三角函數(shù)專題強(qiáng)化(填空)一.填空題(共40小題)3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,那么sinA=_·4.一直角三角形中，斜邊與一直角邊的比是13:12,最小角為α,則sinα=,cosa=,tana=·9.在△ABC中，已知∠C=90°,,則sinA-sinB=13.已知在Rt△ABC中，∠C=90°,,則sinA=14.如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)，則cos∠BAC=·15.計算：2sin60°+tan45°=18.在銳角△ABC中，則∠C的正切值是19.如圖，在△ABC中，已知AB=AC,∠A=45°,BD⊥AC于點(diǎn)D.根據(jù)該圖可以求出tan22.5°=_22.在△ABC中，∠A=120°,AB=4,AC=2,則sinB的值是24.如圖，在△ABC中，∠A=30°,∠B=45°,AC=2√3,則AB的長為CC25.在Rt△ABC中，∠A=90°,有一個銳角為60°,BC=6.若點(diǎn)P在直線AC上(不與點(diǎn)A,C重合),且26.將直角邊長為5cm的等腰直角△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)15°后，得到△AB'C',則圖中陰影部分的面積27.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=37°,BC=32,則AC=(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80此時點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，延長線段AD,交原△ABC的邊BC的延長線于點(diǎn)E,那么線段DE的長等于_則CD的長為30.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,31.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,BC=6,則AB的長為·32.請運(yùn)用你喜歡的方法求tan75°=·35.如圖，將一塊斜邊長為12cm,∠B=60°的直角三角板ABC,繞點(diǎn)C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△A'B'C'的位置，再沿CB向右平移，使點(diǎn)B'剛好落在斜邊AB上，那么此三角板向右平移的距離是cm.36.將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=14cm,則陰影部分的面積是cm2.37.已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1:2.4,如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為米.38.如圖，某登山運(yùn)動員從營地A沿坡角為30°的斜坡AB到達(dá)山頂B,如果AB=2000米，則他實際上升39.如圖所示，某河堤的橫斷面是梯形ABCD,BC//AD,迎水坡AB長13米，且,則河堤40.為解決停車難的問題，在如圖一段長56米的路段開辟停車位，每個車位是長5米寬2.2米的矩形，矩形的邊與路的邊緣成45°角，那么這個路段最多可以劃出個這樣的停車位.(√2≈1.4)三角函數(shù)專題強(qiáng)化(填空)一.填空題(共40小題)【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值以及互余兩角的銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠A的取值范圍.故答案為：20°<∠A<30°.【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系以及特殊角的三角函數(shù)值，得出sin70°=cos20°是解題關(guān)鍵.2.在△ABC中，∠C=90°,AB=13,BC=5,則sinA的值是【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義求解，sinA為∠A的對邊比斜邊，求出即可.【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°,AB=13,BC=5,故答案為【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.那么3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,那么【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的長，根據(jù)正弦的概念求出sinA.【解答】解：∵,∠C=90°,BC=3,AC=4,故答案為：【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.4.一直角三角形中，斜邊與一直角邊的比是13:12,最小角為α,則,tanα=【分析】先根據(jù)斜邊與一直角邊的比是13:12設(shè)出斜邊與直角邊的長，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長.運(yùn)用三角函數(shù)的定義求解.【解答】解：設(shè)斜邊為13x,則一直角邊的邊長為12x,另一直角邊的邊長=√132-122×=5x.【點(diǎn)評】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，比較簡單.5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,CD【分析】首先利用勾股定理計算出BC長，然后再利用直角三角形的面積公式計算出CD長，再用余弦定義可得答案.【解答】解：∵AC=2,AB=3,∠ACB=90°,CC故答案為：【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握余弦6.如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)C在∠BAD的一邊AD上，且A、B、C為格點(diǎn)，sin∠BAD的值是_【分析】連接BC,根據(jù)勾股定理，可求得AB,BC,AC,再根據(jù)勾股定理的逆定理，可得△ABC為直角三角形，即可求得sin∠BAD的值.【解答】解：連接BC,根據(jù)勾股定理，可求得AB=√5,BC=√5,AC=√10,根據(jù)勾股定理的逆定理，可得∠ABC=90°,故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及逆定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.7.已知α為一銳角，且cosα=sin60°,則α=30度.【分析】根據(jù)∠A,∠B均為銳角，若sinA=cosB,那么∠A+∠B=90°即可得到結(jié)論.【解答】解：∵sin60°=cos(90°-60°),故答案為：30.【點(diǎn)評】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，牢記互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵.【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算.【解答】解：∵3a=√3b,【點(diǎn)評】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主.【相關(guān)鏈接】特殊角三角函數(shù)值：【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，將sinA+sinB平方，把sin2A+cos2A=1,sinB=cosA代入求出2sinAcosA的值，代入即可求解.【解答】解：【點(diǎn)評】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，掌握互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答.【點(diǎn)評】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，熟記關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.【解答】解：∵tan(90°-a)=√3,【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.【分析】本題涉及零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪三個考點(diǎn).