專題12有理數(shù)的除法1.會把有理數(shù)的除法運算改為乘法運算；2.熟練掌握有理數(shù)混合運算順序及法則；3.能利用有理數(shù)的除法解決實際問題。【思考1】江蘇南京2023年春節(jié)一周的最低氣溫的平均值是多少？【思考2】能否根據(jù)除法的乘法逆運算，以及小學學習過的除法運算的經(jīng)驗，計算江蘇南京2023年春節(jié)一周的最低氣溫的平均值嗎？1.有理數(shù)的除法1）有理數(shù)除法法則：除以一個不等于的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．，()法則的另一說法：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．除以任何一個不等于的數(shù)，都得．2）有理數(shù)除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果．有理數(shù)的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果．注意：乘除混合運算要“從左到右”運算．分數(shù)可以理解為分子除以分母．考點1、有理數(shù)的除法運算【解題技巧】有理數(shù)除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果．例1．（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．例2．（2022·海南?？凇て吣昙壭？计谥校____變式1．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）計算的結果是（

）A． B．2 C． D．變式2．（2022秋·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．考點2、有理數(shù)除法法則的辨析與符號【解題技巧】有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分數(shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．例1．（2022·浙江寧波·七年級期末）下列說法正確的是（

）A．非零兩數(shù)的和一定大于任何一個加數(shù) B．非零兩數(shù)的差一定小于被減數(shù)C．大于1的兩數(shù)之積一定大于任何一個因數(shù) D．小于1的兩數(shù)之商一定小于被除數(shù)例2．（2023·山西呂梁·模擬預測）若，且，異號，則的符號為（）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于變式1．（2022秋·江蘇徐州·七年級校考階段練習）兩個數(shù)的商為正數(shù)，那么這兩個數(shù)是（

）A．都是正數(shù) B．都是負數(shù) C．同號 D．至少有一個為正數(shù)變式2．（2023秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如果，則的值與0的大小關系是（）A． B． C． D．不能確定變式3．（2022·廣西·桂林市七年級階段練習）已知a，b為有理數(shù)，則下列說法正確的個數(shù)為（

）①若，，則，．②若，，則，且．③若，，則，．④若，，則，且．A．1 B．2 C．3 D．4考點3、有理數(shù)除法的運算步驟問題【解題技巧】有理數(shù)除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果．例1．（2022秋·吉林松原·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面解題過程并解答問題：計算：解：原式（第一步）

（第二步）

（第三步）(1)上面解題過程有兩處錯誤：第一處是第步，錯誤原因是；第二處是第步，錯誤原因是；(2)請寫出正確的結果．例2．（2022·吉林·七年級階段練習）閱讀后回答問題：計算．解：原式=

①

②

③（1）從第（填序號）步開始出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的解答過程．變式1．（2023秋·河北廊坊·七年級統(tǒng)考期末）老師設計了計算接力游戲，規(guī)則是每名同學只能利用前面一個同學的式子進一步計算，將計算的結果傳給下一個同學，最后解決問題．過程如下，自己負責的那一步錯誤的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁變式2．（2022秋·廣西南寧·七年級統(tǒng)考階段練習）閱讀下列解題過程：計算解：原式

第①步

第②步

第③步(1)上面的解題過程在第___________步出現(xiàn)錯誤；錯誤原因是___________．(2)請寫出正確的解題過程．考點4、有理數(shù)乘除法的混合運算【解題技巧】有理數(shù)的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果．注意：乘除混合運算要“從左到右”運算．分數(shù)可以理解為分子除以分母．例1．（2022秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）計算的結果是_____________．例2．（2023秋·吉林延邊·七年級統(tǒng)考期末）計算：；例3．（2022秋·全國·七年級專題練習）計算：(1)÷（）÷（）；(2)（）÷（）÷（）；(3)（）×（）÷；(4)（）÷（）×（）．變式1．（2022秋·云南楚雄·七年級校考階段練習）計算：_____________．變式2．（2023秋·貴州銅仁·七年級期末）計算的結果是______________．變式3．（2022秋·浙江·七年級專題練習）計算：(1)；(2)；(3)．考點5、有理數(shù)的除法簡算【解題技巧】同有理數(shù)的乘法運算技巧類似。例1．（2022·成都市七年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．例2．（2022·遼寧大連·七年級?？茧A段練習）閱讀下列材料：計算：解：原式的倒數(shù)為故原式請仿照上述方法計算：變式1．（2022秋·江蘇南通·七年級?？茧A段練習）計算（能用簡便方法的要用簡便方法）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．變式2．（2022秋·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考階段練習）計算(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；（用簡便方法計算）(6)；考點6、有理數(shù)除法的應用【解題技巧】有理數(shù)運算相關的實際應用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發(fā)生改變。能夠熟練的分析應用題的數(shù)量關系，找準解題的方法和技巧。例1．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）小明、小紅在微信里互相給對方發(fā)紅包．小明先給小紅發(fā)1元，小紅給小明發(fā)回2元，小明再給小紅發(fā)3元，小紅又給小明發(fā)回4元……按照這個規(guī)律，兩人一直互相發(fā)紅包，直到小明給小紅發(fā)了199元后，小紅突然不發(fā)回了．若在整個過程中，兩人都及時領取了對方的紅包，則最終小紅的收支情況是（

