誠信應(yīng)考，考試作弊將帶來嚴(yán)重后果！

華南理工大學(xué)期末考試

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試卷A卷

注意事項(xiàng)：1.考前請將密封線內(nèi)各項(xiàng)信息填寫清楚；

2.可使用計算器，解答就答在試卷上;

3.考試形式：閉卷；

八

4.本試卷

共八大

題，滿分

100分。

考試時間

120分鐘。

5.本試卷

的七、八

大題，有—"=四五七總分

不同學(xué)分

的要求，

請小心閱

題。

6.標(biāo)準(zhǔn)正

態(tài)分布的

分布函數(shù)

值：

題號

得分

評卷人

一、(10分)甲、乙兩人擲均勻硬幣，其中甲擲n+1次，乙擲n次。求“甲擲出

正面的次數(shù)大于乙舞出正面的次數(shù)”這一事件的概率。

1/2

令(1=｛甲擲出正面的次數(shù)｝?B(n+l,p),

自？?｛甲擲出反面的次數(shù)卜??B&nVq????

n口??｛乙擲出正面的次數(shù)卜??Br|np????

中二｛乙擲出反面的次數(shù)｝~B(n,q)

則(1+(2=n+1,(1+(2=n

兩式相減,得(2-(2=1+(1-(1

即{(2>(2}={(1((1},所以P{(2>{2)=P{(1((I}

因?yàn)閜=q,所以P((l>(l)=P{{2>{2)=P{(1({1}

P的>W}+P{窕中}=1

得:P{(l>(l)=l/2

二、（14分）兩臺機(jī)床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率為0.05,第二臺出

現(xiàn)廢品的概率為0.02,加工的零件混放在一起，若第一臺車床與第二臺車床

加工的冬件數(shù)為5:4。

求（1）任意地從這些零件中取出一個合格品的概率；

（2）若已知取出的一個零件為合格品，那么，它是由哪一臺機(jī)床生產(chǎn)的可

能性較大。

4=｛第一車床加工的零件｛第二車床加工的零件B=｛合格品｝

⑴P(B)=P(Al)P(B\Al)+P(A2)P(B\A2)=黑

P(AJP(同A)二475

⑵尸（4忸）=

P(B)-867

P(A)P(fi|A)392

P(4|B)=22=

P(B)-867

由第一臺機(jī)床生產(chǎn)的可能性較大。

X、（15分）

01

外散型隨■,

機(jī)2（X,

Y）的鵬分

布如下：\

YX\

0a00.1

1().10.20

20.20.10.2

試求:⑴a；(2)P(X+Y<1)；(3)E(XY)

A=OA

p(x+r<I)=P(X=-i,r=o)+p(x=-i,r=i)+p(x=(),/=())=0.2

XY-2-1012

概率0.20.10.500.2

E(XY)=-0.i

四、（15分）設(shè)的概率密度為

A(x+y)0<A:<1,0<y<2

/Uy)=

0其他

求：⑴A；

(2)E(X),cov(X,Y),X和Y的相關(guān)系數(shù);

(3)(X,Y)落入?yún)^(qū)域/9={0<x<l,y>x2}的概率。

A=1

5II?

EX=x(xy)dy=-￡/=—E(XY)=~

=JM|+

cov(x,r)=-—

81

co

p{(x,y)w。}嗯

60

五、(12分)某學(xué)院有1000名學(xué)生，每人有80%的概率去大禮

堂聽講座，問禮堂至少要有多少座位才能以99%的概率保證去聽講

座的同學(xué)有座位？

[I,第i名同學(xué)去聽講座

第i名同學(xué)不去聽講座

n=1000

(01

f?

'1().20.8)

設(shè)禮堂至少要有M個座位，則

/n\

PEm<M>0.99

\?=i>

厚上竿/°.99

ylnpq」npq

\7

年絲22.33

J即9

M之叩+2.33麻^=800+2.33V160=829.47

禮堂至少要有830個座位

六、（IO分）設(shè)隨機(jī)變量g與n獨(dú)立，并有相同的分布。試證:

E[maxg,〃)]=4+3

令x=RY="

(Jo

則max(J,〃)=。+crinax(X,丫)

瓦max(X,y)]=+

/.E[max(J,〃)]=a+~^=

E[max(X,y)]=jjmax(x,y)叭x,y)dxdy

R2

=匚J；9(x，y)dxdy+JJJy^(x,y)dxdy

=2口胃—

七1、（2學(xué)分做）（12分）設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為

10<x<hy>0,

人（y）=?

0其他.0其他

已知X,Y的函數(shù)

ix<r,

z=g（x,y）=

0X>Y.

試求EZ,DZo

p（Z=l）=l-e-'

P（Z=0）=/

EZ=\-e-\EZ2=\-e\OZ=/（「/）

A1>(2學(xué)分做)(12分)設(shè)隨機(jī)變量在單位園上服從均勻分布，求:

(1)的聯(lián)合概率密度°(x,y)；

⑵邊際密度函數(shù)，；

⑶與是否相關(guān)，是否獨(dú)立？

(、—,(x,y)eD

0,(x,y).D

，一不相關(guān)

,不獨(dú)立

七2.（3.4學(xué)分做）（12分）

化肥廠用自動打包機(jī)裝化肥，某日測得8包化肥的重量（斤）如下:

98.7100.5101.298.399.799.5101.4100.5

已知各包重量服從正態(tài)分布N

（1）是否可以認(rèn)為每包平均重量為100斤（?。?？

（2）求參數(shù)，的90%置信區(qū)間。

可能用到的上側(cè)分位點(diǎn)：

-05⑹=12.6,必50⑺=14.1,總50⑻=15.5

忘59（6）=1.64,⑺=2.17,總95⑻=2.73

H:4°=100Hi:bK100

檢驗(yàn)統(tǒng)計量為，的拒絕域?yàn)?/p>

計算可得：

,故接受原假設(shè)。

（2）,n=8查表得，

52=1.259故置信區(qū)間為

[