第10章線性代數(shù)CONTENTS行列式10.1矩陣的概念及運(yùn)算10.2矩陣的初等行變換與矩陣的秩10.3線性方程組的解法10.4應(yīng)用示例10.5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)10.6歷史上線性代數(shù)的第一個(gè)問題是解線性方程組,而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣與行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展.下面概述其中主要概念的形成過程.1.行列式行列式最早出現(xiàn)于線性方程組的求解,它是一種速記的表達(dá)式,是由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和分別發(fā)明的.1693年4月，萊布尼茨在寫給洛必達(dá)的一封信中使用并給出了行列式及方程組的系數(shù)行列式為零的條件.同時(shí)代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題元法》中也提出了行列式的概念與算法.1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆（Cramer，1704—1752年）在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述,給出了求解線性方程組的重要基本公式——克萊姆法則.1764年，法國數(shù)學(xué)家貝祖（E.Bezout，1730—1783年）將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化,且證明了系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的條件.線性代數(shù)的發(fā)展史閱讀與欣賞法國數(shù)學(xué)家范德蒙（Vandermonde，1735—1796年）給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則,他是這門理論的奠基人.1772年，拉普拉斯在論文《對積分和世界體系的探討》中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開行列式的方法.1815年，法國大數(shù)學(xué)家柯西第一個(gè)把行列式的元素排成方陣,采用雙足標(biāo)記法；給出了行列式的乘法定理及相似行列式概念；引進(jìn)了行列式特征方程的術(shù)語；改進(jìn)并證明了拉普拉斯的行列式展開定理.2.線性方程組線性方程組的解法早在中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·方程》中已有了比較完整的論述,所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的高斯消元法.在西方，線性方程組的研究是在17世紀(jì)后期由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨開創(chuàng)的.他曾研究含有兩個(gè)未知量三個(gè)方程的線性方程組.線性代數(shù)的發(fā)展史閱讀與欣賞18世紀(jì)上半葉，英國數(shù)學(xué)家麥克勞林研究了具有二、三、四個(gè)未知量的線性方程組,得到了現(xiàn)在被稱為克萊姆法則的結(jié)果.18世紀(jì)下半葉,法國數(shù)學(xué)家貝祖對線性方程組理論進(jìn)行了一系列研究，證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零.19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家史密斯（H.Smith，1826—1883年）和道吉森（C.L.Dodgson）繼續(xù)研究線性方程組理論.史密斯引進(jìn)了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，道吉森證明了n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相同.但直到20世紀(jì)初期才開始用矩陣術(shù)語來組織材料的教科書，并且直到20世紀(jì)40年代人們才認(rèn)識(shí)到矩陣和向量空間的線性變換之間的關(guān)系，形成了現(xiàn)今的線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容體系.大量的科學(xué)技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組.因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時(shí)，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進(jìn)展.現(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重要地位.線性代數(shù)的發(fā)展史閱讀與欣賞10.1行列式10.1.1二階和三階行列式

10.1.1二階和三階行列式三階行列式類似地，對于三元一次方程組

（10-5）為了簡單地表達(dá)它的解，我們引進(jìn)三階行列式的概念，三階行列式的展開式規(guī)定為：10.1.1二階和三階行列式

10.1.1二階和三階行列式

2.幾種特殊的n階行列式（1）對角行列式：只有在對角線上有非零元素的行列式.

（10-7）

（10-8）

（2）下（上）三角行列式：主對角線以上（下）的元素都為零的行列式.

（10-9）

10.1.3行列式的性質(zhì)性質(zhì)10.1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等．這個(gè)性質(zhì)說明了行列式中行、列地位的對稱性，凡是行列式對行成立的性質(zhì)對列也成立．性質(zhì)10.2

互換行列式的任意兩行（或列），則行列式變號(hào)．推論10.1

若行列式兩行（或列）的元素對應(yīng)相等，則行列式的值為零．性質(zhì)10.3

行列式某行（或列）元素都乘以數(shù)k等于用k乘以行列式．推論10.2

行列式某一行（或列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．推論10.3

若行列式的某兩行（或列）元素對應(yīng)成比例，則行列式的值為零．10.1.3行列式的性質(zhì)

