2024年高考押題預(yù)測模擬測試卷04（新高考沖刺卷02）（滿分150分，考試用時120分鐘）一、選擇題1．復(fù)數(shù)與下列復(fù)數(shù)相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示、各項的形式判斷正誤即可.【解析】由題設(shè)，，故A、C、D錯誤；而，故B正確.故選：B2．已知集合，，且全集，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的交集、并集、補集的運算法則求解.【解析】由已知得集合表示的區(qū)間為，集合表示的區(qū)間為，則，，，,故選：.3．在直角三角形ABC中，，若，則（

）A．－18 B．－6C．18 D．6【答案】C【解析】方法一：由三角形的邊角關(guān)系可求得·＝0.再運用向量的加法用已知向量表示待求的向量·＝(＋)·代入可得選項；方法二：以C為坐標(biāo)原點，CA，CB所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得出點的坐標(biāo)，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得選項；方法三：由三角形的角和邊的關(guān)系得出在上的投影，在上的投影，利用向量的數(shù)量積的定義可得選項.【解析】方法一：由，得CB＝2，·＝0.·＝(＋)·＝·＋·＝(－)·＝＝18，故選：C.方法二：如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA，CB所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0，0)，A(2，0)，B(0，2).由題意得∠CBA＝，又＝，所以D＝(－1，3)，則·＝(－1，3)·(0，2)＝18，故選：C.方法三：因為∠C＝，AB＝4，AC＝2，所以CB＝2，所以在上的投影為2，又＝，所以在上的投影為×2＝3，則在上的投影為3，所以·＝||·||cos〈，〉＝2×3＝18，故選：C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，常常運用定義法，坐標(biāo)法，表示法求向量的數(shù)量積，屬于中檔題.4．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由已知條件求出的值，再利用三角函數(shù)恒等變換公式求出的值，然后對利用兩角和的正弦公式化簡計算即可【解析】由，得，所以，，所以，故選：A5．中心極限定理是概率論中的一個重要結(jié)論．根據(jù)該定理，若隨機變量，則當(dāng)且時，可以由服從正態(tài)分布的隨機變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻分布的骰子2500次，利用正態(tài)分布估算骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為（

）附：若：，則，，．A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773【答案】D【分析】先得到，滿足且，從而計算出期望和方差，得到，利用正態(tài)分布的對稱性求解.【解析】骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的概率，故，顯然，其中，，故，則，由正態(tài)分布的對稱性可知，估算骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為.故選：D6．已知圓的面積被直線平分，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】D【分析】由直線平分圓求出，再判斷兩圓的位置關(guān)系即得.【解析】由圓的面積被直線平分，得圓的圓心在直線上，即，解得，因此圓的圓心，半徑，而圓的圓心，半徑，顯然，所以圓與圓外切.故選：D7．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記，，，，設(shè)甲：是公比為的等比數(shù)列；乙：對任意，，，三個數(shù)是公比為的等比數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分又不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義及通項公式先考慮充分性，再考慮必要性即可.【解析】充分性：若是公比為的等比數(shù)列，則，，即，故，，三個數(shù)是公比為的等比數(shù)列，則充分性成立；必要性：若對任意，，，三個數(shù)是公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時，，，，則為公比是的等比數(shù)列.當(dāng)時，有，即，又，則，即，則是公比為的等比數(shù)列，必要性成立.故選：C.8．已知函數(shù)，滿足，，若恰有個零點，則這個零點之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由解析式可知為奇函數(shù)，進而可得的對稱中心，根據(jù)滿足的關(guān)系式，可得函數(shù)的對稱中心，由兩個函數(shù)的對稱中心相同，即可判斷出其零點的特征，進而求得個零點的和.【解析】因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點中心對稱，而函數(shù)是函數(shù)向右平移兩個單位得到的函數(shù)，因而關(guān)于中心對稱，函數(shù)滿足，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于中心對稱，且，且，所以由函數(shù)零點定義可知，即，由于函數(shù)和函數(shù)都關(guān)于中心對稱，所以兩個函數(shù)的交點也關(guān)于中心對稱，又因為恰有個零點，即函數(shù)和函數(shù)的交點恰有個，且其中一個為，其余的個交點關(guān)于對稱分布，所以個零點的和滿足，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是能夠通過函數(shù)解析式和抽象函數(shù)關(guān)系式確定函數(shù)的對稱中心，從而可確定零點所具有的對稱關(guān)系.二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為B．已知隨機變量，若，則C．在列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，則也變成原來的2倍（，其中）D．分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的點數(shù)是奇數(shù)”，“2枚骰子正面向上的點數(shù)相同”，則互為獨立事件【答案】BCD【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的方差公式及方差的性質(zhì)判斷B，根據(jù)卡方公式判斷C，根據(jù)相互獨立事件的定義判斷D.【解析】對于A：若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為，故A錯誤；對于B：如，則，又，即則，故B正確；對于C：在列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，則，即也變成原來的倍，故C正確；對于D：分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)為個，事件“第一枚骰子正面向上的點數(shù)是奇數(shù)”，則事件包含的基本事件數(shù)為個，事件“2枚骰子正面向上的點數(shù)相同”，則事件包含的基本事件數(shù)為個，所以，，又包含的基本事件有個，所以，所以，則、互為獨立事件，故D正確；故選：BCD10．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若函數(shù)無極值點，則沒有零點B．若函數(shù)無零點，則沒有極值點C．若函數(shù)恰有一個零點，則可能恰有一個極值點D．若函數(shù)有兩個零點，則一定有兩個極值點【答案】AD【分析】畫出可能圖象，結(jié)合圖象判斷選項即可.【解析】

