第13題幾何密鑰解碼，代數(shù)工具協(xié)同求離心率（解透一題）【成都市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二診T7】已知雙曲線的右焦點為，若關(guān)于直線的對稱點

P在雙曲線C上.則雙曲線C的離心率為（

）A.

B.

C.

D.

考的過程在雙曲線相關(guān)問題的研究中，求解雙曲線的離心率是一個重要的課題.離心率作為雙曲線的關(guān)鍵參數(shù)，能夠反映雙曲線的形狀特征.對于已知雙曲線右焦點關(guān)于某直線對稱點在雙曲線上的情況，精確求解離心率具有一定的挑戰(zhàn)性，需要綜合運用多種數(shù)學(xué)方法和知識.【方法一】利用對稱點和點在雙曲線上的性質(zhì)設(shè)雙曲線的右焦點為，其中.依據(jù)點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，可求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo).點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)表明，兩點連線與對稱軸垂直，且兩點的中點在對稱軸上.即直線的斜率與直線的斜率3滿足，同時與兩點的中點滿足直線方程.求P點坐標(biāo)后，將其代入雙曲線方程，再結(jié)合和離心率，即可求解離心率.因為直線的斜率，且，所以，即.又因為，所以.聯(lián)立方程組，將代入可得：，等式兩邊同時乘以得到，展開可得，移項合并同類項得，解得.把代入得，所以.將P點坐標(biāo)代入雙曲線方程得：.因為，設(shè)，則，上式可化為.通分得到，即，整理得.令，則方程變?yōu)?由求根公式，解得或（因為，所以舍去）.所以，則.方法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出對稱點的坐標(biāo)，充分利用了點關(guān)于直線對稱的兩個重要性質(zhì).在代入雙曲線方程后，得到的四次方程轉(zhuǎn)，通過換元可以化為關(guān)于的二次方程.計算過程中涉及到較多的代數(shù)運算，需要仔細(xì)認(rèn)真，以避免計算錯誤作為小題，顯得小題大做.【方法二】向量法優(yōu)化對稱點的坐標(biāo)求法設(shè)，，直線的方向向量為，.根據(jù)對稱點連線與對稱軸垂直的性質(zhì)，可知與直線的方向向量垂直，所以，即.同時，F(xiàn)與P的中點在直線上，可得.聯(lián)立這兩個方程求出P點坐標(biāo)設(shè)，根據(jù)對稱點連線與對稱軸垂直的性質(zhì)得方程組解得，，所以.后續(xù)將P點坐標(biāo)代入雙曲線方程，與方法一的化簡計算過程相同，最終可得向量法的優(yōu)點是將幾何關(guān)系用向量的運算表示出來，更加簡潔明了.通過向量垂直和中點在直線上這兩個條件建立方程組，思路清晰.但同樣在后續(xù)代入雙曲線方程求解離心率時，需要進(jìn)行復(fù)雜的代數(shù)運算，要注意運算的準(zhǔn)確性.同時，對于向量的相關(guān)知識和運算要熟練掌握.【方法三】幾何推理+公式法當(dāng)題目直接給出與焦點相關(guān)或隱含幾何條件（如焦點三角形為直角三角形、等邊三角形等），思考回歸定義，基于的焦點三角形離心率優(yōu)化運算.做示意圖.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，焦點，設(shè)左焦點為.直線的傾斜角為，則，進(jìn)而可得.在中：根據(jù)中點性質(zhì)可得：根據(jù)雙曲線定義：因此，離心率對稱性轉(zhuǎn)化：利用對稱軸垂直平分線段的性質(zhì)，直接構(gòu)建直角三角形以簡化計算.幾何關(guān)系優(yōu)先：通過中點和平行關(guān)系推導(dǎo)線段比例，避免進(jìn)行坐標(biāo)代數(shù)運算.離心率公式直接應(yīng)用：在焦點三角形中將幾何量與直接關(guān)聯(lián)，迅速得出的值.

易錯點提醒：1、要注意雙曲線定義中距離差的絕對值條件（需驗證)）.2、準(zhǔn)確判斷的直角位置，需嚴(yán)格依據(jù)對稱性和中點性質(zhì)進(jìn)行驗證.通過幾何對稱性、平行關(guān)系與三角函數(shù)的結(jié)合，可高效解決雙曲線離心率問題.此類問題需重點挖掘題目中的幾何特征，減少代數(shù)運算量，突出數(shù)學(xué)直觀與邏輯推理的核心素養(yǎng).【雙曲線焦點三角形中公式應(yīng)用求e】1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，為的右支上一點，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先應(yīng)用正弦定理，再結(jié)合雙曲線定義及兩角和差的正弦公式計算化簡即可求解.【詳解】依題意得，則的離心率為故選：B.【橢圓焦點三角形】2．設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，點P在C上，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在直角三角形中，，得，由，得，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖：因為，所以，則在直角三角形中，，得，由，得，即橢圓的離心率為：．故選：A3．已知橢圓的左、右焦點分別為，點A在C上，點B在y軸上，，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的定義，通過假設(shè)一條焦半徑長，就可以得到其他焦半徑的表示，再利用勾股定理來消元假設(shè)的字母，最后利用一個角和余弦定理來建立一個的齊次式，求解離心率.【詳解】

因為，所以三點共線，又

，所以

為直角三角形，記，則，由橢圓定義和對稱性可得，則有，解得或（舍去），則，記，則，在中，由余弦定理得，整理得，則橢圓C的離心率為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：橢圓過焦點的三角形問題，關(guān)鍵是充分利用橢圓定義，結(jié)合余弦定理、勾股定理得到關(guān)于的齊次式，然后可求離心率.4．雙曲線的左右焦點分別為是雙曲線右支上一點，點關(guān)于平分線的對稱點也在此雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，由題意可知且三點共線，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義求得，，，在、中分別利用余弦定理計算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于平分線的對稱點為Q，則該角平分線為線段的垂直平分線，所以，且三點共線，設(shè)，則，，所以，在中，由余弦定理，得，又，所以，解得，所以，在中，由余弦定理，得，整理，得，由，解得.即雙曲線的離心率為.故選：B5．已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與雙曲線左支交于，兩點，兩點關(guān)于軸對稱，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，利用兩點間的距離公式及點在雙曲線上，得到，，，再結(jié)合條件，得到方程，即可求解.【詳解】連