10.1.3行列式的性質(zhì)（1）對二階、三階行列式按定義展開，直接計(jì)算．【例10-1】

計(jì)算三階行列式解10.1.4行列式的計(jì)算（2）對特殊的行列式，如上（下）三角行列式，其值為主對角線元素的乘積．（3）按照性質(zhì)10.6，將行列式按某一行（或列）的展開式展開，把行列式轉(zhuǎn)化為低一階的行列式，如此繼續(xù)下去，直至降到三階或二階行列式，然后直接計(jì)算．（4）利用性質(zhì)10.5，將行列式轉(zhuǎn)化成三角行列式或其他易計(jì)算的行列式，然后再計(jì)算，這是計(jì)算行列式的常用的基本方法．【例10-2】

計(jì)算行列式10.1.4行列式的計(jì)算

10.1.4行列式的計(jì)算【例10-3】

計(jì)算行列式解

=410.1.4行列式的計(jì)算

10.1.5克萊姆法則

注意【例10-4】求解線性方程組解

該方程組的系數(shù)行列式10.1.5克萊姆法則由克萊姆法則，該方程組有唯一解，同時(shí)所以，原方程組的解為定理10.2

如果齊次線性方程組10.1.5克萊姆法則的系數(shù)行列式

（10-10）那么線性方程組（10-10）只有零解．定理10.3

如果非齊次線性方程組無解或有多個(gè)解，則其系數(shù)行列式D為零．推論10.4

如果齊次線性方程組（10-10）有非零解，則它的系數(shù)行列式為零．10.1.5克萊姆法則10.2矩陣的概念

及運(yùn)算為了引出矩陣的概念,我們先看下面兩個(gè)例子.【例10-5】線性方程組是一個(gè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)的線性方程組,它是否有解?如果有解,有多少組解?解答這些問題的關(guān)鍵在于清楚方程組中未知數(shù)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).若把這些系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按其在方程中的行列次序排成一張矩形數(shù)表則原方程組完全由該矩形數(shù)表確定.10.2.1矩陣的基本概念【例10-6】

設(shè)某企業(yè)有甲、乙、丙3種產(chǎn)品和一、二、三、四4個(gè)銷售地區(qū).考察期間，甲、乙、丙產(chǎn)品在一、二、三、四銷售地區(qū)的累計(jì)銷售量分別為30，65，53，47;21，71，84，51；89，85，81，69.該企業(yè)的銷售狀況也可由數(shù)表完全確定.火車時(shí)刻表、網(wǎng)絡(luò)通信、若干個(gè)點(diǎn)之間的單向通道等許多問題都可用這種矩形數(shù)表表示,這種矩形數(shù)表在數(shù)學(xué)上被稱為矩陣.10.2.1矩陣的基本概念

10.2.1矩陣的基本概念

10.2.1矩陣的基本概念

10.2.1矩陣的基本概念矩陣和行列式是完全不同的兩個(gè)概念.行列式包含著一種運(yùn)算，它對應(yīng)一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，行數(shù)與列數(shù)相等，用記號(hào)“兩豎”表示；而矩陣只是一張數(shù)表，行數(shù)與列數(shù)可以不相等，用圓括號(hào)表示.注意

10.2.2矩陣的運(yùn)算只有兩個(gè)同型矩陣才能進(jìn)行矩陣的加法運(yùn)算.注意

10.2.2矩陣的運(yùn)算

10.2.2矩陣的運(yùn)算

注意

10.2.2矩陣的運(yùn)算3.矩陣的乘法【例10-8】某地區(qū)有4個(gè)工廠Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品.矩陣A表示一年中各工廠生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量，矩陣B表示各種產(chǎn)品的單位價(jià)格（元）及單位利潤（元），矩陣C表示各工廠的總收入（元）及總利潤（元）.

甲乙丙單位價(jià)格單位利潤總收入總利潤10.2.2矩陣的運(yùn)算

10.2.2矩陣的運(yùn)算

10.2.2矩陣的運(yùn)算

10.2.2矩陣的運(yùn)算

10.2.2矩陣的運(yùn)算

10.2.2矩陣的運(yùn)算

10.2.2矩陣的運(yùn)算

10.2.2矩陣的運(yùn)算

10.2.2矩陣的運(yùn)算

10.2.2矩陣的運(yùn)算10.3矩陣的初等行

變換與矩陣的秩

10.3.1矩陣的初等行變換

10.3.1矩陣的初等行變換定義10.12

若一個(gè)矩陣中每個(gè)非零行的首元素（第一個(gè)非零元素）出現(xiàn)在上一行非零首元素右邊，同時(shí)沒有一個(gè)非零行出現(xiàn)在零行之下，則稱這個(gè)矩陣為行階梯形矩陣.例如，矩陣是行階梯形矩陣.10.3.1矩陣的初等行變換定義10.13

