《萬(wàn)有引力與宇宙航行習(xí)題課（二）》高中物理一、天體問(wèn)題兩個(gè)模型——“天上”與“地上”模型一“天上”：環(huán)繞運(yùn)動(dòng)例如：衛(wèi)星繞著地球轉(zhuǎn)，行星繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)……nrMmGr=ma

）T

2=m

（=mω2r=

mv2r24π2r

2GMr

3r

3GMGMrGMan

=T=

2πω

=v

=萬(wàn)有引力提供向心力高中物理思考：對(duì)于繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星：（1）離地面越高，向心力越離地面越高，線速度越離地面越高，角速度越離地面越高，周期越小小小大（2）離地面越高，向心加速度越

小 高中物理5三種最常見(jiàn)的衛(wèi)星：近地衛(wèi)星：

軌道半徑近似等于地球半徑，速率v=7.9km/s，周期T=85min。在所有繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星中是線速度最大，周期最短。周同步衛(wèi)星： 相對(duì)地球靜止。在地球赤道上方，周期與地球自轉(zhuǎn)期相同均為24小時(shí)。月球

：

周期T

=

1個(gè)月(準(zhǔn)確27.3天）月球高中物理2R

2G=

m

′g 則

GM=gRM

m

′R

2N赤道： GMm′

-

F =m′ω

2RFN=

m′gGR

2-m′g=m′ω

2RMm

′如果不考慮地球自轉(zhuǎn)ω=0則GM= g

′(

R

+

h

)

2模型二:“地上”

物體隨地球自轉(zhuǎn)取靜止在地球表面的物體

m′——萬(wàn)有引力與支持力的合力提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力FNF萬(wàn)m′一、天體問(wèn)題兩個(gè)模型——“天上”與“地上”高中物理A.衛(wèi)星速度為2R0g2B.衛(wèi)星的角速度為

g8R0C.衛(wèi)星的加速度為g2D.衛(wèi)星周期為

2π2R0g例1 地球半徑為R0，地面重力加速度為g，若衛(wèi)星在距地面R0處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則(

AB

)20330000020GM

0 GMGMT

24π

2v

2Mm模型一：

Gnn（2R

）a =GM （2R

）T=

2π（2R

）ω

=2Rv

=2R =ma

）2R=

m

（

=

mω2

2R =

m（2R

）2200RM

m

′G=

m

′g則

GM=gR模型二：忽略地球自轉(zhuǎn)高中物理A.v1＞v2＞v3C.a1＞a2＞a3B.v1＜v2＜v3

D.a1＜a3＜a2例2

如圖所示，地球赤道上的物體e、近地衛(wèi)星p和同步衛(wèi)星q均在赤道平面上繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)e、p、q的圓周運(yùn)動(dòng)速率分別為v1、v2、v3，向心加速度分別為a1、a2、a3，則(

D

)epqv3<v2v3＝ωr3＞v1＝ωr1v1<

v3<v23 2r

2衛(wèi)星：a

=

GM

則a

<aa1=ω2r1＜a3=ω2r32a1<

a3<a高中物理二、雙星系統(tǒng)問(wèn)題雙星系統(tǒng)：兩顆靠得很近的天體繞其連線上的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。特點(diǎn)：1.兩天體之間的萬(wàn)有引力提供向心力2.兩天體周期和角速度相等L2Gm1m2=m

ω2r1 12 21 2=m

ω rL2Gm

m2m

2 r1m1=

r2當(dāng)m1遠(yuǎn)大于m2

雙星系統(tǒng)就變成了環(huán)繞模型r1＋r2＝L高中物理A.m1、m2做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比為3∶2B.m1、m2做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為3∶21C.m

做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為25L2D.m

做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為25Lm1=

r2m

2 r1r1＋r2＝L可解得

r

＝2

，r

＝31 5L 2 5Lm1、m2運(yùn)動(dòng)的線速度分別為v1＝r1ω，v2＝r2ω，故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.例3

如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)測(cè)得兩顆星之間的距離為L(zhǎng)，質(zhì)量之比為m1∶m2＝3∶2，下列說(shuō)法中正確的是(

C

)高中物理三、發(fā)射與變軌問(wèn)題某次發(fā)射一顆同步衛(wèi)星的發(fā)射過(guò)程示意圖如圖所示，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再一次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。為什么要經(jīng)過(guò)兩次點(diǎn)火？高中物理例4

2013年5月2日凌晨0時(shí)06分，我國(guó)“中星11號(hào)”通信衛(wèi)星發(fā)射成功?！爸行?1號(hào)”是一顆地球同步衛(wèi)星，它主要用于為亞太地區(qū)等區(qū)域用戶提供商業(yè)通信服務(wù)。如圖為發(fā)射過(guò)程的示意圖，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再一次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說(shuō)法正確的是(