在計算時，需要針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果.【解答】解：【點(diǎn)評】本題考查實數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪等考點(diǎn)的運(yùn)算.【分析】根據(jù),設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達(dá)式即可推出sinA的值.【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,【點(diǎn)評】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系.求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角(或余角)的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值.14.如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)，則【分析】分別利用勾股定理求出AB、BC、AC的長度，然后判斷△ABC的形狀，得出∠BAC的度數(shù)，求則△ABC為等腰直角三角形，則故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及勾股定理及逆定理，解答本題的關(guān)鍵是判斷三角形ABC為直角三角形.【分析】根據(jù)特殊三角函數(shù)值，可得答案.【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值.【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可.【解答】解：故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及偶次方和絕對值的性質(zhì)得出∠A和∠B的度數(shù)進(jìn)而求出即可.【解答】解：故答案為：90°.【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及偶次方和絕對值的性質(zhì)，正確得出∠A和∠B的度數(shù)是解題關(guān)鍵.【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出算式，求出∠A和∠B,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C,根據(jù)正切的概念解答即可.【解答】解：由題意得，解得，∠A=60°,∠B=60°,則∠C=180°-60°-60°=60°,則∠C的正切值是√3,【點(diǎn)評】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，掌握幾個非負(fù)數(shù)相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.CC【分析】根據(jù)AB=AC,∠A=45°,BD⊥AC,求出∠DBC的度數(shù)，設(shè)AD為x,表示出CD、BD,根據(jù)正切的定義求解即可.【解答】解：∵AB=AC,∠A=45°,【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的知識，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，注意等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用.【分析】先在Rt△ACM中利用余弦定義得到,則可設(shè)AC=4x,AM=5x,接著根據(jù)勾股定理可計算出CM=3x,所以BC=2CM=6x,然后在Rt△ABC中利用正切的定義求解.【解答】解：在Rt△ACM中，而AM是BC邊上的中線，所以BC=2CM=6x,故答案【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.BB【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于D,利用∠A的正弦值求出CD,再根據(jù)∠B的正切值求出BD,利用勾股定理列式求出BC的長.【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D,故答案為√10.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，作輔助線構(gòu)造出兩個直角三角形是解題的關(guān)鍵.22.在△ABC中，∠A=120°,AB=4,AC=2,則sinB的值是【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，作CD垂直于BA,交BA延長線于點(diǎn)D,在直角三角形ACD中，利用鄰補(bǔ)角定義求出∠CAD=60°,進(jìn)而確定出∠ACD=30°,利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長，利用勾股定理求出CD的長，由AD+DB求出DB的長，在直角三角形BCD中，利用勾股定理出∠BDH=45°,于是得到BD=√2DH=2√2,然后在Rt△BCD中，利用∠BDC的正弦可計算出BC=√6,在Rt△BCD中，∵【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.合理作輔助線構(gòu)建特殊直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.24.如圖，在△ABC中，∠A=30°,∠B=45°,AC=2√3,【分析】過C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根據(jù)含30度角的直角三角形求出CD,根據(jù)勾股定理求出AD,相加即可求出答案.【解答】解：過C作CD⊥AB于D,由勾股定理得：AD=√AC2-cD2=3,故答案為：3+√3.【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目.25.在Rt△ABC中，∠A=90°,有一個銳角為60°,BC=6.若點(diǎn)P在直線AC上(不與點(diǎn)A,C重合),且【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分4種情況進(jìn)行討論，利用直角三角形的性質(zhì)解答.【解答】解：如圖1:當(dāng)∠C=60°時，∠ABC=30°,∴△PBC是等邊三角形，如圖3:當(dāng)∠ABC=60°時，∠C=30°,如圖4:故答案為：6或2√3或4√3.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.26.將直角邊長為5cm的等腰直角△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)15°后，得到△AB'C',則圖中陰影部分的面積是【分析】陰影部分為直角三角形，且∠C'AB=30°,AC'=5,解此三角形求出短直角邊后計算面積.【解答】解：∵等腰直角△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB'C',∴陰影部分的面【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形.旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等.要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點(diǎn)-旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度.(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80【分析】根據(jù)正切的定義得到然后把tan37°≈0.75和BC=32代入計算即可.【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,所以即所以AC=32·tan37°=32×0.75=24.故答案為：24.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.