此卷只裝訂不密封班級姓名準考此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號數(shù)學（一）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．2．設(shè)復數(shù)，則（）A． B． C． D．3．將甲、乙、丙、丁四位老師分配到三個班級，每個班級至少一位老師，則共有分配方案（）A．種 B．種 C．種 D．種4．一支田徑隊有男運動員人，女運動員人，用分層抽樣的方法從中抽出一個容量為的樣本，那么應抽出男運動員的人數(shù)為（）A． B． C． D．5．阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主、英國著名數(shù)學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學界的震動．在年，德國數(shù)學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名數(shù)學家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論．若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為（）（素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù)）A． B． C． D．6．將正方形沿對角線折起，并使得平面垂直于平面，直線與所成的角為（）A． B． C． D．7．已知單位向量，分別與平面直角坐標系，軸的正方向同向，且向量，，則平面四邊形的面積為（）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．已知直線的方程為，直線的方程為，若，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A． B．C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)11．已知，且，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，，下列說法中不正確的是（）A．，在點處有相同的切線 B．對于任意，恒成立C．，的圖象有且只有一個交點 D．，的圖象有且只有兩個交點第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．橢圓的兩個焦點分別為，，過的直線交于，兩點，若，則的值為．14．已知等比數(shù)列的首項為，且，則．15．已知二項式的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)之比是，則，的系數(shù)為．16．如圖，在棱長為的正方體中，、分別為棱、的中點，是線段上的點，且，若、分別為線段、上的動點，則的最小值為__________．四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在三角形中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若的面積為，且，求三角形的周長．18．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，，公比為的等比數(shù)列中，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式，；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．19．（12分）為了增強學生體質(zhì)，提高體育成績，讓學生每天進行一個小時的陽光體育活動．隨著鍛煉時間的增長，學生身體素質(zhì)越來越好，體育成績分以上的學生也越來越多．用表示月后體育成績分以上的學生的百分比，得到了如下數(shù)據(jù)．（1）求出關(guān)于的回歸直線方程；（2）試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預測個月后，體育成績分以上的學生的百分比是多少?參考公式：由最小二乘法所得回歸直線的方程是其中，，．20．（12分）在三棱錐中，平面，，，，、分別為、的中點．（1）求證：平面平面；（2）假設(shè)在線段上存在一點，使，求的值；（3）在（2）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若任意的，恒成立，請求出的取值范圍．22．（12分）如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為，．（1）求直線與軸的交點坐標；（2）若為拋物線弧上的動點，拋物線在點處的切線與三角形的邊，分別交于點，，記，問是否為定值？若是求出該定值，若不是請說明理由．（新高考）2021屆高三開學考試卷數(shù)學（一）答案注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】D【解析】，，∴．2．【答案】C【解析】，．3．【答案】D【解析】第一步，將名老師分成三組，其中一組人，其他兩組每組人，不同的分法種數(shù)是種，第二步，分到三個班的不同分法有種，故不同的分配方案為種．4．【答案】D【解析】設(shè)抽取的男運動員的人數(shù)為，則抽取的女運動員的人數(shù)為，∴，解得．5．【答案】B【解析】由題可知小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為，則以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為．6．【答案】B【解析】如圖，取，，的中點，分別為，，，連結(jié)，，，則，，所以或其補角即為所求的角．因為平面平面，，所以平面，所以，設(shè)正方形邊長為，，所以，則，所以，所以是等邊三角形，．所以直線與所成的角為．7．【答案】C【解析】，∴，又，，∴平面四邊形的面積．8．【答案】D【解析】由已知，即，∴關(guān)于中心對稱，又當時，，作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知的解集為．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．【答案】AC【解析】因為，故，整理得到，解得或．10．【答案】ABD【解析】由圖可得，所以A、B正確；，故C錯；為偶函數(shù)，所以D正確．11．【答案】AC【解析】∵函數(shù)為增函數(shù)，∴，即，可得，∴A、C正確．12．【答案】ABC【解析】因為，，，，所以，在點處的切線不同，選項A不正確；，，因為，；，；，，所以時，有最小值，所以當時，不恒成立，選項B不正確；由上可知，函數(shù)在上有且只有兩個零點，所以，的圖象有且只有兩個交點．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】【解析】由題意可得，解得，故答案為．14．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，．15．【答案】，【解析】二項展開式的第項的通項公式為，由展開式中第項與第項的二項式系數(shù)之比是，可得，解得，所以，令，解得，所以的系數(shù)為．16．【答案】【解析】首先的最小值就是到的距離．連接交于，連接，則平面，故，從而的最小值，可知為的中點，為的四分之一．其次，連接，在線段上取點，使，連接，則，從而，最后，連接交于，則當為時，取得最小值，所求最小值為，∵正方體的棱長為，∴．四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴，∴在中，．（2）∵的面積為，即，∴，又∵，由正弦定理得，∴，，則，∴，∴的周長為．18．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由題意可得：等差數(shù)列，，；因為等比數(shù)列中，，，，，所以，，，∴．（2），∴．19．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由表格數(shù)據(jù)可得，，，，故關(guān)于的回歸直線方程為．（2）由（1）知，令，解得．20．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）因為平面，平面，所以，又，，所以平面，則，又，為等腰直角三角形，為的中點，所以，又，所以平面，因平面，則有平面平面．（2）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，那么，，，，因此，，設(shè)，那么，由，得，解得，因此，因此．（3）由（2）知，設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，得，，因此，設(shè)直線與平面所成角為，那么．21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為，所以，，，所以切線方程為．（2）不等式，對任意的恒成立，即對任意的恒成立．令，則，令，則，易知