重難點(diǎn)6-2立體幾何的交線與截面問(wèn)題三年考情分析2025年考向預(yù)測(cè)考查內(nèi)容穩(wěn)定，命題形式多樣，以選擇題和填空題為主，偶爾出現(xiàn)在解答題中，難度中等偏上．交線與截面問(wèn)題常與其他立體幾何知識(shí)（如空間幾何體的表面積、體積）結(jié)合，考查綜合應(yīng)用能力．預(yù)計(jì)考查頻率較高，尤其是空間中幾何體（如棱柱、棱錐、球體等）的交線求解，復(fù)雜幾何體的截面形狀、面積計(jì)算以及與函數(shù)、向量等知識(shí)的結(jié)合．題型1判斷截面多邊形的形狀判斷截面多邊形形狀時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：1、截面與幾何體表面相交，交線不會(huì)超過(guò)幾何體表面?zhèn)€數(shù)．2、不會(huì)與同一個(gè)表面有兩條交線．3、與一對(duì)平行表面相交，交線平行（不一定等長(zhǎng)）．4、截面截內(nèi)切球或者外接球時(shí)，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關(guān)系．1．（23-24高三上·福建寧德·月考）在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】B【解析】如圖，把截面補(bǔ)形為四邊形，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則，又在正方體中，所以，則四點(diǎn)共面.則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為四邊形.故選：B.2．（23-24高二下·浙江杭州·期末）在正方體中，，分別是棱和上的點(diǎn)，，，那么正方體中過(guò)點(diǎn)，，的截面形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】B【解析】在正方體中，取，，連接，，，，，，如下圖所示：因?yàn)樵谡襟w中，，分別是棱和上的點(diǎn)，，，所以，且，則四邊形為平行四邊形，則，，又因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，則，，所以，，所以為平行四邊形，則正方體中過(guò)點(diǎn)，，的截面形狀為四邊形.故選：B3．（24-25高三上·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，點(diǎn)、滿足，則平面截正方體形成的截面圖形為（

）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形【答案】B【解析】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)、滿足，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接交于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于，連接，則五邊形為所求截面圖形.故選：B．4．（24-25高三上·河南焦作·月考）在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則平面截該長(zhǎng)方體所得的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【解析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則五邊形為平面截該長(zhǎng)方體所得的截面圖形，不妨設(shè)，又點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，，，所以，又，所以，又，所以，又，即，解得，又，即，解得，符合題意，即五邊形為平面截該長(zhǎng)方體所得的截面圖形.故選：C題型2截面多邊形的周長(zhǎng)與面積1、求截面多邊形的周長(zhǎng)有兩個(gè)思路：（1）利用多面體展開圖進(jìn)行求解；（2）在各個(gè)表面確定交線，分別利用解三角形進(jìn)行求解．2、求截面多邊形的面積問(wèn)題的步驟：（1）通過(guò)解三角形求得截面多邊形各邊的長(zhǎng)度；（2）判斷多邊形的形狀是否規(guī)則，若為規(guī)則圖形可直接使用面積公式求解；否則可通過(guò)切割法將多邊形分為多個(gè)三角形求解．1．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如圖所示，正四棱臺(tái)中，上底面邊長(zhǎng)為3，下底面邊長(zhǎng)為6，體積為，點(diǎn)在上且滿足，過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則四棱臺(tái)的高為，則四棱臺(tái)的體積為，解得，所以側(cè)棱長(zhǎng)為.如圖所示：過(guò)于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，所以，而，所以，所以，同理，分別在棱上取點(diǎn)，使得，易得，所以截面多邊形的周長(zhǎng)為.故選：D.2．（24-25高三上·江西上饒·月考）已知正四棱錐，其中，，平面過(guò)點(diǎn)A，且平面，則平面截正四棱錐的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，在正四棱錐中，，且，所以，所以三角形是等邊三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，則，所以，且，設(shè)平面與分別相交于點(diǎn)，則由得，，所以，故，所以，所以，在三角形中，由余弦定理得：，所以，所以結(jié)合正四棱錐對(duì)稱性得，所以截面面積為.故選：A.3．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知一正方體木塊的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)在棱上，且.現(xiàn)過(guò)三點(diǎn)作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以與相交于且為的中點(diǎn)，又在上，所以與相交于，且O平分，，所以四點(diǎn)四點(diǎn)共面且四邊形為平行四邊形，所以過(guò)三點(diǎn)的截面是平行四邊形，，，，故截面面積為.