/第13章勾股定理一、單選題1．將直角三角形的三邊擴(kuò)大2倍，得到的三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．任意三角形2．如圖，某公司舉行周年慶典，準(zhǔn)備在門口長(zhǎng)米，高米的臺(tái)階上鋪設(shè)紅地毯，已知臺(tái)階的寬為米，則共需購(gòu)買（

）的紅地毯．A． B． C． D．3．如圖，，三個(gè)正方形的面積分別為，且，則S的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．134．如圖，在中，，若，，則AB的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．5．下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．，，C． D．6，7，86．如圖，在中，，D為上一點(diǎn)．若的面積為90，則的長(zhǎng)是（

）A．9 B．12 C．18 D．247．如圖的“趙爽弦圖”是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案．如果該大正方形的面積為81，小正方形的面積為9，則一個(gè)直角三角形的面積為（

）A．36 B．72 C．18 D．1448．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接交于點(diǎn)，則與的周長(zhǎng)之和為（

）．A． B． C． D．二、填空題9．已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為16和30，則第三邊的長(zhǎng)度是．10．一個(gè)三角形中，D是邊上一點(diǎn)，且，，，則這個(gè)三角形的面積是．11．在中，，若，則的周長(zhǎng)為．12．在等腰三角形中，，為上一點(diǎn)，，則等于．13．如圖，在四邊形中，平分，且，若，邊與的長(zhǎng)度差為3．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的長(zhǎng)為．三、解答題14．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)P在其內(nèi)部，且，，，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．(1)求點(diǎn)P與點(diǎn)D之間的距離；(2)求線段的長(zhǎng)．15．如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為dm，圓柱的高為dm，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)和點(diǎn)嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為多少？16．如圖，在四邊形中，，，，，．求長(zhǎng)和四邊形的面積．17．如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)在的斜邊上，連接．(1)試判斷與是否全等，請(qǐng)說明理由；(2)求的度數(shù)；(3)求證：．18．已知在中，，是上的一點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作等腰，．(1)如圖1，，連接，則____________．(2)如圖2，，取邊中點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)過程中，直接寫出線段長(zhǎng)度的最小值____________；(3)如圖3，四邊形中，，連接，已知，求的長(zhǎng)．參考答案1．B【分析】本題考查了勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵；設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且滿足，根據(jù)勾股定理逆定理可判定將直角三角形的三邊擴(kuò)大2倍后得到的三角形是直角三角形．【詳解】設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且滿足，將該直角三角形的三邊擴(kuò)大2倍，三邊長(zhǎng)變?yōu)椋?，，，，，將直角三角形的三邊擴(kuò)大2倍后得到的三角形是直角三角形．故選：B．2．C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息求出地毯的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．利用勾股定理解圖中直角三角形得臺(tái)階的地面長(zhǎng)度為米，則通過觀察臺(tái)階可知需買紅地毯的總長(zhǎng)度為米，根據(jù)紅地毯的寬是臺(tái)階的寬米，即可求解．【詳解】解：依題意圖中直角三角形一直角邊為米，斜邊為米，另一直角邊長(zhǎng)：（米），需購(gòu)買紅地毯的長(zhǎng)為（米），紅地毯的寬則是臺(tái)階的寬米，紅地毯面積是：（平方米）．故選：C．3．B【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)，結(jié)合正方形的面積公式和勾股定理進(jìn)行求解，即可解題．【詳解】解：∵，∴，即：，∵，∴；故選：B．4．D【分析】本題主要考查了勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容成為解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)勾股定理進(jìn)行列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵在中，，若，，∴．故選：D．5．A【分析】本題考查了勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，解答即可．【詳解】解：A、，是勾股數(shù)，故符合題意；B、∵，，不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，故不符合題意；C、，不是勾股數(shù)，故不符合題意；D、，不是勾股數(shù)，故不符合題意；故選：A．6．D【分析】本題考查了三角形面積公式及勾股定理，根據(jù)為中上的高及面積，可得，再利用勾股定理可求得，即可求解．【詳解】解：∵，的面積為90，∴，解得：，∵，∴，∴，故選：D．7．C【分析】本題主要考查了“趙爽弦圖”的應(yīng)用，根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個(gè)直角三角形的面積，再計(jì)算可得答案．【詳解】解：一個(gè)直角三角形的面積為．故選：C．8．A【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得到相等的邊．根據(jù)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，可得≌，，，從而得到為等邊三角形，在中，利用勾股定理得到，即可解答．