2025年CFA《數(shù)量分析》歷年真題卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______試卷內(nèi)容一、根據(jù)以下信息，計算簡單線性回歸模型的估計參數(shù)（使用普通最小二乘法）：*變量X和Y的樣本數(shù)據(jù)如下：n=25*ΣXi=150,ΣYi=100,ΣXi2=940,ΣYi2=540,ΣXiYi=780請分別給出回歸系數(shù)β?和截距項α的估計值。二、假設(shè)你正在考慮一個包含兩個資產(chǎn)的投資組合。資產(chǎn)A的預(yù)期收益率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%，與市場組合的貝塔值為1.2。資產(chǎn)B的預(yù)期收益率為8%，標(biāo)準(zhǔn)差為25%，與市場組合的貝塔值為0.6。市場組合的預(yù)期收益率為10%，無風(fēng)險利率為3%。請問：1.根據(jù)資本資產(chǎn)定價模型（CAPM），計算資產(chǎn)A和資產(chǎn)B的預(yù)期收益率是否被充分定價？（請說明理由）。2.如果資產(chǎn)A和資產(chǎn)B的相關(guān)系數(shù)為0.3，投資組合中資產(chǎn)A的權(quán)重為60%，資產(chǎn)B的權(quán)重為40%，請計算該投資組合的預(yù)期收益率、標(biāo)準(zhǔn)差和貝塔值。三、某分析師正在研究一家公司的股票價格。他收集了該公司過去60個月股票價格的月度數(shù)據(jù)，并希望使用ARIMA模型進行預(yù)測。他通過自相關(guān)圖（ACF）和偏自相關(guān)圖（PACF）分析發(fā)現(xiàn)，股票價格數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的自相關(guān)性，ACF圖顯示出逐步衰減的趨勢，PACF圖在lag1和lag2處有顯著峰值，之后迅速下降。請基于以上信息：1.建議該分析師使用哪種ARIMA模型？2.簡要說明選擇該模型的理論依據(jù)。3.提出在估計模型參數(shù)后，需要進行哪些檢驗來確保模型的有效性？四、你獲得了一個包含50個觀測值的樣本，樣本均值為50，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為8。請執(zhí)行以下假設(shè)檢驗：1.檢驗原假設(shè)H?：μ=52（總體均值等于52）對立假設(shè)H?：μ≠52（總體均值不等于52）。請使用5%的顯著性水平，計算檢驗統(tǒng)計量t的值，并說明是否拒絕原假設(shè)。請說明你的決策過程。2.在上述檢驗中，如果樣本量增加到100（其他條件不變），檢驗統(tǒng)計量t的值會發(fā)生什么變化？請解釋原因。五、在一個多元線性回歸模型中，你有以下信息：*模型包含3個自變量（X?,X?,X?）和一個因變量Y。*樣本量為30。*回歸分析結(jié)果部分輸出如下：*R2=0.75*調(diào)整后的R2=0.73*F檢驗統(tǒng)計量=40.5，對應(yīng)的p值<0.01*X?的回歸系數(shù)估計值為5，標(biāo)準(zhǔn)誤為1.2，p值=0.08*X?的回歸系數(shù)估計值為-2，標(biāo)準(zhǔn)誤為0.9，p值=0.03*X?的回歸系數(shù)估計值為1.5，標(biāo)準(zhǔn)誤為0.7，p值=0.001請根據(jù)以上信息回答：1.該回歸模型的整體解釋力如何？2.X?,X?,X?這三個自變量中，哪些在統(tǒng)計上對因變量Y有顯著影響？（請說明理由）。3.解釋X?回歸系數(shù)為-2的經(jīng)濟含義。六、假設(shè)一個資產(chǎn)組合由三個資產(chǎn)組成，其投資比例分別為：資產(chǎn)A40%，資產(chǎn)B35%，資產(chǎn)C25%。這三個資產(chǎn)的風(fēng)險（標(biāo)準(zhǔn)差）分別為：σ(A)=15%，σ(B)=20%，σ(C)=10%。已知資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)矩陣如下：*ρ(A,B)=0.4*ρ(A,C)=-0.2*ρ(B,C)=0.1請計算該投資組合的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。試卷答案一、β?=(ΣXiYi-nΣXiΣYi/(nΣXi2-(ΣXi)2))=(780-25*150*100/(25*940-1502))=(780-37500/(23500-22500))=(780-37500/1000)=(780-37.5)=7.5α=(nΣYi-ΣXiβ?)