2024屆大題強化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（8）1．已知函數(shù)（1）求在處的切線方程;（2）記函數(shù),若恒成立，求實數(shù)a的最大值.【答案】(1)(2)見解析；②【分析】（1）通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，得出符合題意，再利用導(dǎo)數(shù)去證明即可.【解析】(1)，，故，所以在處的切線方程為：.即.(2)因為，所以一定有，即（必要性）；當(dāng)時，令，令，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，所以，故在上單調(diào)遞增，，故，滿足充分性.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.所以實數(shù)a的最大值為.變式：已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）由給定條件求出的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求得切線斜率即可得解；（2）分離參數(shù)得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得，可得a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，，則，而，所以曲線在點處的切線方程為；（2），由，得，設(shè)，則，令，得，則時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，故,即實數(shù)a的取值范圍為.2．如圖，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，點是圓上異于點，的任意一點.（1）若點到平面的距離為，證明：.（2）求與平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）作于，利用線面垂直的判定及點到平面距離求出即可推理得解.（2）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法列出函數(shù)式，再借助函數(shù)值域求解即得.【解析】（1）如圖，連接，過點作，垂足為，由是圓的直徑，得，由是圓柱側(cè)面的母線，得平面，而平面，則，又平面，因此平面，而平面，則，又平面，于是平面，則點到平面的距離為，即，設(shè)，有，由，得，解得，又，則，而是的中點，所以.（2）在平面內(nèi)，過點作交圓于點，連接，由平面，得直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點，而點在圓上，有，且，于是，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)與平面所成角為，則，顯然，且，則，于是，，所以與平面所成角的正弦值的取值范圍是.變式：如圖所示，半圓柱的軸截面為平面，是圓柱底面的直徑，為底面圓心，為一條母線，為的中點，且.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由是直徑可知，則是是等腰直角三角形，故，由圓柱的特征可知平面，又平面，所以，因為平面，則平面，而平面，則，因為，則，，所以，因為平面，所以平面，又平面，故.（2）由題意及（1）易知兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，由（1）知平面，故平面的一個法向量是設(shè)是平面的一個法向量，則有取，所以設(shè)平面與平面夾角為，所以，則平面與平面夾角的余弦值為.3．為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.（1）若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；（2）從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求ξ的分布列與期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有關(guān)（2）分布列見解析；期望為（3）【分析】（1）求出卡方值并與臨界值比較即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)步驟列出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式即可得到答案；（3）利用全概率公式即可得到答案.【解析】（1）零假設(shè)：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關(guān)，由題得列聯(lián)表如下：青年中年合計體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計200200400，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗推斷不成立，即認(rèn)為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以的分布列：：012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，星期天選擇跑步為事件，則，，所以所以小明星期天選擇跑步的概率為.變式：某制藥公司研發(fā)一種新藥，需要研究某種藥物成分的含量（單位：）與藥效指標(biāo)值（單位：）之間的關(guān)系，該公司研發(fā)部門進(jìn)行了20次試驗，統(tǒng)計得到一組數(shù)據(jù)（，2，?，20），其中，分別表示第次試驗中這種藥物成分的含量和相應(yīng)的藥效指標(biāo)值，已知該組數(shù)據(jù)中與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且，，，，.