故選：A.4．（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為P，平面為經(jīng)過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則.【答案】【解析】令球半徑為，則，解得，由平面與直線成角，得平面截球所得小圓半徑，因此，由球的內(nèi)接圓錐高為2，得球心到此圓錐底面距離，則圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，點(diǎn)為弦中點(diǎn)，如圖，依題意，，，，顯然，于是，所以.題型3截面分幾何體的體積問(wèn)題截面分割后的幾何體易出現(xiàn)不規(guī)則的幾何體，對(duì)此往往采用“切割法”或“補(bǔ)形法”進(jìn)行體積的求解．1．（24-25高三上·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為8，用平行于底面的平面截去一個(gè)四棱錐，且截面與底面的面積之比為1∶4，則剩余幾何體的體積為.【答案】【解析】設(shè)底面中心為，連接,如圖：故，由于截面與底面的面積之比為1∶4，故截面以上的棱錐與原四棱錐的體積之比為1∶8，故剩余幾何體的體積為,2．（24-25高三下·北京·開學(xué)考試）如圖，已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)B作截面α分別交側(cè)棱，于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體的體積為四面體體積的，則，的最小值為.【答案】；【解析】因?yàn)?，則，記，因?yàn)?，即。又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以a的最小值為.3．（24-25高三上·江蘇宿遷·期中）在四棱錐中，底面是梯形，，，平面平面，，.(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)若線段上存在一點(diǎn)E，使得截面將四棱錐分成體積之比為的上下兩部分，求點(diǎn)P到截面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)【解析】（1）取的中點(diǎn)，連，，由，，得四邊形為平行四邊形，由，得平行四邊形為矩形，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面.又平面，則，由，，得，由，，得，則，即，而，平面，因此平面，而平面，所以.（2）由，，，平面，得平面，平面，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)與平面所成角為，，即與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)截面交于，由，面，面，得平面，又平面，平面平面，則，依題意，，則，設(shè)，則，，，，到的距離，截面的面積為，設(shè)平面的法向量，則，取，得，則到平面的距離，于是，解得，所以點(diǎn)到截面的距離為.4．（24-25高三上·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱各棱長(zhǎng)均相等，為棱上一點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，平面．(1)求的值；(2)若平面將三棱柱分為兩部分，較小部分的體積為，較大部分的體積為，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）連接，與交于，連接.因?yàn)槠矫?，平面平面，根?jù)線面平行的性質(zhì)定理，所以.又因?yàn)?，在和中，由于平行線分線段成比例定理，可得.因?yàn)?，所?（2）在上取一點(diǎn)，使，連接，因?yàn)?，所以四邊形即為過(guò)三點(diǎn)的截面.設(shè)三棱柱的底面積為，高為，體積為，則.因?yàn)?，且，所以與相似，相似比為，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，可得的面積為.對(duì)于三棱臺(tái)，根據(jù)體積公式.

因?yàn)?，，，所以，則.題型4與截面有關(guān)的最值問(wèn)題截面最值問(wèn)題的計(jì)算，主要由以下三種方法：1、極限法：通過(guò)假設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至兩端，計(jì)算最值（需注意判斷是否單調(diào)）；2、坐標(biāo)法：通過(guò)建系設(shè)坐標(biāo)，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行求解；3、化歸法：通過(guò)圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，尋找平面圖形中的最值計(jì)算．1．（23-24高三下·湖北荊州·模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱中，，，過(guò)作該直三棱柱外接球的截面，所得截面的面積的最小值為．【答案】【解析】由直三棱柱可知，平面，又，所以兩兩垂直，設(shè)直三棱柱外接球的半徑為R，通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體可知該三棱柱的外接球與以為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體外接球相同；過(guò)作該直三棱柱外接球的截面，當(dāng)為所截圓的直徑時(shí)截面面積最小，因?yàn)?，則所求截面面積最小值為.2．（24-25高三上·云南曲靖·一模）已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，過(guò)棱作球的截面，則所得截面面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，作平面，垂足為，取的中點(diǎn)，外接球的球心為，連接，易得為的中心，則，所以，設(shè)外接球半徑為，則，即，解得，當(dāng)垂直過(guò)的截面時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面圓的直徑為長(zhǎng)，最小面積為，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面圓的面積最大，最大面積為，故截面面積的取值范圍是.故選：B.3．（23-24高三下·福建泉州·一模）泉州花燈技藝源于唐朝中期從形式上有人物燈、宮物燈、宮燈，繡房燈、走馬燈、拉提燈、錫雕元宵燈等多種款式．在2024年元宵節(jié)，小明制做了一個(gè)半正多面體形狀的花燈，他將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，如圖所示．已知該半正多面體的體積為，M為的中心，過(guò)M截該半正多面體的外接球的截面面積為S，則S的最大值與最小值之比（