此時點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，延長線段AD,交原△ABC的邊BC的延長線于點(diǎn)E,那么線段DE的長等于4√3 【分析】作CH⊥AE于H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算出=75°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AB=8,∠CAD=∠BAC=30°,則利用三角形外角性質(zhì)可計算出∠E=45°,接著在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得,AH=√3CH=4√3,所以DH=AD-AH=8-4√3,然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4,于是可得DE=EH-DH=4√3-4.【解答】解：作CH⊥AE于H,如圖，∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在原△ABC的點(diǎn)C處，此時點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°,在Rt△CEH中，∵∠E=45°,故答案為4√3-4.EE【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.也考查了等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).29.BD為等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1,tan∠ABD=√3,則CD的長為【分析】分兩種情況：①如圖1,∠A為鈍角，AB=AC,在R?△ABD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果；②如圖2,∠A為銳角，AB=AC,在R?△ABD中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果；③如圖3,∠A為底角，由tan∠ABD=√3,得到∠ABD=60°于是得到∠A=30°,求得∠C=120°,在R?△BCD中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【解答】解：分三種情況：①如圖1,∠A為鈍角，AB=AC,在R?△ABD中，∵BD=1,tan∠ABD=√3,②如圖2,∠A為銳角，AB=AC,在R△ABD中，∵BD=1,tan∠ABD=√3,③如圖3,∠A為底角，④∠C為銳角且為頂角時，∴這種情況不存在；綜上所述；CD的長為：故答案為：2+√3或A圖4C圖1A【解答】解：在Rt△ABC與Rt△BCD中，∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，因而求一個角的函數(shù)值，可以轉(zhuǎn)化為求與它相等的其它角的三角函數(shù)值.【分析】根據(jù)及特殊角的三角函數(shù)值解題.【解答】解：即故答案為：4√3.【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，是基礎(chǔ)知識，需要熟練掌握.【分析】先作△BCD,使∠C=90°,∠DBC=30°,延長CB到A,使AB=BD,連接AD,得出∠ADC=75°,設(shè)CD=x,用含x的代數(shù)式表示出AB、BD、BC,進(jìn)一步表示出AC.根據(jù)tan∠ADC=tan75°=AC:CD求【解答】解：如圖，作△BCD,使∠C=90°,∠DBC=30°,延長CB到A,使AB=BD,連接AD.故答案為2+√3.【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的知識，解題的關(guān)鍵是作出含75°角的直角三角形，然后在直角三角形中求解，要求學(xué)生有較強(qiáng)邏輯推理能力和運(yùn)算能力.33.在Rt△ABC中，∠C=90°,,BC=8,則△ABC【分析】根據(jù)tanA的值及BC的長度可求出AC的長度，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行計算即可.【解答】解：∴△ABC的面積故答案為：24.【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的知識，比較簡單，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中正切的表示形式，從而得出三角形的兩條直角邊，進(jìn)而得出三角形的面積.34.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是AB的中點(diǎn)，過D點(diǎn)作AB的垂線交AC于點(diǎn)1【分析】在Rt△ABC中，先求出AB,AC繼而得出AD,再由△ADE∽△ACB,利用對應(yīng)邊成比例可求出【解答】解：∵BC∵即故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義及勾股定理的表達(dá)35.如圖，將一塊斜邊長為12cm,∠B=60°的直角三角板ABC,繞點(diǎn)C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△A'B'C'的位置，再沿CB向右平移，使點(diǎn)B'剛好落在斜邊AB上，那么此三角板向右平移的距離是(6-2√3)【分析】綜合利用直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的概念及旋轉(zhuǎn)，平移的性質(zhì)解題.【解答】解：如圖，BC=AB·cos60°=6.由平移的性質(zhì)知：【點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，注意旋轉(zhuǎn)和平移后的圖形與原圖形全等.36.將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=14cm,則陰影部分的面積是【分析】由于BC//DE,那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面積，必須先求出直角邊AC的長；Rt△ABC中，已知斜邊AB及∠B的度數(shù)，易求得AC的長，進(jìn)而可根據(jù)三角形面積的計算方法求出陰影部分的面積.【解答】解：∵∠B=30°,∠ACB=90°,AB=14cm,由題意可知BC//ED,(cm2).故答案為：【點(diǎn)評】發(fā)現(xiàn)△ACF是等腰直角三角形，并能根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出直角邊AC的長，是解答此題的關(guān)鍵.37.已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1:2.4,如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為26米.【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案.∴在Rt△ABE中，AB=√AE2+BE2=26(米).故答案為：26.38.如圖，某登山運(yùn)動員從營地A沿坡角為30°的斜坡AB到達(dá)山頂B,如果AB=2000米，則他實際上升在Rt△ABC中，知識進(jìn)行求解.=50.96÷3.1+1【分析】在Rt△ABE中，根據(jù)tan∠BAE的值，可得到BE、AE的比例關(guān)系，進(jìn)而由勾股定理求得BE、AE的長，由此得解.【解答】解：因為設(shè)BE=12x,則AE=5x;在Rt△ABE中，由勾股定理知：AB2即：132=(12x)2+(5x)2,解得：x=1或-1(負(fù)值舍去);所以BE=12x=12(米).故答案為：12.【點(diǎn)評】本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的應(yīng)用.40.為解決停車難的問題，在如圖一段長56米的路段開辟停車位，每個車位是長5米寬2.2米的矩形，矩形的邊與路的邊緣成45°角，那么這個路段最多可以劃出17個這樣的停車位.(√2≈1.4)【分析】如圖，根據(jù)三角函數(shù)可求BC,CE,由BE=BC+CE可求BE,再根據(jù)三角函數(shù)可求EF,再根據(jù)停車位的個數(shù)=(56-BE)÷EF+1,列式計算即可求解.=17.4(個).故這個路段最多可以劃出17個這樣的停車位.故答案為：17.【點(diǎn)評】考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)及運(yùn)算，關(guān)鍵把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計算.三角函數(shù)專題強(qiáng)化(解答)一.解答題(共40小題)3.計算：4.已知a是銳角，且計算√8-4cosa-(π-3.14)0+的值.8.計算：(√2011-1)0+√18sin45°-2.9.計算：tan30*sin60°+cos230°-(2)sin∠ADC的值.