，設(shè)若函數(shù)無極值點則，則，此時，即，所以，沒有零點，如圖①；若函數(shù)無零點，則有，此時，當(dāng)時，先正再負(fù)再正，原函數(shù)先增再減再增，故有極值點，如圖②；若函數(shù)恰有一個零點，則，此時，先正再負(fù)再正，原函數(shù)先增再減再增，有兩個極值點，如圖③；若函數(shù)有兩個零點，則，此時，先正再負(fù)再正，函數(shù)先增再減再增，有兩個極值點，如圖④；所以AD正確.故選：AD.11．已知拋物線E：的焦點為F，點F與點C關(guān)于原點對稱，過點C的直線l與拋物線E交于A，B兩點（點A和點C在點B的兩側(cè)），則下列命題正確的是（

）A．若BF為的中線，則B．若BF為的角平分線，則C．存在直線l，使得D．對于任意直線l，都有【答案】ABD【分析】首先設(shè)直線的方程，并聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理，再根據(jù)各項描述，拋物線的定義，即可判斷選項.【解析】設(shè)題意，設(shè)，不妨令，都在第一象限，，，

聯(lián)立，則，且，即，所以，，則，，如上圖所示，A.若為的中線，則，所以，所以，故，所以，則，則，故A正確；B.若為的角平分線，則，作垂直準(zhǔn)線于，則且，所以，即，則，將代入整理，得，則，所以，故B正確；C.若，即，即為等腰直角三角形，此時，即，所以，所以，所以，所以，則此時為同一點，不合題設(shè)，故C錯誤；D.，而，結(jié)合，可得，即恒成立，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算.三、填空題12．已知空間中三點，則點A到直線的距離為．【答案】【分析】利用向量的模公式及向量的夾角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及銳角三角函數(shù)的定義即可求解.【解析】，,，，設(shè)點A到直線的距離為，則.故答案為：.13．已知函數(shù)在上恰好有三個零點，請寫出符合條件的一個的值：.【答案】7（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知條件可以求出第一個零點，再由相鄰的兩個零點間的距離為半個周期，依次得到第二、三、四個零點，限定第三個零點在已知范圍內(nèi)，第四個零點不在范圍內(nèi)即可求解.【解析】，因為，且，令，則，所以位于正半軸的第一個零點為，又，故的第二個零點為，的第三個零點為，的第四個零點為，由題知在上有三個零點，故，解得，又因為所以的值可以為7或8或9.故答案為：7（答案不唯一）.14．為美化環(huán)境，某地決定在一個大型廣場建一個同心圓形花壇，花壇分為兩部分，中間小圓部分種植草坪，周圍的圓環(huán)分為等份種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花.要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.如圖①，圓環(huán)分成的等份分別為，，，有種不同的種植方法.

（1）如圖②，圓環(huán)分成的4等份分別為，，，，有種不同的種植方法；（2）如圖③，圓環(huán)分成的等份分別為，，，，有種不同的種植方法.【答案】18且【分析】（1）分類討論不同色與同色兩種情況，由分步計數(shù)原理得到結(jié)果；（2）由題意知圓環(huán)分為等份，對有3種不同的種法，對、、都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證與、3、不同顏色，但不能保證與不同顏色．在這種情況下要分類，一類是與不同色的種法，另一類是與同色的種法，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．【解析】（1）如圖②，當(dāng)不同色時，有(種)種植方法，當(dāng)同色時，有(種)種植方法，由分類加法計數(shù)原理得，共有(種)種植方法；（2）如圖3，圓環(huán)分為等份，對有3種不同的種法，對都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證與、3、不同顏色，但不能保證與不同顏色．于是一類是與不同色的種法，這是符合要求的種法，記為種．另一類是與同色的種法，這時可以把與看成一部分，這樣的種法相當(dāng)于對部分符合要求的種法，記為，共有種種法，這樣就有，即，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．則．由題意知：，則，.故答案為：18，（且．四、解答題15．的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角的值；(2)若的面積為，求.【答案】(1)(2)2，2【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換化簡即可得解；（2）由三角形面積公式及余弦定理求解即可.【解析】（1），由正弦定理可得：，，，即，，，，.（2）由題意，，所以，由，得，所以，解得：.16．如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點．