）A． B． C．3 D．9【答案】C【解析】把這個(gè)半正多面體補(bǔ)全為正方體，再設(shè)該正方體的邊長(zhǎng)為，則每個(gè)截去的小三棱錐的體積為，所以該半正多面體的體積：，解得，由圖可知，半正多面體的外接球半徑是，由正方體的性質(zhì)易證明平面平面：又因?yàn)樵谡襟w中平面，所以平面，所以過(guò)點(diǎn)截外接球的最小截面圓的半徑是，最大截面圓的半徑是，即的最小值比最大值等于，則最大值比最小值等于3.故選：C.4．（23-24高三下·山東·二模）三棱錐中，和均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別在棱上，且平面平面，若，則平面與三棱錐的交線圍成的面積最大值為．【答案】【解析】如圖所示，因?yàn)槠矫?，設(shè)面，所以，同理：，設(shè)，所以，即，所以四邊形為平行四邊形，即，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，即，且，取中點(diǎn)，連接，易得，，，所以面，所以，所以，所以四邊形為矩形，所以面與三棱錐的交線圍成的面積，當(dāng)，即為中點(diǎn)時(shí)，面積最大，最大值為，故答案為：.題型5與球有關(guān)的截面問(wèn)題求解球的截面問(wèn)題的要點(diǎn)：（1）確定球心與半徑；（2）尋找作出并計(jì)算截面與球心的距離；（3）充分利用“球心做弦的垂線，垂足是弦中點(diǎn)”這個(gè)性質(zhì)；（4）強(qiáng)調(diào)弦的中點(diǎn)，不一定是幾何體線段的中點(diǎn)．1．（24-25高三上·遼寧沈陽(yáng)·月考）已知平面截半徑為R的球所得的截面圓的周長(zhǎng)等于大圓周長(zhǎng)的一半，則球心到平面的距離為.【答案】【解析】依題意，平面截半徑為R的球所得的截面圓的周長(zhǎng)為，則該截面圓半徑，所以球心到平面的距離.2．（23-24高三下·四川資陽(yáng)·二模）已知球O的體積為，點(diǎn)A到球心O的距離為3，則過(guò)點(diǎn)A的平面被球O所截的截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)球O的半徑為R，則，解得.因?yàn)辄c(diǎn)A到球心O的距離為3，所以過(guò)點(diǎn)A的平面被球O所截的截面圓的半徑的最小值為，則所求截面面積的最小值為.故選：C3．（23-24高三下·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知邊長(zhǎng)為6的正方體與一個(gè)球相交，球與正方體的每個(gè)面所在平面的交線都為一個(gè)面積為的圓，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由對(duì)稱性，球心與正方體重心重合，且每個(gè)面的交線半徑為4.連球心與任意面中心，則連線長(zhǎng)為3，且連線垂直該面，再連交線圓上一點(diǎn)與球心（即為球半徑），由勾股定理得球的半徑為5，則表面積為.故選：B.4．（23-24高三下·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）在正六棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，則以為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以球不與側(cè)而及側(cè)面相交，連接．由題得，．所以，所以球與側(cè)面交于點(diǎn)，，與側(cè)面交于點(diǎn)，．在正六邊形中，易得，因?yàn)槠矫?，平面．所以，又，平面，所以平面，即平面，且，又，．所以球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓，同理可得球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓．由題易得，則球與上底面及下底面的交線均為個(gè)半徑為的圓．所以球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為．故選：D．題型6與交線有關(guān)的證明問(wèn)題1．（24-25高三上·福建·期中）如圖，在四棱柱中，底面為直角梯形，，平面為的中點(diǎn).(1)設(shè)平面與平面的交線為，求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）由題意可知：平面∥平面，且平面平面，平面平面，所以.（2）由題意可知：，平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得為平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得為平面的一個(gè)法向量；則，所以平面與平面夾角的余弦值為.2．（24-25高三上·廣東深圳·月考）如圖，將長(zhǎng)方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中，，劣弧的長(zhǎng)為，為圓的直徑，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)若平面與平面夾角的正切值為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）法一：，平面，平面，平面，又平面，平面平面，；法二：圓面圓面，平面圓面，平面圓面，，又，；（2）法一：以為原點(diǎn)，分別為軸，垂直于軸直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，劣弧的長(zhǎng)為，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，即，令，則，，平面的法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，則，即，(負(fù)值舍去)，即到平面距離為，則.