高素質(zhì)高思維高能力4.3.1等比數(shù)列的概念

知識回顧特殊數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列概念通項公式前n項和公式應(yīng)用數(shù)列概念表示表格、圖像、通項公式、遞推公式特殊化類比課程目標學(xué)法指導(dǎo)1．借助教材實例理解等比數(shù)列、等比中項的概念．2．借助教材掌握等比數(shù)列的通項公式．3．會求等比數(shù)列的通項公式，并能利用等比數(shù)列的通項公式解決相關(guān)的問題.1．要從現(xiàn)實生活的大量實例中體會等比關(guān)系，感受等比數(shù)列在生活實踐中和數(shù)學(xué)文化中的廣泛性．2．類比等差數(shù)列，感受“差”與“比(商)”的聯(lián)系，進而認識到“等差”與“等比”的結(jié)構(gòu)和概念的一致性．3．進一步體會基本量思想與方程思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用.知識回顧等比數(shù)列名稱等差數(shù)列概念遞推公式常數(shù)通項公式與函數(shù)關(guān)系單調(diào)性中項性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)公差d可正、可負、可零an-an-1=d(n≥2,n∈N*)/an+1-an=d(n∈N*)

an=am+(n-m)dd>0,單調(diào)遞增；d=0，常數(shù)列；d<0，單調(diào)遞減知識回顧等比數(shù)列名稱等差數(shù)列前n項和前n項和性質(zhì)1Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成公差為k2d的等差數(shù)列探究新知類比等差數(shù)列的研究，從運算的角度，觀察下列數(shù)列有什么共同規(guī)律？

探究新知類比等差數(shù)列的研究，從運算的角度，觀察下列數(shù)列有什么共同規(guī)律？案例2

《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是：

探究新知類比等差數(shù)列的研究，從運算的角度，觀察下列數(shù)列有什么共同規(guī)律？細菌個數(shù)第一次第二次第三次24第n次……分裂次數(shù)82n案例3

在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是：

探究新知類比等差數(shù)列的研究，從運算的角度，觀察下列數(shù)列有什么共同規(guī)律？實例4某人存入銀行ɑ元錢，存期為5年，年利率是r，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是

復(fù)利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.

問題1：類比等差數(shù)列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？探究新知1.9,92,93,???,9l0①;100,1002,1003,???,10010②;5,52,53,???,5l0③.2.

3.2,4,8,16,32,64,???.⑤4.a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)5,a(1+r)6.⑥取值規(guī)律：從第2項起，每一項與它的前一項的比是一個不為0的常數(shù).類比等差數(shù)列的研究，從運算的角度，觀察下列數(shù)列有什么共同規(guī)律？探究新知探究1：類比等差數(shù)列的概念，抽象出等比數(shù)列的概念。等差數(shù)列

如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.

常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.

公差通常用字母d表示定義符號

如果一個數(shù)列從第____項起，每一項與它的前一項的____都等于___一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做__________.

常數(shù)叫做等____數(shù)列的_____等比數(shù)列公比通常用字母q表示(q≠0)二比同等比數(shù)列公比比

等比數(shù)列的遞推公式探究新知從運算的角度，思考以下問題：問題1：等差數(shù)列的項、公差均可以是0嗎？等比數(shù)列呢？問題2：常數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？問題3：是否存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列？常數(shù)列一定是等差數(shù)列，公差為0；非零常數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，公差為0，公比為1.等差數(shù)列的項、公差均可以是0，但等比數(shù)列的項和公比均不可以是0探究新知探究2：類比等差中項的概念，抽象出等比中項的概念。等差中項

等比中項

如果三個數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列，那么A叫做a和b的等差中項.

如果三個數(shù)a,G,b組成等比數(shù)列，那么G叫做a和b的等比中項.定義a,A,b成等差數(shù)列a,G,b成等比數(shù)列關(guān)系注意：若a,b同號,則有兩個等比中項;若a,b異號,則無等比中項.問題4：任意兩個實數(shù)a，b都有等比中項嗎？探究新知探究3：類比等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式.等差數(shù)列

等比數(shù)列

不完全歸納法方法一探究新知等差數(shù)列

等比數(shù)列

累乘法累加法方法二探究3：類比等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式.探究4：類比等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列可以與哪類函數(shù)建立關(guān)系？探究新知指數(shù)型函數(shù)

從圖象上看，表示等比數(shù)列{an}

中的各項的點是指數(shù)型函數(shù)

圖象上一群孤立的點.(下圖是其指數(shù)型函數(shù)圖像的一種情況）

探究新知探究5：類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，推導(dǎo)等比數(shù)列的單調(diào)性。等差數(shù)列

等比數(shù)列

跟蹤訓(xùn)練

√典例分析例1若等比數(shù)列{an}的第4項和第6項分別為48和12，求{an}的第5項.①②②的兩邊分別除以①的兩邊，得

解得

基本量法典例分析例1若等比數(shù)列{an}的第4項和第6項分別為48和12，求{an}的第5項.解法2：

所以性質(zhì)法等比中項注意：等比中項還要關(guān)注項的關(guān)系，奇數(shù)項的符號相同，偶數(shù)項的符號相同,奇數(shù)項和偶數(shù)項的符號不一定相同,

解：

所以這個數(shù)列是20,40,80,96,112或180,120,80,16，-48注意設(shè)元法典例分析知識歸納

方法歸納

對稱設(shè)元法

1.與等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)的設(shè)元技巧：2.與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)的設(shè)元技巧：(1)如果是奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d，a，a+d(2)如果是偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a+2d，a-d，a+d，a+2d課堂小結(jié)等比數(shù)列名稱等差數(shù)列概念遞推公式常數(shù)通項公式與函數(shù)關(guān)系單調(diào)性中項從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)公差d可正、可負、可零an+1-an=d(n∈N*)

d>0,單調(diào)遞增；d=0，常數(shù)列；d<0，單調(diào)遞減

從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)

公比q可正、可負、不可零

1.判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列.如果是，寫出它的公差.課本P31a1a3a5a7q2820.22.已知{an}是一個公比為q等比數(shù)列，請在下表中的空格處填入適當?shù)臄?shù).3.在等比數(shù)列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝60.求a1和公比q