作輔助線的基本方法一：中點(diǎn)、中位線，延長(zhǎng)線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，,這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見(jiàn)。”托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表)五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切(外切，內(nèi)切),或相離(內(nèi)含、外離),那么,輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過(guò)直徑(或半徑)端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。九：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，(在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積),往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積添輔助線有二種情況：1按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們，相交后證交角為90°;證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2按基本圖形添輔助線：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”!這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：(1)平行線是個(gè)基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵，是添與二條平行線都相交的等第三條直線。(2)等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)，往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)，可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰三角形。(3)等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)，可延長(zhǎng)垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊，則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。(5)三角形中位線基本圖形幾何問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)，往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明，當(dāng)有中點(diǎn)沒(méi)有中位線時(shí)，則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)，則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線，得三角形中位線基本圖形。(6)全等三角形：全等三角形有軸對(duì)稱形，中心對(duì)稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱就可以添加軸對(duì)稱形全等三角形：或添對(duì)稱軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段，位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí)，可添加中心對(duì)稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過(guò)二端點(diǎn)添平行線(7)相似三角形：相似三角形有平行線型(帶平行線的相似三角形),相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)(中點(diǎn)可看成比為1)可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過(guò)端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線(8)特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30,45,60,135,150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1:1:√2;30度角直角三角形三邊比為1:2:√3進(jìn)行證明(9)半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對(duì)弦---直徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過(guò)這種方方法2:含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角方法3:結(jié)論是兩線段相等的題目常畫(huà)輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4:結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題(1)連對(duì)角線或平移對(duì)角線：(2)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3)連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線(4)連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。(5)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問(wèn)題化歸(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。(2)梯形外平移一腰(3)梯形內(nèi)平移兩腰(4)延長(zhǎng)兩腰(5)過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高(6)平移對(duì)角線(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。(8)過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。(9)作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線這座橋梁，在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生分析(1)見(jiàn)弦作弦心距有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距(有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑),通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)(2)見(jiàn)直徑作圓周角(3)見(jiàn)切線作半徑(4)兩圓相切作公切線對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過(guò)公切線可以找到與圓有關(guān)的(5)兩圓相交作公共弦對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又一.解答題(共40小題)相切于點(diǎn)D,E.(2)設(shè)AC=x,⊙O的半徑為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：FE⊥AB;3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分線AD交BC邊于D.以AB上某一點(diǎn)O為圓心作◎(1)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；①求⊙O的半徑；②設(shè)⊙0與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積.(結(jié)果保留根號(hào)和π)4.已知△ABC內(nèi)接于◎O,過(guò)點(diǎn)A作直線EF.(1)如圖①所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個(gè)條件是(至少說(shuō)出兩種):或者·(2)如圖②所示，如果AB是不過(guò)圓心O的弦，且∠CAE=∠B,那么EF是◎O的切線嗎?試證明你的判8.如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD(1)求證：AE=BD;(2)求證：MN//AB.9.自選題：若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).(2)如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB'連接BB'.求證：BB′過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB′=PA+PB+PC.10.如圖，在△ABC中，AB≠AC,∠BAC的外角平分線交直線BC于D,過(guò)D作DE⊥AB,DF⊥AC分別交直線AB,AC于E,F,連接EF.(1)求證：EF⊥AD;11.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)D分別向AB,AC引垂線，垂足分別為E,F,CG是AB邊上的高.(1)DE,DF,CG的長(zhǎng)之間存在著怎樣的等量關(guān)系?