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，可得：≌，，，∴為等邊三角形，∴，在中，，∴與的周長(zhǎng)之和為：．故選：A．9．34【分析】本題考查勾股定理，掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理，即可求出第三邊的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為16和30，∴第三邊是斜邊，由勾股定理，得第三邊的長(zhǎng)度是．故答案為：34．10．【分析】本題考查了等邊對(duì)等角，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理以及求三角形面積，掌握等邊對(duì)等角，勾股定理是解本題的關(guān)鍵．由條件可判定為直角三角形，再由可得，，可求得、，即可求得其面積．【詳解】解：如圖所示，，∴，∵，∴，∴，，，，，，，在中，，，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，，故答案為：．11．【分析】本題考查勾股定理，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，列出方程求出的值，進(jìn)而求出的值，進(jìn)而利用三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則．∵，∴，即，解得或（舍去），∴，∴的周長(zhǎng)．故答案為：．12．【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和全等三角形的知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵；過點(diǎn)作于點(diǎn)，可證得，然后推導(dǎo)得到，再根據(jù)勾股定理，然后即可求解；【詳解】解：如答圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，由題意，得，∴，∴，∴．由勾股定理可知，，∴．故答案為：；13．/【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的最值問題，解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)化線段關(guān)系，利用“固定線段上的三角形面積最大時(shí)，高最大”的幾何原理分析最值．延長(zhǎng)交于點(diǎn)利用平分且證明得到、；由與的長(zhǎng)度差得的面積是面積的一半，故需面積最大，而固定為3，當(dāng)點(diǎn)C到的距離最大時(shí)面積最大（此時(shí)最后利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得的長(zhǎng)．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)∵平分，∴．∵，∴．在和中，∴，∴即．∵與的長(zhǎng)度差為3，∴．的面積，的面積的面積為A到的距離），故面積最大時(shí)，面積最大．中，固定，面積為C到的距離），當(dāng)最大時(shí)面積最大．∵由垂線段性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，（最大），此時(shí)面積最大．在中，，由勾股定理得：，∴．∵，．故答案為：14．(1)12(2)13【分析】題目主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）連接．根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出是等邊三角形，即可求解；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)確定是直角三角形，再由勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接．是等邊三角形，．是繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，，．，是等邊三角形．，即點(diǎn)P與點(diǎn)D之間的距離是12．（2），是等邊三角形．，是直角三角形，，，．由（1）知．．15．dm【分析】要求絲線的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開得到長(zhǎng)方形，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為的長(zhǎng)度．∵圓柱底面的周長(zhǎng)為dm，圓柱的高為dm，∴dm，dm∴，∴，∴dm，所以這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為dm．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，本題把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”是解題的關(guān)鍵．16．12，150【分析】本題主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）在中利用勾股定理求解即可；（2）先根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根據(jù)四邊形的面積等于的面積與的面積之和求解即可．【詳解】解：∵，∴是直角三角形，∵，，∴．∴，∵，，∴∴是直角三角形，∴四邊形的面積為．∴四邊形的面積為150．17．(1)，理由見解析(2)(3)證明見解析【分析】（）由，得到，進(jìn)而利用定理即可求證；（）由等腰直角三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，由（）可得，進(jìn)而由勾股定理得，又由全等三角形的性質(zhì)得，等量代換即可求證；本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴；（3）證明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．18．(1)(2)1(3)5【分析】（1）利用證明，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得，即可；（2）取中點(diǎn)，連接，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)易得，由“垂線段最短”的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，最短，即此時(shí)最短，證明為等腰直角三角形，在中，設(shè)，利用勾股定理列方程并解得的值，即可獲得答案；（3）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明為等腰直角三角形，在中，設(shè)，利用勾股定理列方程并解得的值，易得，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴；（2）取中