/22.3實際問題與二次函數(shù)（拱橋問題）同步練習2025-2026學年人教版數(shù)學九年級上冊1．圖中是拋物線形拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬6m.以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系(如圖).已知點P的坐標為（1）求拱橋所在拋物線的函數(shù)表達式；（2）因降暴雨水位上升1m2．如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，拋物線的頂點C到ED的距離是11m．試以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系，求題中拋物線的函數(shù)表達式.3．某校計劃將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型拱門，并要求設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為48m方案一：拋物線型拱門的跨度ON=12m，拱高PE=4m．點N在方案二：拋物線型拱門的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面積記為S2，點A'，（1）求方案二中拋物線的函數(shù)表達式；（2）在方案二中，當A'B'=3m時，求矩形框架A'B4．如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對稱的一部分和矩形的一部分構(gòu)成，最大高度為6米，底部寬度為12米（即OM=12）．現(xiàn)以點O為原點，OM（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；（2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；（3）若要搭建一個矩形“支撐架”AD+DC+5．如圖，有一座拋物線型拱橋，橋下面在正常水位AB時寬20米，水位上升3米就達到警戒線CD，這時水面寬度為10米．若洪水到來時，水位以每小時0.2米的速度上升從警戒線開始，再持續(xù)多少小時才能到拱橋頂？（平面直角坐標系是以橋頂點為點O的）6．如圖1，某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上．若將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標系．拱門上的點距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=（1）拱門上的點的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x23681012豎直高度y45.47.26.440根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出“門高”（拱門的最高點到地面的距離），并求出拱門上的點滿足的函數(shù)關(guān)系y=（2）一段時間后，公園重新維修拱門．新拱門上的點距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=?0.288(x?5)2+7.2，若記“原拱門”的跨度（跨度為拱門底部兩個端點間的距離）為d1，“新拱門”的跨度為d2，則d17．如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同，正常水位時，大孔水面寬度AB=20m，頂點M距水面6m（即MO=6m），小孔頂點N距水面4.5m（即NC=4.5m），當水位上漲剛好淹沒小孔時，借助圖中的直角坐標系，求此時大孔的水面寬度EF．8．學校舉辦“科技之星”頒獎典禮，頒獎現(xiàn)場人口為一個拱門．小明要在拱門上順次粘貼“科”“技”“之”“星”四個大字（如圖1），其中，“科”與“星”距地面的高度相同，“技”與“之”距地面的高度相同，他發(fā)現(xiàn)拱門可以看作是拋物線的一部分，四個字和五角星可以看作拋物線上的點．通過測量得到拱門的最大跨度是10米，最高點的五角星距地面6.25米．（1）請在圖2中建立平面直角坐標系xOy，并求出該拋物線的解析式；（2）“技”與“之”的水平距離為2a①“科”與“星”的水平距離是“技”與“之”的水平距離的2倍；②“技”與“科”距地面的高度差為1.5米．小明的設(shè)計能否實現(xiàn)？若能實現(xiàn)，直接寫出a的值；若不能實現(xiàn)，請說明理由．9．一座橋如圖，橋下水面寬度AB是10米，高CD是4米．如圖，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標系．（1）求拋物線的解析式；（2）要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？10．如圖．有一座拋物線形拱橋．在正常水位時橋下水面AB的寬度為20m．這時拱高(點O到AB的距離)為4（1）你能求出在圖(a)的坐標系中．拋物線的函數(shù)表達式嗎？（2）如果將直角坐標系建成如圖(b)所示，拋物線的形狀、表達式有變化嗎？請求出(b)中的解析式．11．如圖①是我市某葡萄基地種植棚，它一定意義上帶動了我市的經(jīng)濟發(fā)展，其截面為圖②所示的軸對稱圖形，點A、B在以O(shè)頂點的拋物線上，CB⊥AB，AD⊥AB，BC=AD，點G在直線BC上，點E在直線（1）求拋物線的解析式；（2）若O點到地面的距離為5米，記BC+AB+（3）在（2）的條件下，E點的縱坐標?12，F(xiàn)2,2，為了使棚更加牢固安全，需要把直線EF，GH12．密蘇里州圣路易斯拱門是座雄偉壯觀的拋物線形的建筑物，是美國最高的獨自挺立的紀念碑，如圖．拱門的地面寬度為200米，兩側(cè)距地面高150米處各有一個觀光窗，兩窗的水平距離為100米，求拱門的最大高度．13．一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖1所示），拱高8m，跨度24m，相鄰兩支柱間的距離均為6m（1）將拋物線放在所給的平面直角坐標系中（如圖2所示），其表達式是y=ax2+c的形式．請根據(jù)所給的數(shù)據(jù)直接寫出a，（2）求支柱MN的長度．14．古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．（1）某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10（2）某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MN=10m，拱頂P（拋物線頂點）距離水面（3）如圖③，某時橋A和橋B的橋下水位均上升了2m15．如圖①有一座拱橋，已知橋洞的拱形呈拋物線型．如圖②，當水面寬AB為12m時，橋洞頂部離水面高OC為4（1）求拋物線的解析式；（2）已知該拱橋限高103（3）現(xiàn)有兩艘寬都為3米，高出水面2米的船只，同時到達該拱橋，因降暴雨，水位上升1.2米．請問兩船能否在橋下順利交匯？（不考慮兩船間的空隙）．16．如圖所示的是一座拱橋，橋洞的拱形是拋物線的形狀，當水面寬AB為12米時，橋洞頂部離水面4米，若水面上漲1米，求此時水面的寬．17．如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7km，主塔高0.27km，主纜可視為拋物線，主纜垂度0.1785km，主纜設(shè)低處距離橋面0.0015km，橋面距離海平面約0.09km.請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求該拋物線的表達式.18．拱橋造型優(yōu)美，是中國最常用的一種橋梁形式．現(xiàn)在某地，有一座拱橋，跨度AB為60m，拱頂C離地面高18（1）以AB的中點為坐標原點，如圖建立坐標系，請求出該拱橋所在拋物線的表達式；（2）當水面寬度小于或等于30m時，需要采取緊急措施．現(xiàn)在水面距離拱頂為4（3）某人在拱頂C處踢一足球，足球最高點位置距人水平距離為8m，豎直距離為6

