第6章定積分及其應(yīng)用CONTENTS定積分的概念與性質(zhì)6.1微積分的基本公式6.2定積分的計算6.3廣義積分6.4應(yīng)用示例6.6數(shù)學(xué)實驗6.7定積分的應(yīng)用6.517世紀(jì)下半葉，歐洲科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，由于生產(chǎn)力的提高和社會各方面的迫切需要，經(jīng)各國科學(xué)家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎(chǔ)上的微積分理論應(yīng)運而生了.而在以前，微分和積分作為兩種數(shù)學(xué)運算、兩類數(shù)學(xué)問題，是被分別研究的.（1）奠定基礎(chǔ)：笛卡爾的解析幾何.笛卡爾于1637年發(fā)表了《科學(xué)中的正確運用理性和追求真理的方法論》（簡稱《方法論》），從而確立了解析幾何，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì).他不僅用坐標(biāo)表示點的位置，而且把點的坐標(biāo)運用到曲線上.他認(rèn)為點移動成線，所以方程不僅可表示已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系，表示變量與變量之間的關(guān)系，還可以表示曲線，于是方程與曲線之間建立起對應(yīng)關(guān)系.此外，笛卡爾打破了表示體積、面積及長度的量之間不可相加減的束縛.于是幾何圖形各種量之間可以化為代數(shù)量之間的關(guān)系，使得幾何與代數(shù)在數(shù)量上統(tǒng)一了起來.笛卡爾就這樣把相互對立的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來，從而實現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上的一次飛躍，更重要的是，它為微積分的成熟提供了必要的條件，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊空間.微積分的創(chuàng)立史閱讀與欣賞（2）牛頓的“流數(shù)術(shù)”.牛頓從1664年開始研究微積分，主要貢獻(xiàn)反映在1671年、1676年發(fā)表的《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》、《曲線求積術(shù)》兩篇論文和1687年的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》中.早期的微積分常稱為“無窮小分析”，其原因在于微積分建立在無窮小的概念之上.在此基礎(chǔ)上，牛頓提出了反問題，即反微分，并討論了如何借助反微分來計算面積，給出了該方法的根據(jù)，使得計算趨于一般化、系統(tǒng)化.牛頓第一次清楚地說明了求導(dǎo)數(shù)問題和求面積問題之間的互逆關(guān)系，這就是說牛頓確定的積分實際上是不定積分.（3）萊布尼茨.萊布尼茨從1673年開始研究微積分問題，他在《數(shù)學(xué)筆記》中指出：求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的差值之比（當(dāng)這些差值變成無窮小時）；求積依賴于在橫坐標(biāo)的無限小區(qū)間上縱坐標(biāo)之和或無限小矩形之和，并且萊布尼茨開始認(rèn)識到求和與求差運算的可逆性，指出了作為求和過程的積分是微分之逆，實際上也就是今天的定積分.微積分的創(chuàng)立史閱讀與欣賞萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號，正像阿拉伯?dāng)?shù)字促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣，促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展.萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號創(chuàng)造者之一.牛頓當(dāng)時采用的微分和積分符號現(xiàn)在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現(xiàn)今仍在使用.好的符號能大大節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一.（4）推廣.牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造了微積分的基本方法，但是，他們留下了大量的事情要后人去解決，首先是微積分的主要內(nèi)容的擴(kuò)展，其次是微積分還缺少邏輯基礎(chǔ).18世紀(jì)，伯努利、歐拉、拉格朗日、克雷爾、達(dá)朗貝爾、麥克勞林等數(shù)學(xué)家，隨著對函數(shù)和極限研究的深入，把定積分概念推廣到二重積分、三重積分，也對微積分基礎(chǔ)進(jìn)行了深入的研究，并且無窮級數(shù)、微分方程、變分法等微積分分支學(xué)科也初具規(guī)模，但微積分的邏輯基礎(chǔ)問題還沒有得到圓滿解決.微積分的創(chuàng)立史閱讀與欣賞6.1定積分的概

念與性質(zhì)6.1.1引例

6.1.1引例

6.1.1引例

6.1.1引例

6.1.1引例

6.1.2定積分的概念

注意視頻講解——定積分的概念

6.1.2定積分的概念

6.1.2定積分的概念

6.1.3定積分的幾何意義與幾何性質(zhì)

6.1.3定積分的幾何意義與幾何性質(zhì)6.1.4定積分的性質(zhì)為了計算及應(yīng)用方便，先對定積分做如下兩個規(guī)定：在此基礎(chǔ)上，我們討論定積分的以下性質(zhì).性質(zhì)6.1

常數(shù)因子可以提到積分符號的外面，即

（k為任意常數(shù)）性質(zhì)6.2

兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于定積分的代數(shù)和，即

6.1.4定積分的性質(zhì)

6.1.4定積分的性質(zhì)

6.1.4定積分的性質(zhì)

6.1.4定積分的性質(zhì)6.2微積分的基本公式

6.2.1積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

6.2.1積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

6.2.1積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

6.2.2微積分基本定理【例6-7】計算下列定積分.解6.2.2微積分基本定理視頻講解——牛頓-萊布尼茨公式6.3定積分的計算6.3.1定積分的換元積分法

6.3.1定積分的換元積分法

6.3.1定積分的換元積分法

注意視頻講解——定積分的換元積分法

6.3.2定積分的分部積分法【例6-12】計算解【例6-13】計算解6.3.2定積分的分部積分法6.4廣義積分6.4.1無限區(qū)間上的廣義積分

6.4.1無限區(qū)間上的廣義積分

6.4.1無限區(qū)間上的廣義積分

6.4.2無界函數(shù)的廣義積分

6.4.2無界函數(shù)的廣義積分【例6-17】求解6.4.2無界函數(shù)的廣義積分6.5定積分的應(yīng)用

6.5.1微元法

6.5.1微元法

6.5.1微元法

6.5.1微元法

6.5.1微元法

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用

6.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用6.6應(yīng)用示例——

利用定積分解決

廣告策略問題

6.6.1問題提出

6.6.2解答過程6.7數(shù)學(xué)實驗六使用MATLAB求

定積分6.7.1實驗任務(wù)學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求定積分.6.7.2實驗過程1.相關(guān)命令用MATLAB求定積分的命令說明如下表所示.6.7數(shù)學(xué)實驗六命令說明int（f,a,b）6.7數(shù)學(xué)實驗六2.操作實例用MATLAB求如下定積分.

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