求sinC的值.13.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)A作AE⊥CD,AE分別與CD、14.如圖，平臺AB高為12m,在B處測得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°,底部點(diǎn)C的俯角為30°,求樓房CD的高度(√3=1.7).15.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,∠A=30°,D果保留根號)17.如圖，直立于地面上的電線桿AB,在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC、CD,測得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°,在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°,試求電線桿的高度(結(jié)果保留根號)18.如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°.(1)求AB段山坡的高度EF;(2)求山峰的高度CF.(√2≈1.414,CF結(jié)果精確到米)19.如圖，一條輸電線路從A地到B地需要經(jīng)過C地，圖中AC=20千米，∠CAB=30°,∠CBA=45°,因線路整改需要，將從A地到B地之間鋪設(shè)一條筆直的輸電線路.(1)求新鋪設(shè)的輸電線路AB的長度；(結(jié)果保留根號)(2)問整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了多少千米?(結(jié)果保留根號)20.如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°,AC=8,D為線段BC上一點(diǎn)，并且CD=2.②求tanC的值.22.如圖，△ABC中，∠ACB=90°,BC=8,D是AB中點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)E.(1)求線段CD的長；23.如圖是一座人行天橋的示意圖，天橋的高度是10米，CB⊥DB,坡面AC的傾斜角為45°.為了方便行人推車過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面DC的坡度為i=√3:3.若新坡角外需留3米寬的人行道，問離原坡角(A點(diǎn)處)10米的建筑物是否需要拆除?(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.414,√3≈1.732)24.如圖，從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ,測得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°,向前走6m到達(dá)B點(diǎn)，(1)求∠BPQ的度數(shù)；(2)求該電線桿PQ的高度(結(jié)果精確到1m).備用數(shù)據(jù)：√3≈1.7,√2≈1.4.25.如圖所示，某數(shù)學(xué)活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°,朝大樹方向下坡走6米到達(dá)坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°,若坡角∠FAE=30°,求大樹的高度(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,√3≈1.73)26.如圖1是“東方之星”救援打撈現(xiàn)場圖，小紅據(jù)此構(gòu)造出一個如圖2所示的數(shù)學(xué)模型，已知：A、B、D三點(diǎn)在同一水平線上，CD⊥AD,∠A=30°,∠CBD=75°,AB=60m.27.如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°,已知測角儀高AB為1.5米，求拉線CE的長(結(jié)果保留根號).28.甲、乙兩條輪船同時從港口A出發(fā)，甲輪船以每小時30海里的速度沿著北偏東60°的方向航行，乙輪船以每小時15海里的速度沿著正東方向行進(jìn)，1小時后，甲船接到命令要與乙船會合，于是甲船改變了行進(jìn)的速度，沿著東南方向航行，結(jié)果在小島C處與乙船相遇.假設(shè)乙船的速度和航向保持不變，求：29.如圖，某倉儲中心有一斜坡AB,其坡度為i=1:2,頂部A處的高AC為4m,B、C在同一水平地面(2)矩形DEFG為長方體貨柜的側(cè)面圖，其中DE=2.5m,EF=2m,將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)送，當(dāng)BF=3.5m時，求點(diǎn)D離地面的高.(√5≈2.236,結(jié)果精確到0.1m)30.如圖所示，一幢樓房AB背后有一臺階CD,臺階每層高0.2米，且AC=17.2米，設(shè)太陽光線與水平地面的夾角為α,當(dāng)α=60°時，測得樓房在地面上的影長AE=10米，現(xiàn)有一只小貓睡在臺階的MN這層上曬太陽.(√3取1.73)(1)求樓房的高度約為多少米?(2)過了一會兒，當(dāng)α=45°時，問小貓能否還曬到太陽?請說明理由.31.據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一，所以規(guī)定以下情境中的速度不得超過15m/s,在一條筆直公路BD的上方A處有一探測儀，如平面幾何圖，AD=24m,∠D=90°,第一次探測到一輛轎車從B(2)通過計算，判斷此轎車是否超速.32.根據(jù)道路管理規(guī)定，在賀州某段筆直公路上行駛的車輛，限速40千米/時，已知交警測速點(diǎn)M到該公路A點(diǎn)的距離為10√2米，∠MAB=45°,∠MBA=30°(如圖所示),現(xiàn)有一輛汽車由A往B方向勻速行駛，(1)求測速點(diǎn)M到該公路的距離；(2)通過計算判斷此車是否超速.(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.41,√3≈1.73,√5≈2.24)33.如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號.已知A、B測點(diǎn)D,測得船C正好在觀測點(diǎn)D的南偏東75°方向上.(1)分別求出A與C,A與D之間的距離AC和AD(如果運(yùn)算結(jié)果有根號，請保留根號).(2)已知距觀測點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁.若巡邏船A沿直線AC去營救船C,在去營救34.如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB,小穎在坡面D處測得條幅頂部A的仰角為30°,沿坡面向下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到C處，測得條幅的底部B的仰角為45°,此時小穎距大樓底端N處20米.已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:√3(即tan∠DEM=1:√3),條直線上，求條幅的長度(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：√3≈1.73,√235.如圖，臺風(fēng)中心位于點(diǎn)O處，并沿東北方向(北偏東45°),以40千米/小時的速度勻速移動，在距離臺風(fēng)中心50千米的區(qū)域內(nèi)會受到臺風(fēng)的影響，在點(diǎn)O的正東方向，距離60√2千米的地方有一城市A.(1)問：A市是否會受到此臺風(fēng)的影響，為什么?(2)在點(diǎn)O的北偏東15°方向，距離80千米的地方還有一城市B,問：B市是否會受到此臺風(fēng)的影響?若受到影響，請求出受到影響的時間；若不受到影響，請說明理由.北36.如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB,現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD,小張在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB=80.0米，∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5°.請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置.(以A,B為參照點(diǎn)，結(jié)果精確到0.1米)37.