D

)衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率衛(wèi)星在軌道3上的角速度大于在軌道1上的角速度衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度大于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度D.衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度小于它在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度v1Q

v2Q

v2P v3P速率從大到小排列為：v2Q＞v1Q＞v3P＞v2P

大小關(guān)系？探究一衛(wèi)星變軌問(wèn)題情境導(dǎo)引右圖是嫦娥五號(hào)從地球上發(fā)射到繞月球運(yùn)動(dòng)的飛行示意圖,請(qǐng)思考:從繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道上進(jìn)入奔月軌道,飛船應(yīng)采取什么措施?從奔月軌道進(jìn)入月球軌道,又采取什么措施呢?要點(diǎn)提示

從繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道上加速,使飛船做離心運(yùn)動(dòng),飛船轉(zhuǎn)移到奔月軌道;要進(jìn)入月球軌道,飛船應(yīng)減速。知識(shí)歸納1.變軌問(wèn)題概述

(1)穩(wěn)定運(yùn)行衛(wèi)星繞天體穩(wěn)定運(yùn)行時(shí),萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,即2.變軌問(wèn)題的兩種常見(jiàn)形式(1)漸變由于某個(gè)因素的影響使衛(wèi)星的軌道半徑發(fā)生緩慢的變化,由于半徑變化緩慢,衛(wèi)星每一周的運(yùn)動(dòng)仍可以看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。①關(guān)鍵要點(diǎn):軌道半徑r減小(近心運(yùn)動(dòng))。這種變軌運(yùn)動(dòng)的起因是阻力使衛(wèi)星速度減小,所需要的向心力減小了,而萬(wàn)有引力大小沒(méi)有變,因此衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng),即軌道半徑r將減小。②各個(gè)物理參量的變化:當(dāng)軌道半徑r減小時(shí),衛(wèi)星線速度v、角速度ω、向心加速度a增大,周期T減小。(2)突變由于技術(shù)上的需要,有時(shí)要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r(shí)間啟動(dòng)飛行器上的發(fā)動(dòng)機(jī),使飛行器軌道發(fā)生突變,使其到達(dá)預(yù)定的軌道。發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí),通常先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ,使其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),速率為v1,在P點(diǎn)第一次點(diǎn)火加速,在短時(shí)間內(nèi)將速率由v1增加到v2,使衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ;衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為v3,此時(shí)進(jìn)行第二次點(diǎn)火加速,在短時(shí)間內(nèi)將速率由v3增加到v4,使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道Ⅲ,繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。遷移應(yīng)用例1(多選)嫦娥一號(hào)衛(wèi)星從地球發(fā)射到月球過(guò)程的路線示意圖如圖所示。關(guān)于嫦娥一號(hào)的說(shuō)法正確的是(

)A.在P點(diǎn)由a軌道轉(zhuǎn)變到b軌道時(shí),速度必須變小B.在Q點(diǎn)由d軌道轉(zhuǎn)變到c軌道時(shí),要加速才能實(shí)現(xiàn)(不計(jì)嫦娥一號(hào)的質(zhì)量變化)C.在b軌道上,P點(diǎn)速度比R點(diǎn)速度大D.嫦娥一號(hào)在a、b軌道上正常運(yùn)行時(shí),通過(guò)同一點(diǎn)P時(shí),加速度相等答案

CD解析

衛(wèi)星在軌道a上的P點(diǎn)進(jìn)入軌道b,需加速,使萬(wàn)有引力小于需要的向心力而做離心運(yùn)動(dòng),選項(xiàng)A錯(cuò)誤;在Q點(diǎn)由d軌道轉(zhuǎn)移到c軌道時(shí),必須減速,使萬(wàn)有引力大于需要的向心力而做近心運(yùn)動(dòng),選項(xiàng)B錯(cuò)誤;根據(jù)開(kāi)普勒第二定律知在b軌道上,P點(diǎn)速度比R點(diǎn)速度大,選項(xiàng)C正確;根據(jù)牛頓第二定律得

=ma,衛(wèi)星在a、b軌道上正常運(yùn)行時(shí),通過(guò)同一點(diǎn)P時(shí)加速度相等,選項(xiàng)D正確。規(guī)律方法

判斷衛(wèi)星變軌時(shí)速度、加速度變化情況的思路(1)判斷衛(wèi)星在不同圓軌道的運(yùn)行速度大小時(shí),可根據(jù)“越遠(yuǎn)越慢”的規(guī)律判斷。(2)判斷衛(wèi)星在同一橢圓軌道上不同點(diǎn)的速度大小時(shí),可根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律判斷,即離中心天體越遠(yuǎn),速度越小。(3)判斷衛(wèi)星由圓軌道進(jìn)入橢圓軌道或由橢圓軌道進(jìn)入圓軌道時(shí)的速度大小如何變化時(shí),可根據(jù)離心運(yùn)動(dòng)或近心運(yùn)動(dòng)的條件進(jìn)行分析。變式訓(xùn)練12021年5月30日天舟二號(hào)貨運(yùn)飛船與中國(guó)空間站天和號(hào)核心艙“溫柔”對(duì)接,形成完美合體,如圖所示。試分析:(1)為什么天舟二號(hào)飛船與天和號(hào)核心艙對(duì)接前不在同一軌道上?(2)天舟二號(hào)飛船與空間站對(duì)接后,空間站的周期會(huì)發(fā)生變化嗎?答案

