第第頁第01講數(shù)列的概念與簡單表示法第一部分：知識點必背1、數(shù)列的有關概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列的第項通項公式如果數(shù)列的第項與序號之間的關系能用公式表示，這個公式叫做數(shù)列的通項公式前n項和數(shù)列中，叫做數(shù)列的前項和2、數(shù)列的表示方法（1）列表法列出表格來表示序號與項的關系．（2）圖象法數(shù)列的圖象是一系列孤立的點．（3）公式法①通項公式法：把數(shù)列的通項用公式表示的方法，如．②遞推公式法：使用初始值和或，和來表示數(shù)列的方法．3、與的關系若數(shù)列的前項和為，則．4、數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關系遞增數(shù)列其中遞減數(shù)列常數(shù)列高頻考點一：利用與的關系求通項公式角度1：利用替換例題1．已知數(shù)列的前項和滿足（），且．求數(shù)列的通項公式；【答案】【詳解】∵當時，，∴，得或．∵，故．當時，，∴，即，∴，而，∴，即，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，則．例題2．已知數(shù)列的前項和滿足：.求的通項公式；【答案】【詳解】由已知，當時，，解得，當時，，則，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.角度2：利用替換例題1．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）當時，，當時，，，即，，，，是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，，，，綜上，角度3：作差法求通項例題1．數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為________.【答案】【詳解】由題意…①，，…②，②①得：，則當時，，當，不適合上式.

；故答案為：.例題2．已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題意，①當時，；當時，用代替，②，①－②得：，所以，當時不成立．所以數(shù)列的通項公式；練透核心考點一1．已知數(shù)列的前項和為，，，則________.【答案】【詳解】因為，所以當時，，即，若，則，故，顯然與矛盾，故，所以，又，所以是以首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，故.故答案為：.2．已知在數(shù)列中，，，則_____.【答案】【詳解】①，當時，②，①-②得，整理得，當時，，得，.故答案為：.3．數(shù)列滿足，則______.【答案】【詳解】由可得，當時，，當時，，兩式相減得，解之得故答案為：4．已知數(shù)列{an}的前n項和，求{an}的通項公式．【答案】【詳解】由題可得，當時，，時也適合此式，∴.5．已知數(shù)列的前項和為，若，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1），∴，為首項，公差的等差數(shù)列，∴，，當時，，因此6．已知數(shù)列的各項均為正數(shù),前項和為,且（）,求數(shù)列的通項公式;【答案】【詳解】因為（）,當時，,得,當時,由,得①,∴②,①﹣②得:,∴,,,∴,,∴數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,∴,即.7．已知數(shù)列，滿足，且，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題設，又是公差為1的等差數(shù)列，所以，故，又且，則，故，顯然也滿足，綜上，.高頻考點二：利用遞推關系求通項公式角度1：累加法例題1．已知數(shù)列滿足，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，，所以.故選：C.例題2．若數(shù)列滿足，則通項公式為__________.【答案】【詳解】因為，所以當時，，當時，，滿足，所以，故答案為：.例題3．已知數(shù)列滿足，，，求通項公式．【答案】.【詳解】因為，所以，所以，，，……，，所以，因為，所以，所以，因為滿足上式，所以.角度2：累乘法例題1．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為______.【答案】【詳解】因為，所以，所以，，，……，，，所以，所以，因為，所以符號該式，故答案為：例題2．已知數(shù)列的前項和為．求數(shù)列的通項公式；【答案】【詳解】由于，所以①，當時，②，①-②得，整理得，所以，累乘可得，且，所以，經(jīng)檢驗可得，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.角度3：構(gòu)造法例題1．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為_____________.【答案】【詳解】因為，設，即，根據(jù)對應項系數(shù)相等則，解得，故，所以是為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即.故答案為：例題2．數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項公式_________.【答案】【詳解】因為，所以，又，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則.故答案為：角度4：倒數(shù)法例題1．已知數(shù)列中，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得：，又，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，，.故選：A.例題2．已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】【詳解】因為，，所以，所以，所以，所以.故答案為：.例題3．已知數(shù)列的遞推公式，且首項，則_________.【答案】【詳解】因為，且，則，，以此類推可知，對任意的，，在等式兩邊取倒數(shù)可得，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項為，公差為，，故對任意的，.故答案為：.練透核心考點二1．古希臘著名科學家畢達哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的（石子），排成一個個如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個石子，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第11個三角形數(shù)是______.【答案】66【詳解】依題意，設三角形數(shù)按從小到大排列構(gòu)成數(shù)列，則，，所以，上式相加得，所以，則第11個三角形數(shù)是.故答案為：66.2．已知數(shù)列，，且，，則____________．【答案】【詳解】由題意得，則，故時，，，，，所以以上式子相加得，，時，也符合上式，.故答案為：.3．已知數(shù)列滿足，，則的通項公式為___________．【答案】【詳解】因為數(shù)列滿足，，則，所以，當時，，也滿足，所以，對任意的，．故答案為：4．在數(shù)列中，若，，則的通項公式為______．【答案】【詳解】由題意知，故，故，故答案為：5．數(shù)列中，若，，則___________．【答案】【詳解】由可得，所以,所以，因為，所以，所以，故答案為:.6．在數(shù)列中，已知，，則的通項公式為______．【答案】【詳解】由，兩邊取倒數(shù)得，即，又因為，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，故，故答案為：7．已知首項為2的數(shù)列對滿足，則數(shù)列的通項公式______.【答案】【詳解】設，即，故，解得：，故變形為，，故是首項為4的等比數(shù)列，公比為3，則，所以，故答案為：8．在數(shù)列中，，，，則該數(shù)列的通項公式______．【答案】【詳解】因為數(shù)列中，，即，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，解得.故答案為：.9．在數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項公式.【答案】【詳解】因為，所以.由可得，所以.又，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以.高頻考點三：數(shù)列的性質(zhì)及其應用角度1：數(shù)列的單調(diào)性例題1．對于數(shù)列，“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】充分性:若成立，則，所以必為遞減數(shù)列．必要性:若為遞減數(shù)列，但可能不成立．如：，，，，，…．必要性不成立所以“”是“為遞減數(shù)列”的充分不必要條件．綜上可知，故選:A．例題2．已知數(shù)列滿足，證明：數(shù)列單調(diào)遞減.【答案】證明見解析【詳解】證明：因為恒成立，所以數(shù)列單調(diào)遞減.例題3．設且，已知數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】因為是遞增數(shù)列，所以解得，故答案為:.角度2：數(shù)列的最值例題1．已知等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且前三項和為，前三項積為，數(shù)列的前項和為且，則（