）A．賺了99元 B．賺了100元 C．虧了99元 D．虧了100元例2．（2022秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）為了提高中心城區(qū)路內停車泊位周轉率，對車長不超過6米的小型、微型汽車的進入停車泊位實行階梯式收費，具體方案如下：方案計費時段—，停車30分鐘內不收費，停車超過30分鐘后，不足30分鐘按30分鐘收費，收費時段外停車免費階梯梯次第一階梯第二階梯第三階梯單次最高限價停車時長1小時內1—3小時3小時以上計費標準1（元/30分鐘）3（元/30分鐘）5（元/30分鐘）44元(1)A汽車在停車泊位的進場時間是分，離場時間是分，請問A汽車是否需要交費？若要收費，應交停車費多少元？(2)B汽車進入停車泊位時間是晚上時，離場時間是第二天早上時，請求出B汽車應交停車費多少元？(3)C汽車早上時進入停車泊位，離開時收費24元，請求出C汽車離開泊位的時間范圍？變式1．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）網(wǎng)上一些推廣“成功學”的主播，常引用下面這個被稱為竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能長，而且這還是深埋于土下．到了第五年，竹子終于能破土而出，會以每天的速度瘋狂生長．此后，僅需要6周的時間，就能長到15米，驚艷所有人！”．這段話的確很勵志，須不知，要符合算理的話，需將上文“6周”中的整數(shù)“6”改為整數(shù)（）A．5 B．7 C．8 D．9變式2．（2023春·山西大同·九年級?？茧A段練習）春節(jié)期間，小明幫父母打理小區(qū)內自己家開的生活便民超市，小明的媽媽告訴小明各種商品的利潤率，并要求在利潤率不低于的情況下可以銷售．小區(qū)大媽要買標價為60元/壺的油，大媽要求小明優(yōu)惠賣給她，小明知道糧油的利潤率是，則該壺油的售價至少是（

）A．51元 B．元 C．55元 D．59元變式3．（2023秋·山西·七年級校聯(lián)考期末）2022年12月4日，神舟十四號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，神舟十四號載人飛行任務取得圓滿成功，“神十四”紀念品也受到了人們的喜愛，某店以元的相同價格售出兩件不同的紀念品，其中一件盈利，另一件虧損，則該商店售出這兩件紀念品總的盈虧情況為（

）A．虧損20元 B．盈利20元 C．虧損18元 D．不盈不虧考點7、有理數(shù)除法的新定義問題【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經(jīng)驗來解決問題.例1．（2022秋·四川遂寧·七年級校考期中）若“!”是一種數(shù)學運算符號，并且：，，，，…，則_________例2．（2022秋·北京朝陽·七年級校考階段練習）對于任意的非零有理數(shù)a，b，定義：，解決以下問題：(1)計算；(2)計算；(3)請你舉例驗證一下交換律即在這一運算中是否成立．（舉一個例子即可）．變式1．（2022秋·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”．如：3的“哈利數(shù)”是＝﹣2，﹣2的“哈利數(shù)”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利數(shù)”，a3是a2的“哈利數(shù)”，a4是a3的“哈利數(shù)”，…，依此類推，則a2019＝（

）A．3 B．﹣2 C． D．變式2.（2022·河南·鶴壁七年級期中）已知是有理數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，，等，那么（

）A．－6 B．－5 C． D．A級（基礎過關）1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）計算下列各式，值最大的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·四川南充·七年級統(tǒng)考期末）若使的計算結果為正數(shù)，則“”代表的運算不可以是（

）A．加法 B．減法 C．乘法 D．除法3．（2023秋·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）計算的結果是（

）A． B． C． D．14．（2023秋·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）在算式□的“□”中填上運算符號“＋”“－”“×”或“÷”，要使運算的結果最小，則添加的運算符號是（

