1-3等式性質與不等式性質1.掌握等式性質.2.會比較兩個數(shù)的大小.3.理解不等式的性質，并能簡單應用．TOC\o"1-4"\h\u1.3等式性質與不等式性質 1一、主干知識 2考點1：兩個實數(shù)比較大小的方法 3考點2：等式的基本性質 3考點2：不等式的基本性質 3二、分類題型 5題型一比較兩個數(shù)(式)的大小 5題型二不等式的性質 6題型三不等式性質的綜合應用 7三、課堂總結：知識圖譜 8四、分層訓練：課堂知識鞏固 9一、主干知識考點1：兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b,a－b＝0?a＝b,a－b<0?a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>b,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)<1?a<b))(a∈R，b>0)考點2：等式的基本性質性質1對稱性：如果a＝b，那么b＝a；性質2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質3可加（減）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).考點3：不等式的基本性質性質1對稱性：a>b?b<a；性質2傳遞性：a>b，b>c?a>c；性質3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質4可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；性質5同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；性質6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；性質7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．【常用結論歸納】1、不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；2、常用不等式1．若ab>0，且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a>b>0，m>0?eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；若b>a>0，m>0?eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m).二、分類題型題型一比較兩個數(shù)(式)的大小若a<0，b<0，則p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與q＝a＋b的大小關系為()A．p<qB．p≤qC．p>qD．p≥q【解答】p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因為a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，則p－q＝0，故p＝q；若a≠b，則p－q<0，故p<q.綜上，p≤q.(2022·菏澤模擬)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正確的是()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．a(chǎn)>c>b【解答】a5＝5a，即eq\f(lna,a)＝eq\f(ln5,5)，b4＝4b，即eq\f(lnb,b)＝eq\f(ln4,4)，c3＝3c，即eq\f(lnc,c)＝eq\f(ln3,3)，設f(x)＝eq\f(lnx,x)，則f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)(x>0)，當x>e時，f′(x)<0，f(x)＝eq\f(lnx,x)單調(diào)遞減，當0<x<e時，f′(x)>0，f(x)＝eq\f(lnx,x)單調(diào)遞增，因為a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，所以a，b，c∈(0，e)，因為f(5)<f(4)<f(3)，所以f(a)<f(b)<f(c)，a<b<c.比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④結論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④結論．(3)函數(shù)的單調(diào)性法．已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，則M，N的大小關系為________．【解答】方法一：M－N＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)－eq\f(e2022＋1,e2023＋1)＝eq\f(e2021＋1e2023＋1－e2022＋12,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021＋e2023－2e2022,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021e－12,e2022＋1e2023＋1)>0.∴M>N.方法二：令f(x)＝eq\f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq\f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，顯然f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.已知0<a<eq\f(1,b)，且M＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，N＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)，則M，N的大小關系是()A．M>N B．M<NC．M＝N D．不能確定【解答】∵0<a<eq\f(1,b)，∴1＋a>0,1＋b>0,1－ab>0.∴M－N＝eq\f(1－a,1＋a)＋eq\f(1－b,1＋b)＝eq\f(21－ab,1＋a1＋b)>0，∴M>N.eπ·πe與ee·ππ的大小關系為________．【解答】eq\f(eπ·πe,ee·ππ)＝eq\f(eπ－e,ππ－e)＝，又0<eq\f(e,π)<1,0<π－e<1，∴<1，即eq\f(eπ·πe,ee·ππ)<1，即eπ·πe<ee·ππ.題型二不等式的性質設實數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【解答】若，則，故A錯誤；若時，，此時，故B錯誤；當時，，此時，故C錯誤；因為，所以，所以，又，當且僅當，即時等號成立，所以，故D正確.故選：D.3．（多選）已知均為實數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若則.B．若則.C．若，則D．若，則【解答】若，則，又，則，A選項正確；若，滿足，但，不成立，B選項錯誤；若，，滿足，但，不成立，C選項錯誤；，則，又，∴，即，D選項正確.故選：AD判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質逐個驗證．(2)利用特殊值法排除錯誤選項．(3)作差法．(4)構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）已知實數(shù)，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．【解答】A選項中，因為，所以，故A選項正確；B選項中，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減且，所以，故B選項錯誤：C選項中，因為，則，故C選項錯誤；D選項中，若，，滿足，但，故D選項錯誤．故選：A．