答案解析部分1．【答案】（1）解：設(shè)拱橋所在拋物線的函數(shù)表達式為y=∵點P(4，∴8解得a=?∴y即拱橋所在拋物線的函數(shù)表達式是y（2）解：當y=11=?1解得x1=3+6∵3+6∴因降暴雨水位上升1m，此時水面寬為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意和圖象，可以設(shè)二次函數(shù)的交點式，然后將點P的坐標代入求出a的值，即可寫出該拋物線的解析式；

（2）將y＝1代入（1）中的函數(shù)解析式，求出相應(yīng)的x的值，然后作差，即可得到因降暴雨水位上升1m，此時水面寬．2．【答案】解：如圖所示，根據(jù)題意建立平面直角坐標系，由題知拋物線的頂點C坐標為(0，11)，A(-8，8)，設(shè)拋物線的表達式為y=ax將點A的坐標(-8，8)代入拋物線的表達式得：a=?3所以拋物線的表達式為：y=?3【解析】【分析】首先根據(jù)題意建立平面直角坐標系，再由已知條件得頂點C坐標為(0，11)，A(-8，8)，利用頂點式求出函數(shù)解析式，即可得出答案.3．【答案】（1）解：由題意知，方案二中拋物線的頂點P(4，6)，

設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax?42+6,

把O(0,0)代入得：0=a0?42+6（2）解：在y=?38x2+3x中，

令y=3，得：3=?38x2+3x，

解得：x=4?22或x=4+22【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax?424．【答案】（1）M（2）y（3）18米5．【答案】解：設(shè)所求拋物線的解析式為：y=ax2．設(shè)D（5，b），則B（10，b﹣3），把D、B的坐標分別代入y=ax2得：25a解得：，∴y=﹣125x2∵b=﹣1，∴拱橋頂O到CD的距離為1，=5小時．所以再持續(xù)5小時到達拱橋頂5小時【解析】【分析】先設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，再找出幾個點的坐標，代入解析式后可求得拋物線的解析式，把b=﹣1代入即可求出CD的長度，進而求出時間．6．【答案】（1）y（2）>7．【答案】解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+6，依題意得：B（10，0），∴a×102+6=0，解得a=－0.06，即y=－0.06x2+6，當y=4.5時，－0.06x2+6=4.5，解得x=±5，∴DF=5，EF=10，即水面寬度為10m.【解析】【分析】設(shè)大孔拋物線的解析式為y=ax2+68．【答案】（1）y=?0.25（2）能實現(xiàn)；a9．【答案】（1）y（2）寬度須不超過5米10．【答案】（1）y（2）形狀不變、表達式有變化，y11．【答案】（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=ax2a≠0