/n=(25*100-150*7.5)/25=(2500-1125)/25=1375/25=55解析思路：直接應(yīng)用普通最小二乘法（OLS）的公式計算回歸系數(shù)β?和截距項α。公式基于樣本數(shù)據(jù)的匯總統(tǒng)計量（ΣXi,ΣYi,ΣXi2,ΣYi2,ΣXiYi和樣本量n）。計算過程涉及基本的代數(shù)運算。二、1.資產(chǎn)A：E(Ri)=Rf+βi[E(Rm)-Rf]=3%+1.2*(10%-3%)=3%+1.2*7%=3%+8.4%=11.4%。市場預(yù)期資產(chǎn)A收益率為12%，高于根據(jù)CAPM計算的11.4%，因此資產(chǎn)A被低估（或稱預(yù)期收益率被高估）。資產(chǎn)B：E(Ri)=Rf+βi[E(Rm)-Rf]=3%+0.6*(10%-3%)=3%+0.6*7%=3%+4.2%=7.2%。市場預(yù)期資產(chǎn)B收益率為8%，高于根據(jù)CAPM計算的7.2%，因此資產(chǎn)B被低估（或稱預(yù)期收益率被高估）。結(jié)論：根據(jù)CAPM，兩者預(yù)期收益率均被高估，可能存在套利機會。2.投資組合預(yù)期收益率E(Rp)=w?E(R?)+w?E(R?)+w?E(R?)=0.6*12%+0.4*8%+0*(未知)=7.2%+3.2%=10.4%。投資組合方差σp2=w?2σ?2+w?2σ?2+w?2σ?2+2w?w?σ?σ?ρ(A,B)+2w?w?σ?σ?ρ(A,C)+2w?w?σ?σ?ρ(B,C)=(0.6)2(15%)2+(0.4)2(20%)2+(0.25)2(10%)2+2(0.6)(0.4)(15%)(20%)(0.4)+2(0.6)(0.25)(15%)(10%)(-0.2)+2(0.4)(0.25)(20%)(10%)(0.1)=0.36(0.0225)+0.16(0.04)+0.0625(0.01)+2(0.6)(0.4)(0.15)(0.20)(0.4)+2(0.6)(0.25)(0.15)(0.10)(-0.2)+2(0.4)(0.25)(0.20)(0.10)(0.1)=0.0081+0.0064+0.000625+2(0.6*0.4*0.15*0.20*0.4)-2(0.6*0.25*0.15*0.10*0.2)+2(0.4*0.25*0.20*0.10*0.1)=0.015225+2(0.00192)-2(0.00018)+2(0.00004)=0.015225+0.00384-0.00036+0.00008=0.019085投資組合標(biāo)準(zhǔn)差σp=√0.019085≈0.1381或13.81%。投資組合貝塔值βp=w?β?+w?β?+w?β?。由于題目未提供資產(chǎn)C的貝塔值，無法計算βp。但若假設(shè)資產(chǎn)C的貝塔值為市場貝塔值1，則βp=0.6*1.2+0.4*0.6+0.25*1=0.72+0.24+0.25=1.21。解析思路：1.問題1考察CAPM模型的應(yīng)用。將給定的Rf,E(Rm),βi代入CAPM公式計算資產(chǎn)的預(yù)期收益率，并與市場給出的預(yù)期收益率進行比較，判斷資產(chǎn)是否被定價。2.問題2考察投資組合預(yù)期收益率、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算。*預(yù)期收益率是加權(quán)平均。*方差計算使用加權(quán)方差公式，并加入交叉項（協(xié)方差=相關(guān)系數(shù)*σi*σj）。需要將相關(guān)系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差代入公式，逐步計算各項。*貝塔值計算需要各資產(chǎn)的貝塔值，題目未給出資產(chǎn)C的貝塔值，故無法計算。三、1.建議使用ARIMA(2,1,1)模型。2.理論依據(jù)：根據(jù)自相關(guān)圖（ACF）和偏自相關(guān)圖（PACF）的分析結(jié)果。ACF逐步衰減表明序列存在自相關(guān)，但不支持高階自回歸項。PACF在lag1和lag2處有顯著峰值，然后迅速下降，這表明模型中應(yīng)該包含最多2階自回歸項（AR）。由于ACF也顯示出一定程度的拖尾，通常需要差分。差分一次后（變?yōu)橐浑A差分），PACF在lag1和lag2處的峰值會變得更加顯著（如果模型選擇正確）。ARIMA(2,1,1)模型包含2階自回歸項、1次差分和1階移動平均項，這通常能很好地捕捉這種結(jié)構(gòu)。3.模型有效性檢驗：需要進行殘差分析。估計模型參數(shù)后，應(yīng)檢查殘差序列是否滿足白噪聲（即具有零均值、常數(shù)方差、獨立且不相關(guān)）的假設(shè)。