.4.3余弦定理、正弦定理課時(shí)3余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例基礎(chǔ)知識(shí)鞏固練知識(shí)點(diǎn)1距離問題1.已知長方形墻ACFE把地面上B,D兩點(diǎn)隔開,該墻與地面垂直,長10米,高3米.已測得AB=6米,BC=8米.現(xiàn)欲通過計(jì)算,能唯一求得B,D兩點(diǎn)之間的距離,需要進(jìn)一步測量的幾何量可以為()A.點(diǎn)D到AC的距離 B.CD長度和DF長度C.∠ACB和∠ADC D.CD長度和∠ACD2.一艘輪船從A處出發(fā),以40海里/小時(shí)的速度沿西偏南50°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,輪船在A處觀察燈塔,其方向是東偏南25°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東85°,則B,C兩點(diǎn)間的距離為()A.10(6+2)海里 B.10(6-2)海里C.103海里 D.102海里知識(shí)點(diǎn)2高度問題3.如圖,測量河對(duì)岸塔高AB時(shí),選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C和D.現(xiàn)測得α=75°,β=60°,CD=20m,在點(diǎn)C處測得塔頂A的仰角為θ=60°,則塔高AB為()A.303m B.206mC.302m D.106m4.如圖,為測量超然樓的高度,選擇C和一個(gè)樓房DE的樓頂E為觀測點(diǎn),已知A,C,D在水平地面上,超然樓AB和樓房DE都垂直于地面.已知DE=14m,∠ACD=45°,∠ADC=60°,在C點(diǎn)處測得E點(diǎn)的仰角為15°,在E點(diǎn)處測得B點(diǎn)的仰角為45°,則超然樓的高度AB=()A.(12+283)m B.(32+143)mC.(14+283)m D.(28+143)m5.位于河南省焦作市的“騰飛”銅馬雕塑如圖所示,建于1985年,寓意焦作人民奮發(fā)昂揚(yáng)的精神風(fēng)貌.某同學(xué)為測量雕塑的高度CD,選取了與雕塑底部在同一條水平直線上的點(diǎn)A,B,并測得∠DAC=30°,∠DBC=75°,AB=19米,則雕塑的高度CD為參考數(shù)據(jù):sin75°=6+24A.19(6+2)C.19(3+1)46.如圖,在離地面高為MD=400m的熱氣球M上,觀測到山頂C處的仰角為15°,山腳A處的俯角為45°,已知∠BAC=60°,則山的高度BC=m(A,B,C,D,M在同一鉛垂平面內(nèi)).

知識(shí)點(diǎn)3角度問題7.如圖,在坡度一定的山坡AD上的A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡AD的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處,在B處測得C對(duì)于山坡AD的斜度為45°.若CD=50m,山坡AD與地平面AE的夾角為θ,則cosθ等于()A.22 B.32C.2-1 D.綜合能力提升練8.老虎甲在A地發(fā)現(xiàn)野鹿乙在北偏東15°方向上的B地,立刻以103m/s的速度進(jìn)行追捕,與此同時(shí),野鹿乙以102m/s的速度往北偏東75°方向逃竄,假設(shè)甲、乙都是勻速直線運(yùn)動(dòng),且AB=500(6-2)m,則甲能夠一次性捕獲乙的最短時(shí)間為()A.60s B.80s C.100s D.120s9.如圖,某工程隊(duì)將從A到D修建一條隧道,工程隊(duì)從A出發(fā)向正東行103km到達(dá)B,然后從B向南偏西45°方向行了一段距離到達(dá)C,再從C向北偏西75°方向行了42km到達(dá)D.已知C在A南偏東15°方向上,則A到D隧道的長度為()A.278km B.253kmC.238km D.82km10.2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m),三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.三角高程測量法的一個(gè)示意圖如圖所示,現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°,BB'與CC'的差為100;由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'-CC'約為(3≈1.732)()A.346 B.373 C.446 D.47311.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.12.如圖,海岸線上有相距5海里的兩座燈塔A,B.燈塔B位于燈塔A的正南方向.海上停泊著兩艘輪船,甲船位于燈塔A的北偏西75°,與A相距32海里的D處;乙船位于燈塔B的北偏西60°方向,與B相距5海里的C處,此時(shí)乙船與燈塔A之間的距離為海里,兩艘輪船之間的距離為海里.

13.如圖所示,某旅游景區(qū)的B,C景點(diǎn)相距2km,測得觀光塔AD的塔底D在景點(diǎn)B的北偏東45°,在景點(diǎn)C的北偏西60°方向上,在景點(diǎn)B處測得塔頂A的仰角為45°,現(xiàn)有游客甲從景點(diǎn)B沿直線去往景點(diǎn)C,則沿途中觀察塔頂A的最大仰角的正切值為.(塔頂大小和游客身高忽略不計(jì))