如圖，A為某旅游景區(qū)的最佳觀景點(diǎn)，游客可從B處乘坐纜車先到達(dá)小觀景平臺DE觀景，然后再由E處繼續(xù)乘坐纜車到達(dá)A處，返程時從A處乘坐升降電梯直接到達(dá)C處，已知：AC⊥BC于C,DE//BC,tan32°≈0.62;sin68°≈0.93;cos68°≈0.37;tan68°CC38.閱讀材料：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a,b,c.利用上述結(jié)論可以求解如下題解：在△ABC中，理解應(yīng)用：如圖，甲船以每小時30√2海里的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A?處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B?處，且乙船從B?處按北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A?時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B?處，此時兩船相距10√2海里.(1)判斷△A?A?B?的形狀，并給出證明；(2)求乙船每小時航行多少海里?39.如圖，我南海某海域A處有一艘捕魚船在作業(yè)時突遇特大風(fēng)浪，船長馬上向我國漁政搜救中心發(fā)出求救信號，此時一艘漁政船正巡航到捕魚船正西方向的B處，該漁政船收到漁政求救中心指令后前去救援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達(dá)，于是決定馬上調(diào)整方向，先向北偏東60°方向以每小時30海里的速度航行半小時到達(dá)C處，同時捕魚船低速航行到A點(diǎn)的正北1.5海里D處，漁政船航行到點(diǎn)C處時測得點(diǎn)D在南偏東53°方向上.(1)求CD兩點(diǎn)的距離；(2)漁政船決定再次調(diào)整航向前去救援，若兩船航速不變，并且在點(diǎn)E處相會合，求∠ECD的正弦值.(參考數(shù)據(jù)：40.如圖，公路AB為東西走向，在點(diǎn)A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M;在點(diǎn)A北偏東53.5°方向上，距離10千米處是村莊N(參考數(shù)據(jù)；sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.75).(1)求M,N兩村之間的距離；(2)要在公路AB旁修建一個土特產(chǎn)收購站P,使得M,N兩村到P的距離之和最短，求這個最短距離.三角函數(shù)專題強(qiáng)化(解答)一.解答題(共40小題)【分析】涉及絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的運(yùn)算等考點(diǎn).在計算時，需要針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果.=5.【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)比較多：絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、0運(yùn)算的有關(guān)內(nèi)容，熟練掌握且區(qū)分清楚，才不容易出錯.【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入，然后合并運(yùn)算即可.【解答】解：【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，一些特殊角的三角函數(shù)值是要求同學(xué)們熟練記憶的內(nèi)容.【分析】先根據(jù)二次根式的化簡、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值及0指數(shù)冪把原式化簡，再根據(jù)實數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計算即可.=1.故答案為：1.【點(diǎn)評】本題考查實數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪及二次根式等考點(diǎn)的運(yùn)算.4.已知a是銳角，且【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出α,然后利用二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零的性質(zhì)進(jìn)行化簡，根據(jù)實數(shù)運(yùn)算法則即可計算出結(jié)果.【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)及實數(shù)運(yùn)算法則，難度適中.【分析】本題涉及實數(shù)運(yùn)算、二次根式化簡等多個考點(diǎn).在計算時，需要針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果.【點(diǎn)評】本題考查實數(shù)的運(yùn)算能力，解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點(diǎn)的運(yùn)算.注意：負(fù)指數(shù)為正指數(shù)的倒數(shù)；任何非0數(shù)的0次冪等于1;絕對值的化簡；二次根式的化簡是根號下不能含有分母和能開方的數(shù).6.計算：2?1+√3cos30°+|-5|-(π-2011)°.【分析】分別根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)及0指數(shù)冪計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行解答即可.【解答】解：原=6.故答案為：6.【點(diǎn)評】本題考查的是實數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點(diǎn)的運(yùn)算.7.計算：【分析】本題涉及絕對值、二次根式化簡、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值四個考點(diǎn).針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果.【解答】解：【點(diǎn)評】本題考查實數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點(diǎn)的運(yùn)算.8.計算：(√2011-1)0+√18sin45°-2.【分析】本題涉及零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡，乘方四個考點(diǎn).在計算時，需要針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果.【解答】解：原=0.【點(diǎn)評】此題主要考查了實數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握二次根式的化簡等考點(diǎn)的運(yùn)算.9.計算：tan30°·sin60°+cos230°-sin245°-tan45°.【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入，然后化簡求值即可.【解答】解：【點(diǎn)評】本題考查實數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值.【分析】本題涉及零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、絕對值的化簡、特殊角的銳角三角函數(shù)值4個考點(diǎn).在計算時，需要針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果.【解答】解：原式=1×1+9-2+√3+√3【點(diǎn)評】本題考查實數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的銳角三角函數(shù)值、絕對值的化簡等考點(diǎn)的運(yùn)算.【分析】(1)過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,根據(jù)求出∠C=45°,求出AE=CE=1,根據(jù)求出BE的長即可；(2)根據(jù)AD是△ABC的中線，求出BD的長，得到DE的長，得到答案.【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,在Rt△ABE中，即【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正確應(yīng)用.求sinC的值.