∵拋物線過點P?2,?12，

（2）解：設(shè)AB=b米，則A點橫坐標為b2，

∴當x=b2時，y=?18×(b2)2=?b232，

∴（3）解：設(shè)直線EF解析式為y=kx+bk≠0，

∵點E縱坐標為?12，

∴E4,?12，

∵F2,2，

∴4k+b=?122k+b=2，

∴k=?54b=92【解析】【分析】(1)先設(shè)拋物線解析式為y=(2)設(shè)AB=b米，則A點橫坐標為b2，由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得Ab2,?b232，則BC(3)設(shè)直線EF解析式為y=kx+bk≠0，由于點E在垂直于x軸的直線AD上，則E4,?（1）解：設(shè)拋物線解析式為y∵拋物線過點P?2,?∴?22a=?拋物線解析式為y=?（2）解：設(shè)AB=b米，則A點橫坐標為∴當x=b2∴Ab∴BC=∴m=∴當b=8則當m取得最大值時，棚的跨度AB為8米；（3）解：設(shè)直線EF解析式為y=∵點E縱坐標為?1∴E4,?∵F2,2∴4k∴k=?則直線EF為y=?設(shè)直線EF向下平移n米與拋物線相切，∴y=?根據(jù)題意知只有一組解，則18Δ=?5∴直線EF向下平移距離是11812．【答案】解：如圖所示建立平面直角坐標系，此時，拋物線與x軸的交點為C（﹣100，0），D，設(shè)這條拋物線的解析式為y=a（x﹣100）（x+100），∵拋物線經(jīng)過點B（50，150），可得150=a（50﹣100）（50+100）．解得a=?150，∴y=?【解析】【分析】根據(jù)圖形數(shù)值和拋物線與x軸的交點為C、D，拋物線經(jīng)過點B，求出拋物線的解析式，頂點坐標，求出拱門的最大高度.13．【答案】（1）?118（2）414．【答案】（1）25（2）y（3）此時橋A的水面寬度為821m，橋B15．【答案】（1）解：根據(jù)題意，得：A?6,0，B6,0，C0,4，

設(shè)拋物線的解析式為y=ax?02+4=ax2+4，

（2）解：當y=103時，得：?19x2+4=103，

解得：x=?（3）解：當x=3時，y=?19×32【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)題意先求出?1（3）根據(jù)題意先求出y=?（1）解：根據(jù)題意，得：A?6,0，B6,0，設(shè)拋物線的解析式為y=將B6,0代入得：a解得：a=?∴拋物線的解析式為y=?（2）當y=103解得：x=?6或∴6?∴可通行船只的最大寬度為26（3）當x=3時，y∵3?1.2=1.8<2，∴兩船不能在橋下順利交匯．16．【答案】解：如圖，以拋物線的頂點為原點，建立平面直角坐標系．由題意可知拋物線過點（6，-4）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為：y把（6，-4）代入y=a則拋物線的函數(shù)表達式為：y當水面上漲1米，水面所在的位置為直線y令y=?3，則?3=?1∴此時水面的寬為：63米．【解析】【分析】由題意建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用待定系?shù)法可求拋物線的函數(shù)解析式，然后把y=?317．【答案】解：如圖所示建立平面直角坐標系設(shè)拋物線的解析式為y由題意可知：點(0.85，0.18)和點(0，0.0015)在函數(shù)圖象上，代入得：0.18=0.8解得：a∴y=25【解析】【分析】以主纜最低點（設(shè)低處）為原點，平行橋面水平方向為x軸，豎直向上為y軸建系。

由主纜垂度0.1785km，主纜設(shè)低處距離橋面0.0015km，可得一點（0，0.0015）；

由主跨長1.7km，主塔高0.27km，橋面距離海平面約0.09km，可得兩點（0.85，0.18）和（-0.85，0.18）；

將點(0.85，0.18)和點(0，0.0015)代入拋物線y=ax2+c可以解得拋物線表達式為18．【