14.如圖,某運(yùn)動(dòng)員從A市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時(shí)5km的速度向東進(jìn)行長跑訓(xùn)練,長跑開始時(shí),在A市南偏東方向距A市25km,且與海岸距離為15km的海上B處有一艘小艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā),要追上這位運(yùn)動(dòng)員.(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員?(2)求小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB的夾角.答案1.D在△ABC中,由余弦定理的推論可求得∠BAC和∠BCA,要求出BD的長,需解以BD為邊的三角形,對(duì)比選項(xiàng)可知選項(xiàng)D可以解△BCD,從而求出BD.2.A由題易知AB=40×12由正弦定理得BCsin105°則BC=40sin105°=40×sin(60°+45°)=40×32×22+3.C在△BCD中,∠CBD=180°-75°-60°=45°,由正弦定理得CDsin∠CBD=BCsinβ,則BC=CD·在Rt△ABC中,AB=BC·tanθ=106×3=302(m).故選C.4.D如圖,過E作EF⊥AB,交AB于點(diǎn)F,因?yàn)樵贓點(diǎn)處測得B點(diǎn)的仰角為45°,所以△BFE為等腰直角三角形,所以BF=EF.由題意得∠ECD=15°,ED⊥CD,所以CD=DEtan15°=14tan15°m,在△ACD中,易知∠CAD=75°,由正弦定理得ADsinsin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=6-所以AD=14×4×226則AB=BF+AF=AD+ED=14(3+1)+14=(28+143)m.5.B如圖,過點(diǎn)C分別作A'C',B'C'的平行線,分別交A'A與B'B于點(diǎn)D和E,連接DE,則DE∥A'B',過點(diǎn)B作DE的平行線BF,交AA'于點(diǎn)F.故△A'B'C'≌△DEC,∴∠DCE=∠A'C'B'=45°,∠CDE=∠C'A'B'=180°-∠A'C'B'-∠A'B'C'=75°.在Rt△BCE中,可得tan15°=BECE,即2-3=100∴CE=1002-3在△CDE中,由正弦定理可得DEsin45°∴DE=sin45°sin又知在Rt△ABF中,∠ABF=45°,所以AF=BF,所以AA'-CC'=AD=AF+DF=AF+BE=BF+BE=DE+BE=100(2+3)≈373.故選B.6.答案1006解：依題意有AB=600m,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°.在△ABC中,由ABsin∠ACB=得600sin45°=CB在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=1006m,則此山的高度CD=1006m.7.C設(shè)CD=h米,則在△DCB中,DB=hsin因?yàn)椤螪BC=75°,∠DAC=30°,∠DBC=∠DAC+∠ADB,所以∠ADB=75°-30°=45°.在△DBA中,由正弦定理得DBsin∠DAB=即hsin75°·所以h=19sin75°·8.答案600解：易知∠MAD=45°,又∠BAC=60°,所以∠MAC=180°-45°-60°=75°,所以∠MCA=180°-75°-15°-45°=45°,因?yàn)閟in∠MAD=MDMA,所以MA=MDsin∠MAD=40022=4002(m),在△ACM中,易知ACsin60°=9.D因?yàn)椤螩BD=45°,∠CAB=15°,所以∠ACB=45°-15°=30°,在△ABC中,由正弦定理得BCsin15°易知sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=6-所以BC=100×sin15°sin30在△BCD中,由正弦定理得50(6-所以sin∠BDC=50(6-2)×sin10.C由題可得示意圖如圖所示,設(shè)經(jīng)過ts在點(diǎn)C處甲捕獲乙,在△ABC中,易知∠ABC=120°,AB=500(6-2)m,BC=102tm,AC=103tm,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2×AB×BC×cos∠ABC,∴300t2=1000000(2-3)+200t2-2×500(6-2)×102t×-1化簡得t2-100(3-1)t-10000(2-3)=0,解得t1=100,t2=100(3-2)<0(舍去),∴能夠一次性捕獲乙的最短時(shí)間為100s.11.C連接AC,由題意得∠ABC=45°,∠ACD=75°-15°=60°,∠BCD=75°+45°=120°,∠ACB=60°,AB=103km,CD=42km,在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,即103在△ACD中,由余弦定理得AD=A=(102)故選C.12.答案5;13解：連接AC,由題意可知AB=BC=5,∠ABC=60°,則△ABC為等邊三角形,可得AC=5,∠BAC=60°.在△ACD中,易求∠CAD=45°,根據(jù)余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2·AC·AD·cos∠CAD=25+18-2×5×32×22=13.所以CD=13.故乙船與燈塔A之間的距離為5海里,兩艘輪船之間的距離為1313.答案2解：由塔底D在景點(diǎn)B的北偏東45°,在景點(diǎn)C的北偏西60°方向上,可知∠DBC=45°,∠DCB=30°,在△BDC中,BC=2km,sin∠BDC=sin(45°+30°)=6+24,由正弦定理得BDsin30在Rt△ABD中,AD=BDtan45°=46記游客甲在E處,連接DE,AE,可得AD⊥DE,則tan∠AED=ADDE=4當(dāng)DE取最小值時(shí),DE=BD·sin45°=46+2×2易知∠AED是銳角,又正切函數(shù)在0,tan∠AED的最大值為4(6+14.解：(1)設(shè)小艇以vkm/h的速度從B處向C處出發(fā),th后與運(yùn)動(dòng)員在C處相遇,如圖,在△ABC中,AB=25km,AC=5tkm,BC=vtkm,sin∠BAC=BDAB=