_2\)等于（）A.3B.\(3+2i\)C.\(1+2i\)D.\(1\)8.復(fù)數(shù)\(z=5-3i\)的共軛復(fù)數(shù)是（）A.\(5+3i\)B.\(-5+3i\)C.\(5-3i\)D.\(-5-3i\)9.\(i^4\)的值為（）A.1B.-1C.\(i\)D.-\(i\)10.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），當(dāng)\(b=0\)時(shí)，\(z\)是（）A.實(shí)數(shù)B.純虛數(shù)C.虛數(shù)D.0多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是虛數(shù)的性質(zhì)（）A.\(i^2=-1\)B.虛數(shù)不能比較大小C.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），\(b\neq0\)時(shí)為虛數(shù)D.虛數(shù)的模一定大于02.已知復(fù)數(shù)\(z=2+3i\)，下列說法正確的是（）A.實(shí)部為2B.虛部為3C.共軛復(fù)數(shù)為\(2-3i\)D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為\((2,3)\)3.若\(z_1=1+i\)，\(z_2=2-i\)，則（）A.\(z_1+z_2=3\)B.\(z_1-z_2=-1+2i\)C.\(z_1z_2=3+i\)D.\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i\)4.關(guān)于復(fù)數(shù)\(z=-i\)，正確的是（）A.實(shí)部為0B.虛部為-1C.模為1D.共軛復(fù)數(shù)為\(i\)5.下列復(fù)數(shù)中，是純虛數(shù)的有（）A.\(3i\)B.\(0\)C.\(i^2\)D.\(2+2i\)6.復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足的運(yùn)算律有（）A.交換律B.結(jié)合律C.分配律D.消去律7.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），\(\vertz\vert=1\)，則（）A.\(a^2+b^2=1\)B.\(a=1,b=0\)C.\(a=0,b=1\)D.點(diǎn)\((a,b)\)在單位圓上8.已知\(z_1=\cos\theta+i\sin\theta\)，\(z_2=\cos\varphi+i\sin\varphi\)，則（）A.\(z_1z_2=\cos(\theta+\varphi)+i\sin(\theta+\varphi)\)B.\(\frac{z_1}{z_2}=\cos(\theta-\varphi)+i\sin(\theta-\varphi)\)C.\(z_1+z_2=2\cos\frac{\theta+\varphi}{2}\cos\frac{\theta-\varphi}{2}+2i\sin\frac{\theta+\varphi}{2}\cos\frac{\theta-\varphi}{2}\)D.\(z_1-z_2=-2\sin\frac{\theta+\varphi}{2}\sin\frac{\theta-\varphi}{2}+2i\cos\frac{\theta+\varphi}{2}\sin\frac{\theta-\varphi}{2}\)9.對于復(fù)數(shù)\(z\)，下列說法正確的有（）A.\(z+\overline{z}\)是實(shí)數(shù)B.\(z-\overline{z}\)是純虛數(shù)C.\(z\cdot\overline{z}=\vertz\vert^2\)D.\(\vertz_1+z_2\vert\leqslant\vertz_1\vert+\vertz_2\vert\)10.若\(z\)是復(fù)數(shù)，\(\vertz-1\vert=1\)，則（）A.\(z\)對應(yīng)的點(diǎn)在以\((1,0)\)為圓心，1為半徑的圓上B.\(z\)可以表示為\(z=1+\cos\theta+i\sin\theta\)C.\(z\)可能為純虛數(shù)D.\(\vertz\vert\)的最大值為2判斷題（每題2分，共10題）1.所有的復(fù)數(shù)都是虛數(shù)。（）2.若\(z_1\)，\(z_2\)是復(fù)數(shù)，且\(z_1^2+z_2^2=0\)，則\(z_1=z_2=0\)。（）3.復(fù)數(shù)\(z=0\)的模為0。（）4.兩個(gè)虛數(shù)的和一定是虛數(shù)。（）5.實(shí)數(shù)與虛數(shù)不能比較大小。（）6.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），當(dāng)\(a=0\)時(shí)，\(z\)是純虛數(shù)。（）7.復(fù)數(shù)\(z\)與其共軛復(fù)數(shù)的乘積是實(shí)數(shù)。（）8.\(i\)是最小的虛數(shù)。（）9.若\(\vertz\vert=1\)，則\(z\)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的單位圓上。（）10.若\(z_1\)，\(z_2\)是復(fù)數(shù)，\(z_1z_2=0\)，則\(z_1=0\)或\(z_2=0\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述虛數(shù)的定義。答：形如\(a+bi\)（\(a,b\inR\)，\(b\neq0\)）的數(shù)叫虛數(shù)，其中\(zhòng)(i\)為虛數(shù)單位且\(i^2=-1\)。2.如何求復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）的模？答：復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)的模\(\vertz\vert=\sqrt{a^2+b^2}\)，它表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)\(z\)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。3.什么是共軛復(fù)數(shù)？答：對于復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），其共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=a-bi\)，兩復(fù)數(shù)實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)。4.復(fù)數(shù)的加法滿足哪些運(yùn)算律？答：復(fù)數(shù)加法滿足交換律\(z_1+z_2=z_2+z_1\)、結(jié)合律\((z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論虛數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答：虛數(shù)在電子工程中用于交流電分析，能簡化計(jì)算；在量子力學(xué)里描述微觀粒子狀態(tài)；在信號處理中分析信號特征等，雖不直觀，但為解決實(shí)際問題提供了有效工具。2.分析復(fù)數(shù)與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：復(fù)數(shù)與平面向量都可用坐標(biāo)表示，加法運(yùn)算規(guī)則類似。區(qū)別：復(fù)數(shù)是數(shù)，有代數(shù)運(yùn)算；向量是有大小和方向的量，有向量積等獨(dú)特運(yùn)算，二者概念本質(zhì)不同。3.探討復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。答：復(fù)數(shù)乘法\(z_1z_2\)，模為兩復(fù)數(shù)模之積，輻角為兩復(fù)數(shù)輻角之和。幾何上相當(dāng)于將一個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)并伸縮，旋轉(zhuǎn)角度是另一個(gè)復(fù)數(shù)輻角，伸縮倍數(shù)是其模。4.談?wù)剬μ摂?shù)引入的必要性的理解。答：引入虛數(shù)使方程\(x^2+1=0\)等有解，完善了數(shù)系。在物理、工程等領(lǐng)域，虛數(shù)解決了很多實(shí)際問題，如交流電、電磁波