(多選)設a>b>1>c>0，下列四個結論正確的是()A.eq\f(1,ac)>eq\f(1,bc)B．bac>abcC．(1－c)a<(1－c)bD．logb(a＋c)>loga(b＋c)【解答】由題意知，a>b>1>c>0，所以對于A，ac>bc>0，故eq\f(1,ac)<eq\f(1,bc)，所以A錯誤；對于B，取a＝3，b＝2，c＝eq\f(1,2)，則bac＝2eq\r(3)，abc＝3eq\r(2)，所以bac<abc，故B錯誤；對于C，因為0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故C正確；對于D，a＋c>b＋c>1，所以logb(a＋c)>logb(b＋c)>loga(b＋c)，故D正確．題型三不等式性質的綜合應用已知，，則6x＋5y的取值范圍為______．【解答】解：，即故6x＋5y的取值范圍為．故答案為：（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù),則的取值范圍是________.【解答】,又根據(jù)不等式的基本性質可得:，故答案為:求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得整體范圍．已知角滿足，，則的取值范圍是__________．【解答】結合題意可知：，且：，利用不等式的性質可知：的取值范圍是.已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解答】.設，所以，解得：，，因為，，所以，因為單調(diào)遞增，所以.故選：C（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【解答】因為，所以.因為，所以，則，故A正確；因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；因為，所以，則，故C錯誤；因為，所以，則，故D正確.故選：ABD.三、課堂總結：知識圖譜四、分層訓練：課堂知識鞏固1．（2022?瀘縣校級模擬）已知，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【解答】解：，，，，，正確，，當，時，滿足，但，錯誤，，當，時，滿足，但，錯誤，，在上為減函數(shù)，，，錯誤，故選：．2．（2022?河南一模）已知，且，則下列結論正確的是A． B． C． D．【解答】解：，且，，，，，故錯誤，令，，則，故錯誤，令，，則，故在遞增，故，故，故，故，故錯誤，，，故正確，故選：．3．（2022?沈陽模擬）若，，，則，，的大小關系為A． B． C． D．【解答】解：，，設，，則時，，在，上單調(diào)遞減，（e）（3）（4），即，．故選：．4．（2022?西安一模）若，，，為實數(shù)，則下列命題正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，，則 D．若，，則【解答】解：若，則時“”成立），故錯誤；若，則，則，故正確；若，，則，得，故錯誤；若，，則，故錯誤．正確的命題是．故選：．5．（2021?天津）已知，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：①由，得，所以“”是“”的充分條件，②由，得或，所以“”是“”的不必要性條件，故是的充分不必要條件，故選：．6．（2021?石嘴山二模）已知，下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【解答】解：對于，當時，，故錯誤；對于，取，時，，故錯誤；對于，取，時，，故錯誤；對于，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故正確．故選：．7．（2021?房山區(qū)一模）已知，，且，則下列各式中一定成立的是A． B． C． D．【解答】解：對于，當時，，故不一定成立；對于，，則，故一定成立；對于，當時，，故不一定成立；對于，當時，，則，故不一定成立．故選：．8．（2021?綿陽模擬）若，，則以下結論正確的有①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：，，則，，故①正確；，，，，故③正確；，故②正確；，，，，故④正確；故選：．9．（2021?市中區(qū)校級模擬）已知實數(shù)，，則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【解答】解：對于，當時，不成立；對于，當時，不成立；對于，由糖水原理可知，錯誤對．故選：．10．（多選）（2022?岳麓區(qū)校級三模）若，，，則的可能取值有A． B． C． D．【解答】解：原式（當且僅當，時取等號）．故選：．11．（多選）（2022?沈河區(qū)校級模擬）下列說法正確的是A．若，則 B．若，，則 C．，則 D．若，則【解答】解：對于，，，即，故正確，對于，，，，故正確，對于，，，故正確，對于，當時，，故錯誤．故選：．12．（多選）（2022?佛山模擬）下列命題為真命題的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，，則【解答】解：對于，，，，故正確，對于，令，，，，滿足，，但，故錯誤，對于，令，則，故錯誤，對于，，，，即，故正確．故選：．13．（多選）（2022?聊城一模）設，且，則A． B． C． D．【解答】解：對于，，且，，解得，故正確，對于，，即，，故錯誤，對于，，且，，當且僅當時，等號成立，，故正確，對于，，且，，當且僅當，時等號成立，故錯誤．故選：．14．（多選）（2022?呼倫貝爾二模）已知為自然對數(shù)的底數(shù)），則A． B． C． D．【解答】解：，，，，對這三個數(shù)先取自然對數(shù)，再除以，則，，，設，則，由，解得，在上單調(diào)遞增，（a）（b）（e），，．故選：．15．（多選）（2022?惠州一模）對于實數(shù)，，，下列結論正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【解答】解：對于，令時，則，故錯誤，對于，，又，，故正確，對于，，，故正確，對于，，，，，即，故正確．故選：．16．（多選）（2022?天河區(qū)校級三模）如果，，那么下面一定成立的是A． B． C． D．【解答】解：當，，，時，，故選項錯誤；，，，，，故選項正確；，，，故選項錯誤；，，，故選項正確；故選：．1．（2022?臨澧縣校級模擬）若正實數(shù)，滿足，且，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，正實數(shù)，滿足且，則有或，依次分析選項：對于，無論或，都有，所以錯誤；對于，，當時，，即，所以錯誤；對于，因為，所以，所以，即選項錯誤；對于，由，兩邊取自然對數(shù)，得，因為，所以，設，，，，則，設，，，，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以（1），所以，在和上都是單調(diào)減函數(shù)，所以（a）（b），即選項正確．故選：．2．（2021?瀘州模擬）若，則A． B． C． D．【解答】解：，設，，為偶函數(shù)，當時，則，設，則恒成立，在時單調(diào)遞增，且，當時，，又，即，在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，．故選：．3．（2019?廈門一模）已知，，，，則A． B． C． D．【解答】解：解法一：由題意，令，，則，，；顯然有，即．解法二：時，，，，這里，，即．故選：．4．（2015?朝陽區(qū)模擬）若，則下列不等式正確的是A． B． C． D．【解答】解：若，則，故錯誤；，故錯誤；，故正確；，故錯誤；故選：．5．（多選）（2022?聊城三模）已知實數(shù)，滿足，則下列結論正確的是A． B． C． D．【解答】解：對于，因為，所以，即，所以，選項正確；對于，當，時，滿足，但，所以不成立，即選項錯誤；對于，時，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，又因為指數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)減函數(shù)