）A．當時，的值最小 B．當時，的值最大C．當時，的值最小 D．無最值【答案】C【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得，或，即或，又數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，所以，所以數(shù)列在和時分別單調(diào)遞減，所以，當時，，當時，，且，所以當時，得值最大為，故B，D選項錯誤；當時，得值最小，A選項錯誤，C選項正確；故選：C.例題2．已知數(shù)列滿足，則的最小值為______.【答案】6【詳解】由數(shù)列滿足，可得，則，因為函數(shù)，當且僅當時等號成立，故當時，取最小值為6.故答案為：6.練透核心考點三1．若數(shù)列滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以.又因為，所以，所以是周期為4的數(shù)列，故.故選：B2．已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為，則取最小值時n的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】解可得，或，即或.所以，當時，.又，所以，當時，取最小值.故選：C.3．數(shù)列的通項公式為，且都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【詳解】，即，化簡得，對任意正整數(shù)成立，故，，故4．數(shù)列的通項公式為若是中的最大項，則a的取值范圍是______．【答案】【詳解】當時，單調(diào)遞增，因此時，取得最大值為，當時，，因為是中的最大項，所以解得，故答案為:.數(shù)學文化題1．古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為.記第n個k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：，可以推測的表達式，由此計算（

）A．4020 B．4010 C．4210 D．4120【答案】B【詳解】由題意可得：，，，.由此可歸納，所以，故選：B.2．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù)，則三角形數(shù)、正方形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項分別為（）A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25【答案】B【詳解】三角形數(shù)：第一個數(shù)1，第二個數(shù)1+2=3，第三個數(shù)1+2+3=6，第四個數(shù)1+2+3+4=10，第五個數(shù)1+2+3+4+5=15．正方形數(shù)：第一個數(shù)，第二個數(shù)，第三個數(shù)，第四個數(shù)，第五個數(shù)．故選:B．3．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（

）A．289 B．1024 C．1225 D．1378【答案】C【詳解】觀察三角形數(shù)：1，3，6，10，…，記該數(shù)列為，則，，，，，把這些式子的兩邊分別相加，得，又也滿足，所以，觀察正方形數(shù)：1，4，9，16，…，記該數(shù)列為，則，對于選項A，由，此時方程沒有正整數(shù)解，可排除；對于選項B，由，此時方程沒有正整數(shù)解，可排除；對于選項C，由，得，即，且，符合題意；對于選項D，不是一個完全平方數(shù)，可排除.故選:C．4．古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形1，3，6，10，…，第個三角形數(shù)為，記第個邊形為，以下列出了部分邊形數(shù)中第個數(shù)的表達式：三角形數(shù)；正方形；五邊形數(shù)；六邊形數(shù).可以推測的表達式，由此計算__________.【答案】【詳解】原已知式子可化為：；；；；可推測.故.故答案為：5．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家常用小石子來研究數(shù)．他們根據(jù)小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖（1）可得到三角形數(shù)1，3，6，10，…，圖（2）可得到四邊形數(shù)1，4，9，16，…，圖（3）可得到五邊形數(shù)1，5，12，22，…，圖（4）可得到六邊形數(shù)1，6，15，28，…．進一步可得，六邊形數(shù)的通項公式______，前n項和______．（參考公式：）【答案】；．【詳解】由題設易知是首項為5，公差為4的等差數(shù)列，設，則是首項為5，公差為4的等差數(shù)列，所以，所以因為，，...，所以，即，所以，當時，符合該式，所以，由，所以，即，因為，，所以．故答案為：；.第01講數(shù)列的概念與簡單表示法1．已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【詳解】由題意，，，兩式相減，得，．，．當時，，，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．．故選：B2．已知數(shù)列的通項公式為，，則該數(shù)列的前4項依次為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】把，2，3，4依次代入通項公式，得，，，.故選：A3．已知數(shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前10項和（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，，，∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴．∴，∴數(shù)列的前10項和為．故選：C．4．已知數(shù)列{an}的前n項和為，，，則（

）A．64 B．62 C．32 D．30【答案】B【詳解】，，則，，，.故.故選：B5．已知數(shù)列的前n項和為，則使得最小時的n是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】當時，數(shù)列恒為負，當時，數(shù)列恒為正，所以當時最小.故選:B.6．九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需要移動的最少次數(shù)，數(shù)列滿足，且，則（

）A．287 B．272 C．158 D．143【答案】D【詳解】因為數(shù)列滿足，且，所以，,所以.故選：D.7．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【詳解】，兩邊同除得：，所以，即，化簡得，∵，∴．故答案為：.8．若數(shù)列滿足，若，則的值為___________.【答案】【詳解】由已知可得，，，，，，所以，是一個周期數(shù)列，周期為3