【分析】根據(jù),求得BD的長，在直角△ACD中由勾股定理得AC,然后利用正弦的定義求13.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)A作AE⊥CD,AE分別與CD、(1)求sinB的值；(2)如果CD=√5,求BE的值.【分析】(1)根據(jù)∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD,則∠B=∠BCD,再由AE⊥CD,可證明∠B=∠CAH,由AH=2CH,可得出CH:AC=1:√5,即可得出sinB的值；(2)根據(jù)sinB的值，可得出AC:AB=1:√5,再由AB=2√5,得AC=2,則CE=1,從而得出BE.設(shè)CE=x(x>0),則AE=√【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，以及直角三角形斜邊上的中線，注意性質(zhì)的應(yīng)用，難度不大.14.如圖，平臺AB高為12m,在B處測得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°,底部點(diǎn)C的俯角為30°,求樓房CD的高度(√3=1.7).【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及多個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解.【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E,根據(jù)題意，∠DBE=45°,∠CBE=30°.∴四邊形ABEC為矩形.在Rt△BDE中，由∠DBE=45°,得DE=BE=12√3.答：樓房CD的高度約為32.4m.【點(diǎn)評】考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，本題要求學(xué)生借助俯角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.15.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,∠A=30°,D果保留根號)【分析】由題意得到三角形BCD為等腰直角三角形，得到BD=BC,在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BC的長即可.【解答】解：∵∠B=90°,∠BDC=45°,∴△BCD為等腰直角三角形，【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.【分析】先在Rt△ACD中，由正切函數(shù)的定義得,求出AD-4,則BD=AB-AD=8,再解Rt△BCD,由勾股定理得BC=√BD2+cD2=10,【解答】解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°,在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°,BD=8,CD=6,.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，難度適中.17.如圖，直立于地面上的電線桿AB,在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC、CD,測得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°,在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°,試求電線桿的高度(結(jié)果保留根號)【分析】延長AD交BC的延長線于E,作DF⊥BE于F,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出DF、CF的長，根據(jù)正切的定義求出EF,得到BE的長，根據(jù)正切的定義解答即可.【解答】解：延長AD交BC的延長線于E,作DF⊥BE于F,由題意得∠E=30°,答：電線桿的高度為(2√3+4)米.【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.18.如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°.(1)求AB段山坡的高度EF;(2)求山峰的高度CF.(√2≈1.414,CF結(jié)果精確到米)【分析】(1)作BH⊥AF于H,如圖，在Rt△ABH中根據(jù)正弦的定義可計算出BH的長，從而得到EF的(2)先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦計算出CE,然后計算CE和EF的和即可.【解答】解：(1)作BH⊥AF于H,如圖，答：AB段山坡高度為400米，山CF的高度約為541米.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度與坡角問題：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度1的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1:m的形式.把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i—tana.19.如圖，一條輸電線路從A地到B地需要經(jīng)過C地，圖中AC=20千米，∠CAB=30°,∠CBA=45°,因線路整改需要，將從A地到B地之間鋪設(shè)一條筆直的輸電線路.(1)求新鋪設(shè)的輸電線路AB的長度；(結(jié)果保留根號)(2)問整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了多少千米?(結(jié)果保留根號)【分析】(1)過C作CD⊥AB,交AB于點(diǎn)D,在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD與AD的長，在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長，由AD+DB求出AB的長即可；(2)在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的長，由AC+CB-AB即可求出輸電線路比原來縮短的千米數(shù).【解答】解：(1)過C作CD⊥AB,交AB于點(diǎn)D,在Rt△ACD中，(千米),(千米),在Rt△BCD中，(千米),則新鋪設(shè)的輸電線路AB的長度10(√3+1)(千米);則整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了10(1+√2-√3)千米.【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.20.如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°,AC=8,D為線段BC上一點(diǎn)，并且CD=2.【解答】(1)在Rt△ABC中，(2)在Rt△ACD中，②求tanC的值.【分析】(1)由BD⊥AC得到∠ADB=90°,在Rt△ADB中，根據(jù)含30度的直角三角形三再得到AD=√3BD=3√3;(2)先計算出CD=2√3,然后在Rt△BCD中，利用正切的定義求解.【解答】解：(1)∵BD⊥AC,【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.22.如圖，△ABC中，∠ACB=90°,,BC=8,D是AB中點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為(1)求線段CD的長；【分析】(1)在△ABC中根據(jù)正弦的定義得到則可計算出AB=10,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理計算出AC=6,在根據(jù)三角形面積公式得到S△BDC=S△ADC,則△ABC,即于是可計算出然后在Rt△BDE中利用余弦的定義求解.【解答】解：(1)在△ABC中，∵∠ACB=90°,即【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和三角形面積公式.23.如圖是一座人行天橋的示意圖，天橋的高度是10米，CB⊥DB,坡面AC的傾斜角為45°.為了方便行人推車過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面DC的坡度為i=√3:3.若新坡角外需留3米寬的人行道，問離原坡角(A點(diǎn)處)10米的建筑物是否需要拆除?