NT20名校聯(lián)合體高三年級(jí)1月質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)（一）考試說(shuō)明：1．本試卷共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題答案填在答題卡上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．2．樣本數(shù)據(jù)3，8，4，6，27，9，1，5的第75百分位數(shù)為（）A.7.5 B.8 C.8.5 D.93．已知向量與，若，則（）A.4 B．-4 C.1 D．-14．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A． B．-1 C． D.25．若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（）A． B． C． D．6．已知直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為為奇函數(shù)，，若方程在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則（）A.2 B.4 C.8 D.68．如圖，幾何體中，是正三角形，，平面分別為的中點(diǎn)，直線與平面相交于點(diǎn)．則的值為（）A.2 B.3 C． D.4二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題不正確的有（）A．斜二測(cè)畫(huà)法不會(huì)改變邊長(zhǎng)比例B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．過(guò)圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，軸截面的面積最大D．用任意一個(gè)平面截球所得截面一定是一個(gè)圓面10．已知函數(shù)，則（）A．在上單調(diào)遞增B．的極大值為0C．有三個(gè)零點(diǎn)D．曲線在處的切線方程為11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的右支上，的內(nèi)切圓圓心為，過(guò)作，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．雙曲線的離心率為 B．C．圓心的橫坐標(biāo)為1 D．為雙曲線的切線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知直線的傾斜角為，則___________．13．已知點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓．上的一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________．14．在Rt中，為空間中的一個(gè)點(diǎn)，，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求．16．（本小題滿分15分）已知，兩點(diǎn)．（1）求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)滿足為的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.17．（本小題滿分15分）已知橢圓的上焦點(diǎn)為，焦距為2，橢圓的上頂點(diǎn)到的距離與它到直線的距離之比為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)（0，4）且斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的值．18．（本小題滿分17分）如圖，斜三棱柱的體積為為上一點(diǎn)，平面為銳角．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．19．（本小題滿分17分）將平面內(nèi)任意向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，得到向量．已知雙曲線，將雙曲線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到曲線．（1）求的方程；（2）點(diǎn)在曲線上，曲線在點(diǎn)處的切線為直線．（i）若與兩坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，求的面積；（ii）若兩點(diǎn)都在曲線上（異于點(diǎn)），且滿足，求證：．NT20名校聯(lián)合體高三年級(jí)1月質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)（一）參考答案1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】ABC10．【答案】AB11．【答案】ABD12．【答案】13．【答案】614．【答案】15．（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，，?）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋约?，解?16．（1）因?yàn)闉橹睆?，則的中點(diǎn)為，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，（1）知，點(diǎn)的軌跡方程為，將代入得，即.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．（除兩點(diǎn)）.17．（1）因?yàn)榻咕酁?，所以，即，又橢圓上頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，上頂點(diǎn)，則，解得，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題知，設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，解得或，由韋達(dá)定理可得，所以所以為定值0．18．（1）證明：連接交于點(diǎn)，在斜三棱柱中，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，，又在中，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，又，，又，且平面，平面.（2），所以斜三棱柱的高為1．又平面平面平面平面.過(guò)作于，則平面，即為斜三棱柱的高，，.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，在平面內(nèi)過(guò)作垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，設(shè)平面的法向量為，則所以，取平面的一個(gè)法向量為，所以，所以二面角的正弦值為.19．（1）取曲