見(jiàn)解析

解析

(1)飛船在較低軌道上加速,需要的向心力變大,但此高度萬(wàn)有引力不變,故做離心運(yùn)動(dòng),飛到較高的軌道與空間站對(duì)接。探究二雙星問(wèn)題情境導(dǎo)引宇宙中兩顆靠得很近的天體構(gòu)成一個(gè)“雙星系統(tǒng)”,兩顆天體以它們連線上的一點(diǎn)為圓心,做勻速圓周運(yùn)動(dòng),兩天體及圓心始終在同一條直線上。請(qǐng)思考:(1)“雙星系統(tǒng)”中的兩顆天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由什么力提供?(2)兩顆天體轉(zhuǎn)動(dòng)的周期有什么關(guān)系?要點(diǎn)提示

(1)兩顆天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬(wàn)有引力提供。(2)因兩天體及圓心始終在同一條直線上,所以兩顆天體轉(zhuǎn)動(dòng)的周期必定相同。知識(shí)歸納1.雙星模型如圖所示,宇宙中相距較近的兩個(gè)星球,它們離其他星球都較遠(yuǎn),因此其他星球?qū)λ鼈兊娜f(wàn)有引力可以忽略不計(jì)。在這種情況下,它們將圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),這種結(jié)構(gòu)叫作“雙星”。2.雙星模型的特點(diǎn)(1)兩星的運(yùn)行軌道為同心圓,圓心是它們之間連線上的某一點(diǎn)。

(3)兩星的運(yùn)動(dòng)周期、角速度都相同。(4)兩星的運(yùn)動(dòng)半徑之和等于它們之間的距離,即r1+r2=L。遷移應(yīng)用例2宇宙中兩個(gè)相距較近的天體稱為“雙星”,它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng),但兩者不會(huì)因萬(wàn)有引力的作用而吸引到一起。設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m1和m2,兩者相距為L(zhǎng)。求:(1)雙星的軌道半徑之比;(2)雙星的線速度之比;(3)雙星的角速度。解析

這兩顆星必須各自以一定的速度繞某一中心轉(zhuǎn)動(dòng)才不至于因萬(wàn)有引力作用而吸引在一起,從而保持兩星間距離L不變,且兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω必須相同。如圖所示,兩者軌跡圓的圓心為O,圓半徑分別為R1和R2。由萬(wàn)有引力提供向心力得規(guī)律方法

解決雙星問(wèn)題的基本思路1.明確兩星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑、向心力來(lái)源。2.由牛頓運(yùn)動(dòng)定律分別對(duì)兩星列向心力方程。3.利用兩星運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),構(gòu)建兩星的角速度(或周期)、半徑、向心力之間的關(guān)系方程。注意:萬(wàn)有引力定律表達(dá)式中的r表示雙星間的距離L,而不是軌道半徑(雙星中兩顆星的軌道半徑一般不同)。變式訓(xùn)練2銀河系的恒星中大約有四分之一是雙星,某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成,兩星在相互之間的萬(wàn)有引力的作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng),如圖所示。由天文觀察測(cè)得其運(yùn)動(dòng)周期為T,S1到O點(diǎn)的距離為r1,S1和S2的距離為r,已知引力常量為G。由此可求出S1的質(zhì)量為(

)答案

A解析

雙星之間的萬(wàn)有引力提供各自做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,對(duì)S2有

探究三同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星、赤道上的物體運(yùn)行參量的比較情境導(dǎo)引對(duì)于赤道上的物體、近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星,它們的周期如何比較?它們的線速度大小如何比較?要點(diǎn)提示

赤道上的物體和同步衛(wèi)星轉(zhuǎn)一圈都是一天,周期相同,近地衛(wèi)星的軌道半徑比同步衛(wèi)星的小,所以近地衛(wèi)星的周期比同步衛(wèi)星的小。由v=ωr,同步衛(wèi)星的軌道半徑大,所以同步衛(wèi)星比赤道物體的線速度大,衛(wèi)星越遠(yuǎn)越慢,近地衛(wèi)星的線速度大于同步衛(wèi)星的線速度。知識(shí)歸納1.相同點(diǎn):都以地心為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2.不同點(diǎn):(1)軌道半徑:近地衛(wèi)星與赤道上物體的軌道半徑相同,同步衛(wèi)星的軌道半徑較大,即r同>r近=r物。遷移應(yīng)用例3(多選)地球同步衛(wèi)星離地心的距離為r,運(yùn)行速率為v1,向心加速度為a1,地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2,地球的第一宇宙速度為v2,半徑為R,則下列比例關(guān)系中正確的是(

)答案

AD易錯(cuò)提醒