并加以證明；(2)若D在底邊的延長(zhǎng)線上，(1)中的結(jié)論還成立嗎?若不成立，又存在怎樣的關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.CC12.如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開(kāi)發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角∠AON=30°,新開(kāi)發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.(1)新開(kāi)發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為;(2)現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開(kāi)發(fā)區(qū)A,B修兩條公路PA,PB,使點(diǎn)P到新開(kāi)發(fā)區(qū)A,B的距離之和最短.此時(shí)PA+PB=(千米).13.在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖(I)驗(yàn)證它的正確性；圖中大正方形的面積可表示為：即由此推出勾股定理a2+b2=c2,這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)yCyC(1)請(qǐng)你用圖(Ⅱ)的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理(其中四個(gè)直角三角形全等);(2)請(qǐng)你用(Ⅲ)提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證(x+y)2=x2+2xy+y2;(3)請(qǐng)你自己設(shè)計(jì)圖形的組合，用其面積表達(dá)式驗(yàn)證：(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.14.據(jù)我國(guó)古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對(duì)周公說(shuō)，將一根直尺折成一個(gè)直角，兩端連接得一個(gè)直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括為“勾三，股四，弦五”.過(guò).計(jì)并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫(xiě)出能表示7,24,25的股和弦的算式；的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關(guān)系并對(duì)其中一種猜想加以證明；間斷過(guò).運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m(m為偶數(shù)且m>4)的代數(shù)式來(lái)表示他們的股和弦.15.已知：△ABC是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解決下列問(wèn)題：②猜想：PA2,PB2,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為;的延長(zhǎng)線上，在(1)中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你利用圖②給出證明過(guò)程；(3)若動(dòng)點(diǎn)P滿,求的值.(提示：請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求)16.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,設(shè)c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀(按角分類).(1)當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為三角形.(2)猜想，當(dāng)a2+b2.c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2_c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形.(3)判斷當(dāng)a=2,b=4時(shí)，△ABC的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍.有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫(xiě)出你猜想的結(jié)論；②將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°<a<90°),如圖2,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位(2)當(dāng)△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段BD、CE在(1)中的位置關(guān)系仍然CBCCB19.將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F.(1)求證：AF+EF=DE;(2)若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α,且0°<a<60°,其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出變換后的圖形，并直接寫(xiě)出你在(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立；(3)若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角β,且60°<β<180°,其它條件不變，如圖③.你認(rèn)為(1)中猜想的結(jié)論還成立嗎?若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.20.如圖所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE//BC,如圖①,然后將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖②,然后將BD、CE分別延長(zhǎng)至M、N,使得到圖③,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：圖4②在圖③中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你(1)若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且E,F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①如圖1,若∠BCA=90°,∠α=90°,②如圖2,若0°<∠BCA<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件,使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立.22.已知四邊形ABCD中，AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC(或它們的延長(zhǎng)線)于E,F.當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立?若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.23.(本題有3小題，第(1)小題為必答題，滿分5分；第(2)、(3)小題為選答題，其中，第(2)小題滿分3分，第(3)小題滿分6分，請(qǐng)從中任選1小題作答，如兩題都答，以第(2)小題評(píng)分.)在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE;(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.圖3注意：第(2)、(3)小題你選答的是第2小題.24.如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是;②設(shè)△BDC的面積為S?,△AEC的面積為S?,則S?與S?的數(shù)量關(guān)系是_·(2)猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中S?與S?的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想.(3)拓展探究已知∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4,DE//AB交BC于點(diǎn)E(如圖4).若在射線BA上EEBB27.如圖，在梯形ABCD中，AC平分∠BAD,在底邊AB上截AE=CD.(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.問(wèn)結(jié)論①是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.CC30.如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把△ACD沿CA方向平移得到△A'CD'.(2)若∠ACB=30°,試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)C'在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形ABCD'是菱形，并請(qǐng)說(shuō)明理由.31.