法二：如圖，過(guò)作，即平面與平面的交線為，作于，連接，平面，平面，，又，平面，平面，，是平面與平面夾角，的長(zhǎng)為，，，，則，，即到平面距離為，.3．（24-25高三上·安徽馬鞍山·月考）如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)面底面．設(shè)平面與平面的交線為．(1)證明：平面；(2)已知，，為上的點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【解析】（1）在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)?，平面平面且平面平面，平面，所以平面，則平面．（2）取中點(diǎn)記為，中點(diǎn)記為，連接，所以，連接，因?yàn)闉榈妊切危裕?，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，，，，令，所以，，，記平面的一個(gè)法向量，則，可取，記直線與平面所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為．4．（24-25高三上·山東·聯(lián)考模擬）如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線．(1)求證：直線平面；(2)若直線上存在一點(diǎn)（與都在的同側(cè)），且直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）證明：∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又，平面平面，平面平面，平面，∴平面，則平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，過(guò)垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得：，，，，，∴，，設(shè)，則．依題意可得：，即：又與都在的同側(cè)，所以，即于是：，設(shè)平面的法向量為則，取，可得再設(shè)平面的法向量為，則，取，得于是所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．（23-24高三下·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【解析】如圖，設(shè)，分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)，此時(shí)，連接交于，連接，設(shè)平面與平面的交線為，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，設(shè)，則，此時(shí)，故，連接，所以五邊形為所求截面圖形，故選：C．2．（24-25高三上·江西景德鎮(zhèn)·一模）甲烷是最簡(jiǎn)單的有機(jī)化合物，其分子式為，它是由四個(gè)氫原子和一個(gè)碳原子構(gòu)成，甲烷在自然界分布很廣，是天然氣、沼氣、煤礦坑道氣及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面體空間構(gòu)型，如圖，四個(gè)氫原子分別位于正四面體的頂點(diǎn)處，碳原子位于正四面體的中心處.若正四面體的棱長(zhǎng)為1，則平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】如圖所示，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)E，F(xiàn)，則由正四面體的性質(zhì)，EF過(guò)正四面體的中心O，所以平面即平面，平面即平面，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線為線段，又因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1，則由勾股定理可得，所以在等腰三角形FAB中：．故選：A．3．（24-25高三上·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，且平面，過(guò)點(diǎn)作截面分別交于點(diǎn)，且二面角的平面角為，則所得截面的面積最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】過(guò)作，垂足為，連接，則由三垂線定理可得，∴即為二面角的平面角，∴，，所以，設(shè)，則，在三角形中，，又，所以，所以，時(shí)等號(hào)成立，所以三角形的面積為，故截面PEF面積的最小值為.故選：B.4．（23-24高三下·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）沙漏也叫做沙鐘，是一種測(cè)量時(shí)間的裝置.沙漏由兩個(gè)完全一樣的圓錐和一個(gè)狹窄的連接管道組成，通過(guò)充滿了沙子的玻璃圓錐從上面穿過(guò)狹窄的管道流入底部玻璃圓錐所需要的時(shí)間來(lái)對(duì)時(shí)間進(jìn)行測(cè)量西方發(fā)現(xiàn)最早的沙漏大約在公元1100年，比我國(guó)的沙漏出現(xiàn)要晚．時(shí)鐘問(wèn)世之后，沙漏完成了它的歷史使命.現(xiàn)代沙漏可以用來(lái)助眠．經(jīng)科學(xué)認(rèn)證，人類的健康入睡時(shí)間是15分鐘，沙漏式伴睡燈便是一個(gè)15分鐘的計(jì)時(shí)器．它將古老的計(jì)時(shí)沙漏與現(xiàn)代夜燈巧妙結(jié)合，隨著沙粒從縫隙中滑下，下部的燈光逐漸被沙子掩埋，直到15分鐘后沙粒全部流光，柔和的燈光完全覆蓋．就這樣，寧?kù)o的夜晚，聽(tīng)著沙粒窸窸窣窣的聲音，仿佛一首緩緩流動(dòng)的安眠曲如圖，一件沙漏工藝品，上下兩部分可近似看成完全一樣的圓錐，測(cè)得圓錐底面圓的直徑為，沙漏的高（下底面圓心的距離）為，通過(guò)圓錐的頂點(diǎn)作沙漏截面，則截面面積最大為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由沙漏的對(duì)稱性，通過(guò)圓錐頂點(diǎn)作沙漏的截面，上下兩部分截面為全等的三角形，只需要討論通過(guò)頂點(diǎn)作圓錐的截面的最大值，如圖，在圓錐中，過(guò)頂點(diǎn)作截面為，作于，延長(zhǎng)交底面圓交于點(diǎn)，連接，設(shè)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”號(hào)成立，解得，所以沙漏截面面積最大值為，故選：B．方法二：設(shè)，所以，當(dāng)為底面圓直徑時(shí)，取得最大，此時(shí)，最大為鈍角，所以當(dāng)時(shí)，，沙漏截面面積最大值為，故選：B．二、多選題5．（24-25高三上·遼寧·月考）已知在正方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側(cè)面，底面的交線分別為，，則（