(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.414,√3≈1.732)【分析】需要拆除，理由為：根據(jù)題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，求出AB的長，在直角三角形BCD中，根據(jù)新坡面的坡度求出∠BDC的度數(shù)為30,利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出DC的長，再利用勾股定理求出DB的長，由DB-AB求出AD的長，由AD+3與10比較即可得到結(jié)果.【解答】解：需要拆除，理由為：∴△ABC為等腰直角三角形，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度為i=√3:3,即∠CDB=30°,∴AD=BD-AB=(10√3-10)米≈7.32米，∴需要拆除.【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，涉及的知識有：勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，坡角與坡度之間的關(guān)系，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.24.如圖，從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ,測得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°,向前走6m到達(dá)B點(diǎn)，測得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°.(1)求∠BPQ的度數(shù)；(2)求該電線桿PQ的高度(結(jié)果精確到1m).【分析】(1)延長PQ交直線AB于點(diǎn)E,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；(2)設(shè)PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用x表示出AE和BE,根據(jù)AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函數(shù)求得QE的長，則PQ的長度即可求解.【解答】解：延長PQ交直線AB于點(diǎn)E,在直角△APE中，∠A=45°,在直角△BPE中，米，則答：電線桿PQ的高度約9米.25.如圖所示，某數(shù)學(xué)活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°,朝大樹方向下坡走6米到達(dá)坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°,若坡角∠FAE=30°,求大樹的高度(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,√3≈1.73)【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BC于G,D則四邊形DHCG為矩形.設(shè)BC為x,在直角三角形ABC中，在直角三角形BDG中，∵BG=DG·tan30°,∴大樹的高度為：13米.【點(diǎn)評】本題考查了仰角、坡角的定義，解直角三角形的應(yīng)用，能借助仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵.26.如圖1是“東方之星”救援打撈現(xiàn)場圖，小紅據(jù)此構(gòu)造出一個(1)求點(diǎn)B到AC的距離；(2)求線段CD的長度.【分析】過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E,在直角三角形AEB中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AE的長，在直角三角形CEB中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BE與CE的長，由AE+CE求出AC的長，即可求出CD的長.【解答】解：過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E,在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD-∠A=75°-30°=45°,【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵.27.如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°,已知測角儀高AB為1.5米，求拉線CE的長(結(jié)果保留根號).【分析】由題意可先過點(diǎn)A作AH⊥CD于H.在Rt△ACH中，可求出CH,進(jìn)而CD=CH+HD=CH+AB,再在Rt△CED中，求出CE的長.【解答】解：過點(diǎn)A作AH⊥CD,垂足為H,由題意可知四邊形ABDH為矩形，∠CAH=30°,在Rt△CDE中，答：拉線CE的長為(4+√3)米.【點(diǎn)評】命題立意：此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用.要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.28.甲、乙兩條輪船同時從港口A出發(fā)，甲輪船以每小時30海里的速度沿著北偏東60°的方向航行，乙輪船以每小時15海里的速度沿著正東方向行進(jìn)，1小時后，甲船接到命令要與乙船會合，于是甲船改變了行進(jìn)的速度，沿著東南方向航行，結(jié)果在小島C處與乙船相遇.假設(shè)乙船的速度和航向保持不變，求：(1)港口A與小島C之間的距離；(2)甲輪船后來的速度.【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)解答即可.(2)根據(jù)甲乙兩輪船從港口A至港口C所用的時間相同，可以求出甲輪船從B到C所用的時間，又知BC間的距離，繼而求出甲輪船后來的速度.【解答】解：(1)作BD⊥AC于點(diǎn)D,如圖所示：即A、C間的距離為(15√3+15)海里.(2)∵AC=15√3+15(海里),輪船乙從A到C的時間∴輪船甲從B到C的速度(海里/小時).【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問題，解答此題的關(guān)鍵是過B作BD⊥AC,構(gòu)造出直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值及直角三角形的性質(zhì)解答.29.如圖，某倉儲中心有一斜坡AB,其坡度為i=1:2,頂部A處的高AC為4m,B、C在同一水平地面上.(1)求斜坡AB的水平寬度BC;(2)矩形DEFG為長方體貨柜的側(cè)面圖，其中DE=2.5m,EF=2m,將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)送，當(dāng)BF=3.5m時，求點(diǎn)D離地面的高.(√5≈2.236,結(jié)果精確到0.1m)【分析】(1)根據(jù)坡度定義直接解答即可；(2)作DS⊥BC,垂足為S,且與AB相交于H.證出∠GDH=∠SBH,根據(jù)得到GH=1m,利用勾股定理求出DH的長，然后求出BH=5m,進(jìn)而求出HS,然后得到DS.【解答】解：(1)∵坡度為i=1:2,AC=4m,(2)作DS⊥BC,垂足為S,且與AB相交于H.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--坡度坡角問題，熟悉坡度坡角的定義和勾股定理是解題的關(guān)30.如圖所示，一幢樓房AB背后有一臺階CD,臺階每層高0.2米，且AC=17.2米，設(shè)太陽光線與水平地面的夾角為α,當(dāng)α=60°時，測得樓房在地面上的影長AE=10米，現(xiàn)有一只小貓睡在臺階的MN這層上曬太陽.(√3取1.73)(1)求樓房的高度約為多少米?(2)過了一會兒，當(dāng)α=45°時，問小貓能否還曬到太陽?請說明理由.【分析】(1)在Rt△ABE中，由1即可求出AB=10-tan60°=17.3米；(2)假設(shè)沒有臺階，當(dāng)α=45°時，從點(diǎn)B射下的光線與地面AD的交點(diǎn)為點(diǎn)F,與MC的交點(diǎn)為點(diǎn)H.由∠BFA=45°,可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF-AC=0.1米，CH=CF=0.1米，所以大樓的影子落在臺階MC這個側(cè)面上，故小貓仍可以曬到太陽.【解答】解：(1)當(dāng)α=60°時，在Rt△ABE中，即樓房的高度約為17.3米；(2)當(dāng)α=45°時，小貓仍可以曬到太陽.