在△ABC中，∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足為M,點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AC.于點(diǎn)F,且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF=∠CEF.32.已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,DE⊥CE,DE=CE,連接AE,點(diǎn)M是AE的中點(diǎn).(2)如圖2,若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接BD,(3)如圖3,將圖2中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BCD=圖1圖2圖333.在等邊△ABC中，(2)點(diǎn)P,Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ,點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M,連接AM,PM.①依題意將圖2補(bǔ)全；②小茹通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有PA=PM,小茹把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1:要證明PA=PM,只需證△APM是等邊三角形；想法2:在BA上取一點(diǎn)N,使得BN=BP,要證明PA=PM,只需證△ANP≌△PCM;想法3:將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK…請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM(一種方法即可).作CH⊥AB,垂足為H.②請(qǐng)猜想三條線段DE,AD,CH之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論；(2)如圖b,當(dāng)∠ACB=120°時(shí)，三條線段DE,AD,CH之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.圖a圖圖a35.如圖，∠1=∠2,∠3=∠4,求證：AC=AD.36.如圖，已知△ABC,按如下①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)?。虎谝訡為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D;③連接BD,與AC交于點(diǎn)E,連接AD,CD.(1)求證：△ABC≌△ADC;(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的長(zhǎng).37.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.(2)若AB+CD=2√3+2,求AB.度數(shù).∠C之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并說(shuō)明理由.40.在△ABC中，AB=6,AC=BC=5,將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△ADE,旋轉(zhuǎn)角為a(0°(1)如圖，當(dāng)α=60°時(shí)，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F.①求證：△ABD是等邊三角形；DG與線段AE無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE+CE的值.溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答.A一.解答題(共40小題)1.如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC+BC=8,點(diǎn)O是斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的◎0分別與AC,BC相切于點(diǎn)D,E.(2)設(shè)AC=x,⊙O的半徑為y,【分析】(1)連接OD,OE,由△ABC是直角三角形，以O(shè)為圓心的⊙O分別與AC,BC相切于點(diǎn)D,E,可知OD//BC,在△ADO中，解得半徑.(2)由題意可知，OD//BC,∠AOD=∠B,則兩角正切值相等，進(jìn)而列出關(guān)系式.【解答】解：(1)連接OE,OD,在△ABC中，∠C=90°,AC+BC=8,∵以O(shè)為圓心的⊙0分別與AC,BC相切于點(diǎn)D,E,,解得∴圓的半徑在直角三角形ABC中，∵以O(shè)為圓心的⊙0分別與AC,BC相切于點(diǎn)D,E,∴四邊形OECD是正方形.解得解得【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)和解三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，不是很難.交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：FE⊥AB;【分析】(1)連接AD、OD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ADC=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明D是BC的中點(diǎn)，得到OD是△ABC的中位線，根據(jù)切線的性質(zhì)證明結(jié)論；(2)根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式計(jì)算得到答案.【解答】(1)證明：連接AD、OD,又∵AB=AC,【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑和等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.(1)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；①求⊙O的半徑；所圍成的陰影部分的圖形面積.(結(jié)果保留根號(hào)和π)【分析】(1)連接OD,根據(jù)平行線判定推出OD//AC,(2)①根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OB=2O推出OD⊥BC,根據(jù)切線的判定推出即可；D=2r,AB=2AC=3r,從而求得半徑r的值；②根據(jù)【解答】解：(1)直線BC與⊙O相切；∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D,又∵直線BC過(guò)半徑OD的外端，在Rt△ACB中，∠B=30°,∴所求圖形面積【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.4.已知△ABC內(nèi)接于◎O,過(guò)點(diǎn)A作直線EF.(1)如圖①所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個(gè)條件是(至少說(shuō)出(2)如圖②所示，如果AB是不過(guò)圓心O的弦，且∠CAE=∠B,那么EF是◎O的切線嗎?試證明你的判【分析】(1)求出∠BAE=90°,再根據(jù)切線的判定定理推出即可；(2)作直徑AM,連接CM,根據(jù)圓周角定理求出∠M=∠B,∠ACM=90°,求出∠MAC+∠CAE=90°,再根據(jù)切線的判定推出即可.【解答】解：(1)①∠BAE=90°,②∠EAC=∠ABC,理由是：①∵∠BAE=90°,②∵AB是直徑，(2)EF是◎O的切線.證明：作直徑AM,連接CM,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，切線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，注意：經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線.5.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,連接BE、AD交于點(diǎn)P.求證：(3)易證得△ABD一△BCE與△BPD∴·【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6.已知：在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙0交BC于點(diǎn)D,在劣弧AD上取一點(diǎn)E使∠EBC=∠DEC,延長(zhǎng)BE依次交AC于點(diǎn)G,交⊙0于H.(1)求證：AC⊥BH;(2)若∠ABC=45°,◎O的直徑等于10,BD=8,求CE的長(zhǎng).【分析】(1)連接AD,由圓周角定理即可得出∠DAC=∠DEC,∠ADC=90°,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；(2)由∠BDA=180°-∠ADC=90°,∠ABC=45°可求出∠BAD=45°,利用勾股定理即可得出DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)，由已知的一對(duì)角線段和公共角，根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得三角形BCE與三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的長(zhǎng).【解答】(1)證明：連接AD,(2)解：∵∠BDA=180°-∠ADC=90°,∠ABC=45°,【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.7.如圖，AB是⊙0的直徑，AC=CD,∠COD=60°.