2024屆大題強(qiáng)化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（9）1．如圖，四棱錐的底面是矩形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）平面與直線交于點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。兪剑喝鐖D，三棱柱中，為底面的重心，．（1）求證：∥平面；（2）若底面，且三棱柱的各棱長(zhǎng)均為6，設(shè)直線與平面所成的角為，求的值．2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與拋物線相切．（1）求的值；（2）已知點(diǎn)在拋物線上，分別位于第一象限和第四象限，且，過(guò)分別作直線的垂線，垂足分別為，求四邊形面積的最小值．變式：已知，，動(dòng)點(diǎn)Z滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）四邊形ABCD內(nèi)接于曲線E，點(diǎn)A，B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，設(shè)直線AC，BD的斜率分別是，且.證明：.3．已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式：已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列通項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求的范圍．4．某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請(qǐng)完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(jì)（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會(huì)導(dǎo)致肥胖等諸多健康問(wèn)題．以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635變式：某地政府為推動(dòng)旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展、加快旅游產(chǎn)業(yè)化建設(shè)，提出要優(yōu)化傳統(tǒng)業(yè)態(tài)，創(chuàng)新產(chǎn)品和服務(wù)方式，培育新業(yè)態(tài)新產(chǎn)品、新模式，促進(jìn)康養(yǎng)旅游快速發(fā)展.某景區(qū)為了進(jìn)一步優(yōu)化旅游服務(wù)環(huán)境，強(qiáng)化服務(wù)意識(shí)，全面提升景區(qū)服務(wù)質(zhì)量，準(zhǔn)備從m個(gè)跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)和6個(gè)私家游團(tuán)隊(duì)中隨機(jī)抽取幾個(gè)團(tuán)隊(duì)展開滿意度調(diào)查.若一次抽取2個(gè)團(tuán)隊(duì)，全是私家游團(tuán)隊(duì)的概率為.（1）若一次抽取3個(gè)團(tuán)隊(duì)，在抽取的3個(gè)團(tuán)隊(duì)是同類型團(tuán)隊(duì)的條件下，求這3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)的概率；（2）若一次抽取4個(gè)團(tuán)隊(duì)，設(shè)這4個(gè)團(tuán)隊(duì)中私家游團(tuán)隊(duì)的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.5．微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：．（1）請(qǐng)仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；（2）已知函數(shù)，其中．①證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；②當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式：英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的