理由如下：假設(shè)沒有臺階，當(dāng)α=45°時，從點(diǎn)B射下的光線與地面AD的交點(diǎn)為點(diǎn)F,與MC的交點(diǎn)為點(diǎn)H.此時的影長AF=AB=17.3米，∴大樓的影子落在臺階MC這個側(cè)面上，∴小貓仍可以曬到太陽.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義，理解題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵.31.據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一，所以規(guī)定以下情境中的速度不得超過15m/s,在一條筆直公路BD的上方A處有一探測儀，如平面幾何圖，AD=24m,∠D=90°,第一次探測到一輛轎車從B點(diǎn)勻速向D點(diǎn)行駛，測得∠ABD=31°,2秒后到達(dá)C點(diǎn)，測得∠ACD=50°(tan31°≈0.6,tan50°≈1.2,結(jié)果精確到1m)(2)通過計算，判斷此轎車是否超速.【分析】(1)在直角三角形ABD與直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD與CD的長，由BD-CD求出BC的長即可；(2)根據(jù)路程除以時間求出該轎車的速度，即可作出判斷.【解答】解：(1)在Rt△ABD中，AD=24m,∠B=31°,則B,C的距離為20m;(2)根據(jù)題意得：20÷2=10m/s<15m/s,則此轎車沒有超速.【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵.32.根據(jù)道路管理規(guī)定，在賀州某段筆直公路上行駛的車輛，限速40千米/時，已知交警測速點(diǎn)M到該公路A點(diǎn)的距離為10√2米，∠MAB=45°,∠MBA=30°(如圖所示),現(xiàn)有一輛汽車由A往B方向勻速行駛，測得此車從A點(diǎn)行駛到B點(diǎn)所用的時間為3秒.(1)求測速點(diǎn)M到該公路的距離；(2)通過計算判斷此車是否超速.(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.41,√3≈1.73,√5≈2.24)【分析】(1)過M作MN垂直于AB,在直角三角形AMN中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函(2)由三角形AMN為等腰直角三角形得到AN=MN=10米，在直角三角形BMN中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BN的長，由AN+NB求出AB的長，根據(jù)路程除以時間得到速度，即可做出判斷.【解答】解：(1)過M作MN⊥AB,即則測速點(diǎn)M到該公路的距離為10米；在Rt△MNB中，∠MBN=30°,∴汽車從A到B的平均速度為27.3÷3=9.1(米/秒),∴此車沒有超速.【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.33.如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號.已知A、B兩船相距100(√3+1)海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點(diǎn)D,測得船C正好在觀測點(diǎn)D的南偏東75°方向上.(1)分別求出A與C,A與D之間的距離AC和AD(如果運(yùn)算結(jié)果有根號，請保留根號).(2)已知距觀測點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁.若巡邏船A沿直線AC去營救船C,在去營救的途中有無觸暗礁危險?(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.41,√3≈1.73)【分析】(1)作CE⊥AB,設(shè)AE=x海里，則BE=CE=√3x海里.根據(jù)AB=AE+BE=x+√3x=100(√3+1),求得x的值后即可求得AC的長；過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F,同理求出AD的長；(2)作DF⊥AC于點(diǎn)F,根據(jù)AD的長和∠DAF的度數(shù)求線段DF的長后與100比較即可得到答案.【解答】解：(1)如圖，作CE⊥AB,設(shè)AE=x海里，解得：x=100.AC=2x=200.答：A與C之間的距離AC為200海里，A與D之間的距離AD為200(√3-1)海里.所以巡邏船A沿直線AC航線，在去營救的途中沒有觸暗礁危險.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系解答.34.如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB,小穎在坡面D處測得條幅頂部A的仰角為30°,沿坡面向下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到C處，測得條幅的底部B的仰角為45°,此時小穎距大樓底端N處20米.已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:√3(即tan∠DEM=1:√3),且D、M、E、C、N、B、A在同一平面內(nèi)，E、C、N在同一條直線上，求條幅的長度(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：√3≈1.73,√2≈1.41)【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AN于H,過點(diǎn)E作FE⊥于DH于F,首先求出DF的長，進(jìn)而可求出DH的長，在直角三角形ADH中，可求出AH的長，進(jìn)而可求出AN的長，在直角三角形CNB中可求出BN的長，利用AB=AH-BN計算即可.【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥AN于H,過點(diǎn)E作FE⊥于DH于F,∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:√3,∵DH=DF+EC+CN=(10√3+30)米，∠ADH=30°,答：條幅的長度是17米.【點(diǎn)評】此題綜合考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵.35.如圖，臺風(fēng)中心位于點(diǎn)O處，并沿東北方向(北偏東45°),以40千米/小時的速度勻速移動，在距離臺風(fēng)中心50千米的區(qū)域內(nèi)會受到臺風(fēng)的影響，在點(diǎn)O的正東方向，距離60√2千米的地方有一城市A.(1)問：A市是否會受到此臺風(fēng)的影響，為什么?(2)在點(diǎn)O的北偏東15°方向，距離80千米的地方還有一城市B,問：B市是否會受到此臺風(fēng)的影響?若受到影響，請求出受到影響的時間；若不受到影響，請說明理由.【分析】(1)過點(diǎn)A作AH⊥OD于點(diǎn)H,可求得AH的長為60km,由60>50可知，不會受到臺風(fēng)影響；(2)過點(diǎn)B作BG⊥OC于點(diǎn)G,可求得BG的長，由離臺風(fēng)中心50千米的區(qū)域內(nèi)會受到臺風(fēng)的影響，即可知會受到影響，然后由勾股定理求得受影響的范圍長，即可求得影響的時間.【解答】解：(1)作AH⊥OC,易知臺風(fēng)中心O與A市的最近距離為AD的長度，如圖：BE=BF=50km,由題意知，臺風(fēng)從E點(diǎn)開始影響B(tài)城市到F點(diǎn)影響結(jié)束，∵風(fēng)速為40km/h,∴影響時間約為1.5小時.【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題以及勾股定理的應(yīng)用.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，能從實際問題中整理出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.36.如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB,現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD,小張在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB=80.0米，∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5°.請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置.(以A,B為參照