具體檢驗方法包括：*檢查殘差的ACF和PACF圖，看是否在可接受范圍內(nèi)（例如，大部分滯后項不顯著）。*計算Ljung-BoxQ統(tǒng)計量，檢驗殘差的自相關(guān)性，p值應(yīng)大于顯著性水平（如0.05）。*檢查殘差的正態(tài)性，例如使用正態(tài)分布Q-Q圖或進行正態(tài)性檢驗（如Shapiro-Wilk檢驗），p值應(yīng)大于顯著性水平。*檢查殘差的常數(shù)方差（同方差性），可以通過殘差圖或異方差檢驗（如Breusch-Pagan或White檢驗）進行。解析思路：1.問題1基于ACF和PACF圖的特征選擇ARIMA模型。ACF拖尾或漸近零，PACF在前幾階有顯著峰值后截尾，對應(yīng)AR(p)項；若ACF在前幾階有顯著峰值后截尾，PACF拖尾或漸近零，對應(yīng)MA(q)項。題目描述符合AR(2)的特征，同時ACF拖尾暗示需要差分（d=1）。因此選擇ARIMA(2,1,0)或ARIMA(2,1,1)。通常根據(jù)ACF的拖尾情況選擇MA(q)，若不明確，(2,1,1)是常見的選擇。2.問題2闡述選擇該模型的理論依據(jù)，即結(jié)合ACF和PACF圖的特征與ARIMA模型理論。3.問題3提出模型估計后必須進行的檢驗，核心是殘差分析，確保殘差序列滿足白噪聲假設(shè)，這是模型有效的標(biāo)志。四、1.檢驗統(tǒng)計量t=(樣本均值-假設(shè)的總體均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本量)=(50-52)/(8/√50)=-2/(8/7.071)=-2/1.131=-1.77。查t分布表，自由度df=n-1=50-1=49，顯著性水平α=0.05，雙側(cè)檢驗。tcritical(α/2,df)≈±2.0096。比較：|t|=1.77<2.0096=tcritical。決策：不拒絕原假設(shè)H?。沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)表明總體均值與52不同。2.如果樣本量增加到100（其他條件不變），檢驗統(tǒng)計量t的值會變小。解釋：計算公式t=(樣本均值-μ?)/(s/√n)。分母中的標(biāo)準(zhǔn)誤差s/√n與樣本量的平方根成反比。當(dāng)樣本量n從50增加到100時，√n從√50增加到√100，即√n變大。因此，標(biāo)準(zhǔn)誤差s/√n變小，導(dǎo)致檢驗統(tǒng)計量t的絕對值變小。解析思路：1.問題1執(zhí)行假設(shè)檢驗。使用單個樣本t檢驗的公式計算檢驗統(tǒng)計量t的值。然后查找t分布表確定臨界值（根據(jù)自由度和顯著性水平），將計算得到的t值與臨界值比較，根據(jù)決策規(guī)則（拒絕H?當(dāng)|t|>tcritical）做出結(jié)論。2.問題2分析樣本量變化對檢驗統(tǒng)計量的影響。根據(jù)t檢驗的公式，明確標(biāo)準(zhǔn)誤差與樣本量平方根的反比關(guān)系，從而得出結(jié)論。五、1.該回歸模型的整體解釋力為R2=0.75。這意味著模型中自變量（X?,X?,X?）共解釋了因變量Y變化的75%。調(diào)整后的R2=0.73，說明在考慮了模型中自變量的數(shù)量以及樣本量后，模型對數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度略有下降，但仍然較高。2.在5%的顯著性水平下：*X?的回歸系數(shù)p值=0.03<0.05，因此X?對因變量Y有統(tǒng)計上的顯著影響（拒絕H?:β?=0）。*X?的回歸系數(shù)p值=0.08>0.05，因此X?對因變量Y沒有統(tǒng)計上的顯著影響（不能拒絕H?:β?=0）。*X?的回歸系數(shù)p值=0.001<0.05，因此X?對因變量Y有統(tǒng)計上的顯著影響（拒絕H?:β?=0）。結(jié)論：X?和X?對因變量Y有顯著影響，而X?沒有顯著影響。3.X?回歸系數(shù)為-2的經(jīng)濟含義是：在控制其他自變量（X?和X?）的影響后，自變量X?每增加一個單位，因變量Y將平均減少2個單位。解析思路：1.問題1解釋R2和調(diào)整后R2的含義。R2表示模型對總變異的解釋比例。調(diào)整后的R2在R2的基礎(chǔ)上考慮了模型復(fù)雜度（自變量個數(shù)）和樣本量，是更可靠的衡量標(biāo)準(zhǔn)。2.問題2基于回歸系數(shù)的p值進行顯著性檢驗。通常以p值<0.05作為判斷標(biāo)準(zhǔn)。比較各自變量系數(shù)的p值與顯著性水平，判斷其影響是否顯著。3.問題3解釋X?回歸系數(shù)的經(jīng)濟