第第頁第05講復(fù)數(shù)(精講）第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、復(fù)數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.2、復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，，（），我們規(guī)定.3、復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)(),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)時(shí),它叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí),它叫做純虛數(shù).這樣,復(fù)數(shù)()可以分類如下:4、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)平面向量5、復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或公式：，其中復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；特別的，時(shí)，復(fù)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于(的絕對值).6、共軛復(fù)數(shù)（1）定義一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).（2）表示方法表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.7、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法（減法）運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)，，（）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和：顯然：兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)（2）復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作注意：①兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；②兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減等于實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減.8、復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值（1）復(fù)數(shù)的三角形式一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式.其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角.叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.注意：復(fù)數(shù)三角形式的特點(diǎn)口訣：“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連”（2）復(fù)數(shù)的俯角任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，且這些值相差的整數(shù)倍.復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的，不討論它的輻角主值.我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.通常記作，即.（3）復(fù)數(shù)代數(shù)形式和三角形式的互化復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.我們可以根據(jù)運(yùn)算的需要，將復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式進(jìn)行互化.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟:①先求復(fù)數(shù)的模；②決定輻角所在的象限；③根據(jù)象限求出輻角(常取它的主值)；④寫出復(fù)數(shù)的三角形式．（4）三角形式下復(fù)數(shù)的相等兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件：兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們模與輻角的主值分別相等．9、復(fù)數(shù)三角形式的乘法設(shè)，的三角形式分別是：，，則簡記為：模數(shù)相乘，幅角相加10、復(fù)數(shù)三角形式的除法設(shè)，，且，因?yàn)?，所以根?jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有.這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.簡記為：模數(shù)相除，幅角相減高頻考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的概念例題1．在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若復(fù)數(shù)滿足，則是純虛數(shù)【答案】AD【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故C不正確；對于D，設(shè)，則，，則，解得，故是虛數(shù)，故D正確；故選：AD練透核心考點(diǎn)1．以下命題中，正確的是（

）A．若，復(fù)數(shù)中，實(shí)部為，虛部為B．若，當(dāng)是虛數(shù)時(shí)，則且C．若，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)D．若，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)【答案】D【詳解】解：選項(xiàng)中，若，復(fù)數(shù)中，實(shí)部為，虛部為，故選項(xiàng)錯(cuò)；選項(xiàng)中，若，當(dāng)是虛數(shù)時(shí)，則，故選項(xiàng)錯(cuò)；選項(xiàng)中，若，當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)；選項(xiàng)正確.故選：.2．（多選）已知為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說法中正確的是（

）A． B．C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 D．復(fù)數(shù)的虛部為【答案】AD【詳解】對于A中，由虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以A正確；對于B中，根據(jù)虛數(shù)不能比較大小，所以B不正確；對于C中，例如：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以C不正確；對于D中，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可得復(fù)數(shù)的虛部為，所以D正確.故選：AD.高頻考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的幾何意義例題1．已知平面直角坐標(biāo)系中是原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別記作，，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，可得向量，，由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，可得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.故選：B例題2．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以．故選：D.例題3．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則（

）A．不可能為純虛數(shù)B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)可能位于第二象限C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)一定位于第三象限D(zhuǎn)．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)可能位于第四象限【答案】D【詳解】由為第二象限，其對應(yīng)輻角范圍為，所以對應(yīng)輻角為，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)可能位于第三、四象限及y軸的負(fù)半軸.所以A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D練透核心考點(diǎn)1．已知，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】由題意得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，故選：C2．復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則下列關(guān)于的說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．的虛部為 D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限【答案】C【詳解】對于A，由已知可得，，故A正確.對于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對于C，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知的虛部為，故C錯(cuò)誤；對于D，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，故D正確.故選：C.3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】因復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則，，于是得，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B高頻考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)分類例題1．已知復(fù)數(shù)，，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)___________【答案】【詳解】由可得，∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，即.故答案為：例題2．已知復(fù)數(shù)，其中，為虛數(shù)單位．(1)若為實(shí)數(shù)，求的值；(2)若為純虛數(shù)，求的虛部．【答案】(1)(2)8【詳解】（1）解：若z為實(shí)數(shù)，則，解得．（2）解：由題意得解得，∴，故，∴的虛部為8．練透核心考點(diǎn)1．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．(1)若是純虛數(shù)，求的值；(2)若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）是純虛數(shù)，．（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限2．已知復(fù)數(shù)（）．（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）由題意，解得．（2）∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴，解得：．∴實(shí)效a的取值范圍是．高頻考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)模例題1．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【詳解】，所以；故選：D例題2．若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，則，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則，故選：.練透核心考點(diǎn)1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．2【答案】D【詳解】由可得，故，則的虛部為2，故選：D2．已知、，且，若，則的最大值是（

）．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【詳解】設(shè)，，故，，則，，，當(dāng)時(shí)，有最大值為4.故選：C3．已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是__．【答案】8【詳解】解：因?yàn)榍遥?，根?jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，表示以為圓心，3為半徑的圓，所以，表示圓上的點(diǎn)和點(diǎn)的距離，因?yàn)閳A心到點(diǎn)的距離為，，故答案為：高頻考點(diǎn)五：待定系數(shù)求復(fù)數(shù)例題1．若，則可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則觀察得僅滿足，故選：D.例題2．若復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，則的虛部為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，依題意，，即有，因此，顯然，解得，則有或，即或，所以的虛部為1.故選：D練透核心考點(diǎn)1．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C． D．2【答案】D【詳解】設(shè)，，解得故選：D2．（多選）已知為虛數(shù)單位，，，則（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【詳解】對于A，，錯(cuò)誤；對于B，復(fù)數(shù)不可以比較大小，錯(cuò)誤；對于C，，正確；對于D，，正確；故選：CD.高頻考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例題1．設(shè)是虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，又因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，故選：D．例題2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)椋?，所以．故選：D．例題3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，于是，故選：C練透核心考點(diǎn)1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】∵，則，∴z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.2．若z滿足，則（

）A．10 B． C．20 D．【答案】B【詳解】由已知得，所以．故選：B．3．的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以的虛部?故選：B.高頻考點(diǎn)七：共軛復(fù)數(shù)例題1．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，則（

）A．－ B． C．－2 D．2【答案】A【詳解】由題意設(shè)，則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，得，所以，所以，故選：A.例題2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】根據(jù)題意，得，所以．所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選：D．例題3．設(shè)，則__________.【答案】4【詳解】，則，故，故答案為：4練透核心考點(diǎn)1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．0 C．4 D．5【答案】D【詳解】由，則有，所以.故選:D．2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?故選：D．3．已知，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第__________象限．【答案】四【詳解】因?yàn)?，則，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限.故答案為：四.第05講復(fù)數(shù)課后鞏固練習(xí)1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.2．已知，則（

）A．2 B． C．4 D．10【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.3．若復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】已知，得，所以，所以其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限；故選:D4．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的實(shí)部為（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【詳解】解：，所以，，的實(shí)部為0．故選：C5．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解得方程的兩根為，則（

）A．4 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】由題意，在中，解得：，∴，故選：C.6．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由可得，所以.故選：A7．已知（，i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)椋ǎ琲為虛數(shù)單位），所以，所以，所以，故選：B8．已知復(fù)數(shù)，則“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【詳解】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，即，，充分性；取，則，，不必要性.綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.故選：A9．若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則銳角______．【答案】【詳解】，，若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則，解得，則銳角，故答案為：.