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】利用線面垂直判定定理來證明；用向量法計算兩平面夾角的余弦值，再求夾角的正弦值；【解析】（1）取中點，由正三棱柱性質(zhì)得，互相垂直，以為原點，分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，則．證明：，由，得，由，得，因為平面，所以平面．（2）

由（1）可知為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，則,故，令，得面的一個法向量為，設(shè)二面角的值為，則，所以，二面角的正弦值為．17．軟筆書法又稱中國書法，是我國的國粹之一，琴棋書畫中的“書”指的正是書法.作為我國的獨有藝術(shù)，軟筆書法不僅能夠陶冶情操，培養(yǎng)孩子對藝術(shù)的審美還能開發(fā)孩子的智力，拓展孩子的思維與手的靈活性，對孩子的身心健康發(fā)展起著重要的作用.近年來越來越多的家長開始注重孩子的書法教育.某書法培訓(xùn)機構(gòu)統(tǒng)計了該機構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的學(xué)生人數(shù)（每人只學(xué)習(xí)一種書體），得到相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：書體楷書行書草書隸書篆書人數(shù)2416102010(1)該培訓(xùn)機構(gòu)統(tǒng)計了某周學(xué)生軟筆書法作業(yè)完成情況，得到下表，其中.認(rèn)真完成不認(rèn)真完成總計男生女生總計60若根據(jù)小概率值的獨立性檢驗可以認(rèn)為該周學(xué)生是否認(rèn)真完成作業(yè)與性別有關(guān)，求該培訓(xùn)機構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的女生的人數(shù).(2)現(xiàn)從學(xué)習(xí)楷書與行書的學(xué)生中用分層隨機抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，記4人中學(xué)習(xí)行書的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：.0.100.050.012.7063.8416.635【答案】(1)20(2)分布列見解析，【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，根據(jù)獨立性檢驗的結(jié)論列不等式求出的值，可得女生人數(shù)；（2）由分層抽樣確定兩組人數(shù)，根據(jù)的取值計算相應(yīng)的概率，得分布列，計算數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表如下：認(rèn)真完成不認(rèn)真完成總計男生女生總計602080由題意可得，得.易知為5的倍數(shù)，且，所以，所以該培訓(xùn)機構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的女生有（人）.（2）因為學(xué)習(xí)軟筆書法的學(xué)生中學(xué)習(xí)楷書與行書的人數(shù)之比為，所以用分層隨機抽樣的方法抽取的10人中，學(xué)習(xí)楷書的有（人），學(xué)習(xí)行書的有（人），所以的所有可能取值為，，，，，.的分布列為：01234所以.18．在平面直角坐標(biāo)系中，一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點．(1)求曲線K的方程；(2)過點A且斜率為k的直線l與曲線K交于B、C兩點，若且直線OP與直線交于Q點．求的值；(3)若點D、E在y軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值．【答案】(1)(2)(3)8【分析】（1）由題意動圓的軌跡滿足拋物線的定義，所以得出拋物線的軌跡方程即可，（2）聯(lián)立直線l與拋物線，求出的值，又，設(shè)出OP的方程，再聯(lián)立拋物線求出的值，再求出，得出的值；（3）由于D、E在y軸上，設(shè)出D、E坐標(biāo)，并求出，P點的橫坐標(biāo)即為的高，再求面積的最小值即可．【解析】（1）由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡方程為，（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消y得，∴，∴，

設(shè)，∴,又，∴∵，∴設(shè)直線OP的方程為，聯(lián)立，消y得，∴，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，故的值為，（3）設(shè)，直線PD的方程為，又圓心到PD的距離為1，即，整理得，同理可得，所以，可知b，c是方程的兩根，所以，，

依題意，即，則，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式取等號，所以面積的最小值為8．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．19．給出下列兩個定義：I.對于函數(shù)，定義域為，且其在上是可導(dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.II.對于一個“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：①；②，其中為兩個新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).我們將具有其中一個性質(zhì)的函數(shù)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個性質(zhì)都具有的函數(shù)稱之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱之為“自導(dǎo)函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)和是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫出其對應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；(2)已知命題是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題.判斷命題是的什么條件，證明你的結(jié)論；(3)已知函數(shù).①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍；②若，且定義，若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)既不充分也不必要條件；證明見解析(3)【分析】（1）由和，結(jié)合題設(shè)中函數(shù)的定義，即可得到答案；（2）由成立，得到，設(shè)，得出為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，再設(shè)，得到為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，結(jié)合不是常值函數(shù)，求得不是的必要條件；再由成立，得到，進而得出結(jié)論；（3）①由題意得到，求得；②由題意求得且