）A．的長(zhǎng)度為 B．的長(zhǎng)度為C．的長(zhǎng)度為 D．的長(zhǎng)度為【答案】AD【解析】如圖所示，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，則即為，即為，由，得，所以，，由，得，則，所以，故C錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確；由，得，又易知，得，所以，所以，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)，故選：AD.6．（23-24高三下·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知球O是正三棱錐的外接球，，點(diǎn)E在線段上，且．過(guò)點(diǎn)E作球的截面，則所得截面圓的面積可能是（

）A．π B． C． D．【答案】BCD【解析】如圖，作平面，是等邊的中心，O是正三棱錐外接球的球心，點(diǎn)在上，連結(jié)，連結(jié)交于點(diǎn)，，設(shè)該球半徑為，則．由可得，在中，,解得，因?yàn)?，，所以，所以，在中?所以，設(shè)球心O到過(guò)點(diǎn)E的截面圓的距離為d,可知，截面圓半徑，所以截面圓的面積的取值范圍為，故選：BCD．7．（24-25高三上·云南昆明·月考）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是的中點(diǎn)，用一個(gè)平面截該正方體，截面面積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則B．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則C．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．則經(jīng)過(guò)點(diǎn)．則經(jīng)過(guò)的一個(gè)三等分點(diǎn)【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則截面為等邊三角形，面積為，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則截面為菱形，，設(shè)，則，，所以菱形的面積為，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，則截面為正六邊形，不經(jīng)過(guò)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于，連接，交于，連接，交于，則截面為，由于是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，則，所以，所以是的三等分點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD三、填空題8．（24-25高三下·山西·開學(xué)考試）正方體的棱長(zhǎng)為2，則以的中點(diǎn)為球心，為半徑的球與側(cè)面相交，則交線（在正方形內(nèi)部）的長(zhǎng)度為．【答案】【解析】如圖：作，垂足為E，則平面，設(shè)為球心，為半徑的球與相交于，則，即以的中點(diǎn)為球心，為半徑的球與側(cè)面相交，交線為以E為圓心，2為半徑的圓?。ㄈ鐖D示），在中，，同理，則，所以交線的長(zhǎng)度．9．（23-24高三下·山東菏澤·月考）如圖，球內(nèi)切于圓柱，圓柱的高為，為底面圓的一條直徑，為圓上任意一點(diǎn)，則平面截球所得截面面積最小值為若為球面和圓柱側(cè)面交線上的一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的取值范圍為．

【答案】；【解析】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為，如下圖易知，，由勾股定理可得，則由題可得，設(shè)到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，因?yàn)槠矫?，?dāng)平面，取最大值，即，所以，所以平面截得球的截面面積最小值為．由題可知，點(diǎn)在過(guò)球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面射影為，如圖：則，，由勾股定理可得，令，則，其中，所以，所以，因此，所以周長(zhǎng)的取值范圍為．故答案為：；10．（23-24高三下·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則平面截此四棱柱的外接球所得的截面面積為.【答案】【解析】由正四棱柱可知底面為正方形，由正四棱柱的外接球特征可知，外接球直徑等于正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)，所以，所以.如圖，取長(zhǎng)方形的中心，連結(jié)，則，而平面，平面，故平面，所以球心到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則球心到平面的距離等于的長(zhǎng).在長(zhǎng)方形中，連結(jié)，則，所以，又平面截此四棱柱的外接球所得的截面為圓面，所以此圓的半徑為，故截面面積為.四、解答題11．（24-25高三下·浙江·開學(xué)考試）如圖，四邊形是正方形，四邊形是直角梯形且的中點(diǎn)分別為.(1)證明：平面平面，并求直線與平面所成角的正弦值；(2)設(shè)截