（1）求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（2）該公司要用與兩套設(shè)備同時生產(chǎn)該種新藥，已知設(shè)備的生產(chǎn)效率是設(shè)備的2倍，設(shè)備生產(chǎn)藥品的不合格率為0.009，設(shè)備生產(chǎn)藥品的不合格率為0.006，且設(shè)備與生產(chǎn)的藥品是否合格相互獨立.①從該公司生產(chǎn)的新藥中隨機抽取一件，求所抽藥品為不合格品的概率；②在該新藥產(chǎn)品檢驗中發(fā)現(xiàn)有三件不合格品，求其中至少有兩件是設(shè)備生產(chǎn)的概率.參考公式：，.【答案】（1）（2）①0.008；②【分析】（1）根據(jù)公式求出和，可得關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（2）①利用全概率公式可求出結(jié)果；②根據(jù)貝葉斯公式求出一件合格品是設(shè)備生產(chǎn)的概率，再根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式可求出結(jié)果.【解析】（1），，所以，，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為.（2）設(shè)事件表示“隨機取一件藥品來自設(shè)備生產(chǎn)”，事件表示“隨機取一件藥品來自設(shè)備生產(chǎn)”，事件表示“所抽藥品為不合格品”，①因為設(shè)備的生產(chǎn)效率是設(shè)備的2倍，所以，，，，所以，②，所以三件不合格品中至少有兩件是設(shè)備生產(chǎn)的概率為.4．已知為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，為上一點，.（1）求的方程；（2）若是上異于點的兩個動點，且點不關(guān)于軸對稱，，過點作軸的垂線交直線于點，記的面積為，的面積為，求.【答案】（1）（2）8【分析】（1）由點在上，，列方程求出，可得的方程；（2）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立方程組，由結(jié)合韋達(dá)定理，求得直線恒過點，則有，求值即可.【解析】（1）因點在上，所以，又.由，解得，故的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立則，且，由韋達(dá)定理得.由，得，解得，即，解得，直線恒過點.由（1）可知，則.設(shè)點到直線的距離為，點到直線的距離為，則.變式：已知過點的直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，當(dāng)直線垂直于軸時，的面積為.（1）求拋物線的方程；（2）若為的重心，直線分別交軸于點，記的面積分別為，求的取值范圍.【答案】（1）的方程為（2）【分析】（1）根據(jù)三角形面積求出，得出拋物線方程；（2）利用重心的性質(zhì)可得，再由直線與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡，由均值不等式及不等式的性質(zhì)求值域即可.【解析】（1）當(dāng)時，，，所以，由題意可知，，所以，所以拋物線的方程為（2）如圖，設(shè)，因為為的重心，所以；因為，且；所以；設(shè)，與聯(lián)立得：，所以，所以，則；所以；所以取值范圍為.5．在無窮數(shù)列中，令，若，，則稱對前項之積是封閉的．（1）試判斷：任意一個無窮等差數(shù)列對前項之積是否是封閉的？（2）設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為．若對前項之積是封閉的，求出的兩個值；（3）證明：對任意的無窮等比數(shù)列，總存在兩個無窮數(shù)列和，使得，其中和對前項之積都是封閉的．【答案】（1）不是（2）或（3）證明見解析【分析】（1）取數(shù)列，結(jié)合題中定義驗證可得出結(jié)論；（2）由，得，進(jìn)而，討論①當(dāng)時和②當(dāng)，分別求得；（3）設(shè)，令，，得，再利用定義證明、對前項之積都是封閉的．【解析】（1）不是的，理由如下：如等差數(shù)列，所以不是任意一個無窮等差數(shù)列對前項之積是封閉的．（2）是等比數(shù)列，其首項，公比，所以，所以，由已知得，對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得成立，即對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得成立，即對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得成立，①當(dāng)時，得，所以；②當(dāng)時，得，且，綜上，或.（3）對任意的無窮等比數(shù)列，，令，，則，下面證明：是對前項之積是封閉的．因為，所以，取正整數(shù)得，，所以對前項之積是封閉的，同理證明：也對前項之積是封閉的，所以對任意的無窮等比數(shù)列，總存在兩個無窮數(shù)列和，使得，其中和對前項之積都是封閉的．變式：對于無窮數(shù)列，若對任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）已知數(shù)列為等差數(shù)列，①若是“數(shù)列”，，且，求所有可能的取值；②若對任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列為“數(shù)列”.【答案】（1）是，理由見解析（2）①的可能值為.②證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，推得，取，得到，即可求解；（2）若是“數(shù)列”，且為等差數(shù)列，得到，進(jìn)而得到存在，使得，求得，得到的值，進(jìn)而