2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題★★輔助圓在解題中的應(yīng)用類型等距成圓旋轉(zhuǎn)成圓折疊成圓斜邊中點(diǎn)圖示

軌跡情況點(diǎn)A，B，C都在圓心為點(diǎn)O，半徑為r的圓上點(diǎn)B在圓心為點(diǎn)A，半徑為AB長(zhǎng)的圓上；點(diǎn)C在圓心為點(diǎn)A，半徑為AC長(zhǎng)的圓上點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，折疊后點(diǎn)B′在圓心為點(diǎn)A，半徑為AB長(zhǎng)的圓上點(diǎn)A，B分別是直角邊OM，ON上的動(dòng)點(diǎn)，AB定長(zhǎng)，AB的中點(diǎn)C在圓心為點(diǎn)O，半徑為AB長(zhǎng)的圓上

如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，且點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)畫出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡．【思路分析】定點(diǎn)(圓心)是

，定長(zhǎng)(半徑)是

，畫出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡．解：如圖，⊙A即為點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡．點(diǎn)AAB(或AC或AD)

如圖，一長(zhǎng)2m的梯子AB放在墻角(∠ACB＝90°)，P為AB的中點(diǎn)，若梯子AB由豎直放置沿墻下滑至水平放置，則在下滑的過程中，點(diǎn)P移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

m.

如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值為

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類型二：四點(diǎn)共圓類型對(duì)角互補(bǔ)定線段同側(cè)兩角相等含直角不含直角角為直角角為非直角圖示

軌跡情況圓心為AB的中點(diǎn)O，半徑為AB長(zhǎng)圓心為四邊形ABCD任意兩鄰邊垂直平分線的交點(diǎn)O，半徑為OA長(zhǎng)圓心為AB的中點(diǎn)O，半徑為AB長(zhǎng)圓心為△ABC或△ABD任意兩邊垂直平分線的交點(diǎn)O，半徑為OA長(zhǎng)【注意】四點(diǎn)共圓不能在書寫解答或證明過程中直接應(yīng)用，需通過“定點(diǎn)定長(zhǎng)”證明．

如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，BD，∠BAC＝∠BDC＝90°，判斷圖中哪四點(diǎn)共圓，并畫出圓的軌跡．解：A，B，C，D四點(diǎn)共圓，圓的軌跡如圖．

如圖，在矩形ABCD中，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥PF分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，判斷圖中哪四點(diǎn)共圓(除A，B，C，D四點(diǎn)共圓)，并畫出圓的軌跡．

解：圖中B，E，P，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，圓的軌跡如圖．類型三：定弦定角類型角為銳角角為直角角為鈍角圖示

軌跡情況以AB為底邊在點(diǎn)P同側(cè)構(gòu)造頂角為2α的等腰三角形OAB，點(diǎn)P在圓心為點(diǎn)O，半徑為OA長(zhǎng)的圓上點(diǎn)P在圓心為AB的中點(diǎn)O，半徑為AB長(zhǎng)的圓上以AB為底邊在點(diǎn)P異側(cè)構(gòu)造頂角為360°－2α的等腰三角形OAB，點(diǎn)P在圓心為點(diǎn)O，半徑為OA長(zhǎng)的圓上通法：作△PAB中任意兩邊的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心，圓心與△PAB任意一個(gè)頂點(diǎn)的連線即為半徑

如圖，在正方形ABCD中，E是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且∠AEB＝90°，請(qǐng)畫出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡．【思路分析】定弦為

，定角為

，畫出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡．

AB∠AEB

如圖，在等邊三角形ABC中，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，BD，∠ADB＝120°，請(qǐng)畫出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡．【思路分析】定弦為

，定角為

，畫出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡．

AB∠ADB類型四：最大張角問題描述

已知A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大最大張角

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC的外接圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大證明

設(shè)C′是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連接AC′，BC′，BC′交⊙I于點(diǎn)D，連接AD，由圓周角定理可知∠ACB＝∠ADB，由三角形內(nèi)外角關(guān)系可知∠ADB>∠AC′B，∴∠ACB>∠AC′B，∴當(dāng)⊙I與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大

如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步行道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是

m.

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在AD上，連接BP，CP，則sin∠BPC的最大值為

.

1．如圖，AC，BD為四邊形ABCD的對(duì)角線，已知∠ABC＝∠BAC＝55°，若CD＝AC，則∠ADB的度數(shù)為

.

35°2．如圖，△ABC和△ADC均為直角三角形，∠ABC＝∠ADC＝90°，若AC＝2，∠BCD＝135°，連接BD，則BD的長(zhǎng)為

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3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，過點(diǎn)B作射線AP的垂線，垂足為Q，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

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4．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)M，O，CO平分∠ACB，點(diǎn)M繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，則S△ANC的最大值為

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