每一個(gè)非零行的非零首元素為1，且包含非零首元素的列中其他元素均為零的行階梯形矩陣稱為行最簡階梯形矩陣.例如，矩陣是行最簡階梯形矩陣.10.3.1矩陣的初等行變換

10.3.1矩陣的初等行變換

10.3.1矩陣的初等行變換

10.3.1矩陣的初等行變換

10.3.1矩陣的初等行變換

10.3.1矩陣的初等行變換

10.3.1矩陣的初等行變換

10.3.1矩陣的初等行變換

10.3.2矩陣的秩

10.3.2矩陣的秩一般地,凡是行階梯形矩陣，它的非零子式的最高階數(shù)都等于它的非零行的個(gè)數(shù)，即行階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù).2.用初等變換求矩陣的秩一般來說，行數(shù)與列數(shù)較高的矩陣?yán)枚x求秩是很麻煩的.但對于行階梯形矩陣，它的秩等于其非零行的行數(shù).因此，自然聯(lián)想到用初等變換把矩陣化為行階梯形矩陣，但是等價(jià)矩陣的秩是否相等呢?下面的定理對此給出了肯定的回答.定理10.8

初等變換不會(huì)改變矩陣的秩.由定理10.8可知，求矩陣的秩時(shí)，只要用初等變換把矩陣化為行階梯形矩陣（或最簡行階梯形矩陣），則非零行的行數(shù)（或非零首元素1的個(gè)數(shù)）就是矩陣的秩.10.3.2矩陣的秩

10.3.2矩陣的秩10.4線性方程組

的解法

10.4.1齊次線性方程組的解法

10.4.1齊次線性方程組的解法

10.4.1齊次線性方程組的解法

10.4.1齊次線性方程組的解法

10.4.1齊次線性方程組的解法

10.4.1齊次線性方程組的解法與極大無關(guān)組及線性空間的定義相比較，如果方程組AX=0存在基礎(chǔ)解系，那么基礎(chǔ)解系即為解集合（是一個(gè)無限集）的一個(gè)極大無關(guān)組，也是解空間的一個(gè)基.由于極大無關(guān)組和基均不是唯一的，因此方程組AX=0的基礎(chǔ)解系不是唯一的，但是，由于極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)（向量組的秩）是唯一確定的，故基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是唯一確定的.提示

10.4.1齊次線性方程組的解法

10.4.1齊次線性方程組的解法

10.4.1齊次線性方程組的解法

思考

10.4.2非齊次線性方程組的解法

10.4.2非齊次線性方程組的解法

10.4.2非齊次線性方程組的解法

10.4.2非齊次線性方程組的解法

10.4.2非齊次線性方程組的解法

提示10.5應(yīng)用示例——商品市場占有率問題

10.5.1問題提出

10.5.2解答過程

10.5.2解答過程

10.5.2解答過程年數(shù)R公司的市場份額S公司的市場份額兩年后31%69%五年后31%69%十年后31%69%10.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)十使用MATLAB求矩陣的基本運(yùn)算與解線性方程組10.6.1實(shí)驗(yàn)任務(wù)（1）學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求矩陣的基本運(yùn)算.（2）學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求線性方程組的解.10.6.2實(shí)驗(yàn)過程1.相關(guān)命令用MATLAB求矩陣的基本運(yùn)算與解線性方程組的命令說明如下表所示.10.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)十命令說明det(A求矩陣A對應(yīng)的行列式的值inv(A)求矩陣A的逆運(yùn)算rank(A)求矩陣A的秩Null(A,'r')求線性方程組的基礎(chǔ)解10.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)十

按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：ans=0.53330.1000-0.80000.1000-0.20000.1000-0.13330.10000.2000繼續(xù)輸入：>>rank(A)按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：ans=310.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)十10.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)十

10.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)十繼續(xù)輸入：>>D=B*A按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：D=-9

4

3

8繼續(xù)輸入：>>E=5*A+2按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：E=12