計(jì)算技巧及題庫答案

一、單項(xiàng)選擇題，(總共10題，每題2分)。1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于f(a)與f(b)的算術(shù)平均值，這個(gè)定理是A.中值定理B.羅爾定理C.拉格朗日中值定理D.泰勒定理答案：C2.極限lim(x→0)(sinx/x)等于A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在答案：B3.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)等于A.3x^2-3B.3x^2+3C.2x^3-3D.3x^2-2答案：A4.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=0，則函數(shù)在x0處A.必有極值B.必?zé)o極值C.不一定有極值D.可能有極值答案：C5.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值等于A.e-1B.eC.1D.1/e答案：A6.若級數(shù)Σ(a_n)收斂，則下列級數(shù)中必定收斂的是A.Σ(2a_n)B.Σ(-a_n)C.Σ(a_n^2)D.Σ(1/a_n)答案：B7.函數(shù)f(x)=ln(x)在x=1處的泰勒展開式的前三項(xiàng)是A.1-x+x^2B.x-x^2+x^3C.1-x+x^2D.1+x+x^2答案：C8.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則根據(jù)介值定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得A.f(ξ)=0B.f(ξ)>0C.f(ξ)<0D.f(ξ)=f(a)+f(b)答案：A9.函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[1,2]上的積分等于A.3B.4C.5D.6答案：B10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的積分可以表示為A.lim(n→∞)Σ(f(x_i)Δx_i)B.lim(n→∞)Σ(f(a_i)Δx_i)C.Σ(f(x_i)Δx_i)D.Σ(f(a_i)Δx_i)答案：A二、多項(xiàng)選擇題，(總共10題，每題2分)。1.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=sin(x)答案：BD2.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上連續(xù)的是A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=e^xD.f(x)=ln(x)答案：BCD3.下列級數(shù)中，收斂的是A.Σ(1/n)B.Σ(1/n^2)C.Σ((-1)^n/n)D.Σ((-1)^n/n^2)答案：BD4.下列函數(shù)中，在x=0處有極值的是A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=cos(x)D.f(x)=e^x答案：AC5.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上的積分等于1的是A.f(x)=1B.f(x)=xC.f(x)=x^2D.f(x)=x^3答案：AC6.下列級數(shù)中，發(fā)散的是A.Σ(1/n^2)B.Σ(1/n)C.Σ((-1)^n/n^2)D.Σ((-1)^n/n)答案：BD7.下列函數(shù)中，在x=0處有泰勒展開式的是A.f(x)=e^xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=cos(x)D.f(x)=ln(x)答案：ABC8.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增的是A.f(x)=xB.f(x)=x^2C.f(x)=-xD.f(x)=-x^2答案：AB9.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上可積的是A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=e^xD.f(x)=ln(x)答案：BCD10.下列級數(shù)中，條件收斂的是A.Σ(1/n)B.Σ(1/n^2)C.Σ((-1)^n/n)D.Σ((-1)^n/n^2)答案：C三、判斷題，(總共10題，每題2分)。1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于f(a)與f(b)的算術(shù)平均值，這個(gè)命題是正確的。答案：正確2.極限lim(x→0)(sinx/x)等于1，這個(gè)命題是正確的。答案：正確3.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)等于3x^2-3，這個(gè)命題是正確的。答案：正確4.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=0，則函數(shù)在x0處必有極值，這個(gè)命題是錯誤的。答案：錯誤5.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值等于e-1，這個(gè)命題是正確的。答案：正確6.若級數(shù)Σ(a_n)收斂，則級數(shù)Σ(-a_n)必定收斂，這個(gè)命題是正確的。答案：正確7.函數(shù)f(x)=ln(x)在x=1處的泰勒展開式的前三項(xiàng)是1-x+x^2，這個(gè)命題是正確的。答案：正確8.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則根據(jù)介值定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0，這個(gè)命題是正確的。答案：正確9.函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[1,2]上的積分等于4，這個(gè)命題是正確的。答案：正確10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的積分可以表示為lim(n→∞)Σ(f(x_i)Δx_i)，這個(gè)命題是正確的。答案：正確四、簡答題，(總共4題，每題5分)。1.簡述中值定理的內(nèi)容及其意義。答案：中值定理內(nèi)容是：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。意義在于它建立了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的變化率與函數(shù)值之間的關(guān)系，是微分學(xué)中非常重要的定理。2.簡述級數(shù)收斂的必要條件。答案：級數(shù)Σ(a_n)收斂的必要條件是：a_n→0（當(dāng)n→∞時(shí)）。也就是說，級數(shù)的通項(xiàng)必須趨于零，這是級數(shù)收斂的必要條件，但不是充分條件。3.簡述導(dǎo)數(shù)的幾何意義。答案：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率。即，如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率。4.簡述積分的幾何意義。答案：積分的幾何意義是函數(shù)在某一區(qū)間上的定積分表示由函數(shù)曲線、x軸以及區(qū)間的端點(diǎn)所圍成的曲邊梯形的面積。具體來說，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么∫[a,b]f(x)dx就是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，其幾何意義是上述曲邊梯形的面積。五、討論題，(總共4題，每題5分)。1.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性。答案：函數(shù)f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。在區(qū)間[-2,-1)上，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間(-1,1)上，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間(1,2]上，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，函數(shù)在x=-1和x=1處分別有局部極大值和局部極小值。2.討論級數(shù)Σ((-1)^n/n)的收斂性。答案：級數(shù)Σ((-1)^n/n)是一個(gè)交錯級數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，如果級數(shù)的通項(xiàng)a_n的絕對值單調(diào)遞減且趨于零，則級數(shù)收斂。對于級數(shù)Σ((-1)^n/n)，a_n=1/n，顯然滿足條件，因此級數(shù)Σ((-1)^n/n)收斂。3.討論函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值。答案：函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值可以通過計(jì)算定積分∫[0,1]e^xdx來得到。計(jì)算結(jié)果為e-1，因此函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,