）A．＋ B．－ C．× D．÷5．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）下列與相乘等于1的是（

）A． B． C． D．6．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）要使代數(shù)式“______”的運算結果最大，則“______”中應填入的運算符號是______“＋、－、×、÷”中選擇一個運算符號填如）．7．（2023秋·浙江金華·七年級浙江省蘭溪市第二中學?？茧A段練習）某種藥品的說明書上貼有如圖的標簽，則一次服用這種藥品的劑量范圍是____mg到___mg．8．（2022秋·浙江溫州·七年級?？茧A段練習）若規(guī)定，則______．9．（2022秋·海南省直轄縣級單位·七年級校考期中）計算：__________10．（2022秋·安徽亳州·七年級?？茧A段練習）計算：的結果是___________11．（2022秋·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期中）商店運進一種商品共400件，并確定了售價．如果按照售價的九折銷售，全部賣出后，能得到6000元的利潤．如果按照售價的八五折銷售，全部賣出后，能得到2400元的利潤．求這件商品的售價是多少元？12．（2022秋·吉林長春·七年級?？茧A段練習）計算.(1)；(2).13．（2022秋·貴州銅仁·七年級?？茧A段練習）乘除計算：(1)(2)(3)；(4)14．（2022秋·全國·七年級專題練習）居民生活中使用天然氣實行階梯式計價，用戶每月用氣量在20立方米及以內的為第一級基數(shù)，按一級用氣價格收?。怀^20立方米且不超過30立方米的部分為第二級氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.5倍收?。撼^30立方米的部分為第三級氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.8倍收?。疄楣?jié)約用氣量，小明記錄了1－7月份他家每月1號的氣表讀數(shù)．1月2月3月4月5月6月7月氣表讀數(shù)（立方米）433450468485500514535（1）直接寫出小明家1月份的用氣量____________立方米及1－6月平均每月用氣量為_______立方米．（2）已知小明家2月份的氣費為36元，試求他家6月份需交氣費多少元？（3）7月份放暑假后，小明的爺爺、奶奶及表哥來到家里和小明一起生活，并多次請客，用氣量明顯增加，比6月份多用氣12立方米，試求小明家7月份需交納氣費多少元？B級（能力提升）1．（2022秋·山東·七年級?？茧A段練習）與運算結果相同的是（）A． B． C． D．2．（2022秋·貴州遵義·七年級?？茧A段練習）如果兩個數(shù)的和是正數(shù)，商是負數(shù)，那么這兩個數(shù)的積是（

）A．正數(shù) B．負數(shù) C．零 D．以上三種結論都有可能3．（2022秋·浙江溫州·七年級?？计谥校┤魞蓚€數(shù)的商是正數(shù)，則下列選項中一定成立的是（

）A．這兩數(shù)的和為正數(shù) B．這兩數(shù)的差為正數(shù)C．這兩數(shù)的積為正數(shù) D．這兩數(shù)的和、差、積的正負都不能確定4．（2022秋·北京東城·七年級東直門中學?？计谀┰谌鐖D所示的星形圖案中，十個“圓圈”中的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每條“直線”上的四個數(shù)字之和都相等．則圖中a、b、c、d對應的數(shù)字依次為______．5．（2023秋·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）某超市在元旦期間推出如下優(yōu)惠方案：（1）一次性購物不超過100元不享受優(yōu)惠；（2）一次性購物超過100元但不超過300元打九折；（3）一次性購物超過300元一律打八五折．元旦這天，小明和媽媽在該超市購物后分別自行付款70元和243元．如果小明和媽媽合作一次性付款，則應付款______元．6．（2022·成都市七年級校聯(lián)考課時練習）計算：_______．7．（2023春·重慶沙坪壩·九年級聯(lián)考階段練習）40名學生參加義務植樹活動，任務是：挖樹坑，運樹苗．這40名學生可分為甲、乙、丙三類，其中甲類學生15人，乙類15人，丙類10人，每類學生的勞動效率為甲類學生可以挖樹坑2個或者運樹苗20棵，乙類學生可以挖樹坑1.2個或者運樹苗10棵，丙類學生可以挖樹坑0.8個或者運樹苗7棵．如果他們的任務是：挖樹坑30個，運樹苗不限，那么在完成挖坑任務的同時樹苗運得最多為_____棵．8．（2022秋·浙江溫州·七年級?？茧A段練習）有一個水庫某天的水位為米（以警戒線為基準，記高于警戒線的水位為正），在以后的6個時刻測得的水位升降情況如下（記上升為正，單位：米）：，，0，，，．(1)經(jīng)這6次水位升降后，水庫的水位超過警戒線了嗎？(2)現(xiàn)在由于下暴雨，水庫水位以米/小時速度上升，指揮部要求水位降至警戒線1米以下（含1米），現(xiàn)在水庫勻速泄水，可使靜態(tài)水位按米/小時速度下降，為達到指揮部最低要求，求水庫需放水的時間．9．（2022·北京海淀區(qū)·七年級期中）我們知道，正整數(shù)按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數(shù)和正偶數(shù)，小浩受此啟發(fā)，按照一個正整數(shù)被3除的余數(shù)把正整數(shù)分成了三類：如果一個正整數(shù)被3除余數(shù)為1，則這個正整數(shù)屬于A類，例如1，4，7等；如果一個正整數(shù)被3除余數(shù)為2，則這個正整數(shù)屬于B類，例如2，5，8等；如果一個正整數(shù)被3整除，則這個正整數(shù)屬于C類，例如3，6，9等．（1）2020屬于類（填A，B或C）；（2）①從A類數(shù)中任取兩個數(shù)，則它們的和屬于類（填A，B或C）；②從A類數(shù)中任意取出15個數(shù)，從B類數(shù)中任意取出16個數(shù)，從C類數(shù)中任意取出17個數(shù)，把它們都加起來，則最后的結果屬于類（填A，B或C）；（3）從A類數(shù)中任意取出m個數(shù)，從B類數(shù)中任意取出n個數(shù)，把它們都加起來，若最后的結果屬于C類，則下列關于m，n的敘述中正確的是（填序號）．①m+2n屬于C類；②|m﹣n|屬于B類；③m屬于A類，n屬于C類；④m，n屬于同一類．10．（2022秋·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考期中）下面是亮亮同學計算一道題的過程：②③(1)亮亮計算過程從第步出現(xiàn)錯誤的；（填序號）(2)請你寫出正確的計算過程．11．（2021·浙江臺州市·中考真題）小華輸液前發(fā)現(xiàn)瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋上標有“15滴/毫升”．輸液開始時，藥液流速為75滴/分鐘．小華感覺身體不適，輸液10分鐘時調整了藥液流速，輸液20分鐘時，瓶中的藥液余量為160毫升．（1）求輸液10分鐘時瓶中的藥液余量；（2）求小華從輸液開始到結束所需的時間．12．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）點游戲是一種撲克牌類的益智類游戲，游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉大小王）中任意抽取張牌，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算（每張牌必須用且只能用一次，可以加括號），使得運算結果為或．例如：抽到的數(shù)字為“，，，”，則可列式并計算為：．如果?、◆表示正，?、?表示負（如“◆”為“”，“?”為“”），請對下面兩組撲克牌按要求進行記數(shù)，并按“點”游戲規(guī)則對兩組數(shù)分別進行列式計算，使其運算結果均為或．①依次記為：_________________

列式計算：__________________．②依次記為：_________________

列式計算：_______．C級（培優(yōu)拓展）1．（2023·四川資陽·統(tǒng)考二模）天干地支紀年法源于中國，是上古文明的產(chǎn)物，又稱節(jié)氣歷或中國陽歷，有十天干與十二地支，如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰已午未申酉戌亥456789101112123算法如下：先用年份的尾數(shù)查出天干，再用年份除以12的余數(shù)查出地支．如2014年，尾數(shù)4為甲，2014除以12余數(shù)為10，10為午，那么2014年就是甲午年．則2023年是(

)A．甲卯年 B．甲寅年 C．癸卯年 D．癸寅年2．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）有兩個正數(shù)a和b，滿足a＜b，規(guī)定把大于等于a且小于等于b的所有數(shù)記作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有數(shù)記作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，則的一切值所在的范圍是（）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·七年級）已知“！”是一種數(shù)學運算符號，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式Cnm=（n＞m），則C125=（

）A．60 B．792 C．812 D．50404．（2022秋·浙江溫州·七年級?？茧A段練習）若計算式子的結果為最大，則應分別在，△中填入下列選項中的（

）A．， B．， C．， D．，5．（2022·湖北武漢·七年級期中）下列說法：①若a，b互為相反數(shù)，則＝﹣1；②如果|a+b|＝|a|+|b|，則ab≥0；③若x表示一個有理數(shù)，則|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值為7；④若abc＜0，a+b+c＞0，則的值為﹣2．其中一定正確的結論是____（只填序號）．6．（2023秋·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）因疫情防控需要，一輛貨