(1)△AOC是等邊三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由；【分析】(1)由等弧所對(duì)的圓心角相等推知∠1=∠COD=60°;然后根據(jù)圓上的點(diǎn)到圓心的距離都等于圓的半徑知OA=OC,從而證得△AOC是等邊三角形；(2)證法一：利用同垂直于一條直線的兩條直線互相平行來(lái)證明OC//BD;證法二：通過(guò)證明同位角∠1=∠B,推知OC//BD.【解答】解：(1)△AOC是等邊三角形...(1分)∴∠1=∠COD=60°...(3分)∵OA=OC(◎O的半徑),∴△AOC是等邊三角形；...(5分)(2)證法一：∵AC=CD,∴OCLAD...(7分)又∵AB是⊙O的直徑，證法二：∵AC-CD,又...(7分)...(9分)..(10分)【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了圓周角定理、等邊三角形的判定以及平行線的判定.在證明△AOC是等邊三角形時(shí)，利用了等邊三角形的內(nèi)角是60°的性質(zhì)，8.如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE,連接AE交DC于M,(1)求證：AE=BD;第29頁(yè)共81頁(yè)(2)求證：MN//AB.(2)由(1)中△ACE≌△DCB,可知∠CAM=∠CDN,再根據(jù)∠ACD=∠ECB=60°,A、C、B三點(diǎn)共線可(2)∵由(1)得，△ACE≌△DCB,∴△MCN為等邊三角形，【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出△ACE≌△DCB,△ACM≌△DCN是解答此題的關(guān)鍵.9.自選題：若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).(1)若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,則PB的值為_(kāi)2√3;(2)如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB'連接BB'.求證：BB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB′=PA+PB+PC.【分析】(1)由題意可得△ABP∽△BCP,所以PB2=PA·PC,即PB=2√3;(2)在BB'上取點(diǎn)P,使∠BPC=120°,連接AP,再在PB'上截取PE=PC,連接CE.為正三角形，再利用正三角形的性質(zhì)得到PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB'=120°,而△ACB'為正三角形，由此也可以得到AC=BC,∠ACB'=60°,現(xiàn)在根據(jù)已知的條件可以證明△ACP≌△B'CE,然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論.【解答】解：(1)∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°,∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).度數(shù).別交直線AB,AC于E,F,連接EF.(1)求證：EF⊥AD;(2)若DE//AC,且DE=1,求AD的長(zhǎng).第32頁(yè)共81頁(yè)長(zhǎng)了.又AD=AD,∴AD是EF的垂直平分線.(2)解：∵DE//AC,由(1)得EA=FA,∴四邊形EAFD是正方形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).本題中利用全等三角形得出線段相等是解題的關(guān)鍵.11.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)D分別向AB,AC引垂線，垂足分別為E,F,CG是AB邊上的高.(1)DE,DF,CG的長(zhǎng)之間存在著怎樣的等量關(guān)系?并加以證明；(2)若D在底邊的延長(zhǎng)線上，(1)中的結(jié)論還成立嗎?若不成立，又存在怎樣的關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)連接AD,根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進(jìn)行分析證明；(2)類似(1)的思路，仍然用計(jì)算面積的方法來(lái)確定線段之間的關(guān)系.即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積-三角形ACD的面積.【解答】解：(1)DE+DF=CG.證明：連接AD,(2)當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的結(jié)論不成立，但有DE-DF=CG.同理當(dāng)D點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則有DF-DE=CG,說(shuō)明方法同上.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；在解決一題多變的時(shí)候，基本思路是相同的；注意通過(guò)不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，來(lái)進(jìn)行證明結(jié)論的方法，是非常獨(dú)特的，也是一種很好的方法，注意掌握應(yīng)用.12.如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開(kāi)發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角∠AON=30°,新開(kāi)發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.(1)新開(kāi)發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為8(2)現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開(kāi)發(fā)區(qū)A,B修兩條公路PA,PB,使點(diǎn)P到新開(kāi)發(fā)區(qū)A,B的距離之和最短.此時(shí)PA+PB=14(千米).【分析】(1)先求出OB的長(zhǎng)，從而得出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離.(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得EF=CD=BC=3,AF=AE+EF=AE+BC=11,再根據(jù)余弦概念求解.【解答】解：(1)∵BC=3,∠AOC=30°,即新開(kāi)發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；(2)過(guò)D作DF⊥AE的延長(zhǎng)線(點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)),垂足為F.則EF=CD=BC=3,AF=AE+EF=AE+BC=11,∴PA+PB=PA+PD=AD=14(千米).【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生利用軸對(duì)稱的性質(zhì)來(lái)綜合解三角形的能力.13.在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖(I)驗(yàn)證它的正確性；圖中大正方形的面積可表示為：由此推出勾股定理a2+b2=c2,這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)Xyy(1)請(qǐng)你用圖(IⅡ)(2002年國(guó)際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo))的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理(其中四個(gè)直角三角形全等);(2)請(qǐng)你用(Ⅲ)提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證(x+y)2=x2+2xy+y2;(3)請(qǐng)你自己設(shè)計(jì)圖形的組合，用其面積表達(dá)式驗(yàn)證：(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.【分析】(1)根據(jù)陰影部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積=4個(gè)直角三角形的面積，即可證明；(2)可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)是x+y的正方形，它由兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是x、y的正方形和兩個(gè)長(zhǎng)、寬分別是x、y的長(zhǎng)方形組成；(3)可以拼成一個(gè)長(zhǎng)、寬分別是x+p和x+q的長(zhǎng)方形，它由邊長(zhǎng)是x的正方形，長(zhǎng)寬分別是x和p,x和q,p和q組成的圖形.【解答】解：(1)大正方形的面積為：c2,中間空白部分正方形面積為：(b-a)2;四個(gè)陰影部分直角三角形面積和為：由圖形關(guān)系可知：大正方形面積=空白正方形面積+四直角三角形面積，即有：(2)如圖示：大正方形邊長(zhǎng)為(x+y)所以面積為：(x+y)2,它的面積也等于兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為x,y和兩個(gè)長(zhǎng)為x寬為y的矩形面積之和，即x2+2xy+y2所以有：(x+y)2=x2+2xy+y2成立；(3)如圖示：大矩形的長(zhǎng)、寬分別為(x+p),(x+q),則其面積為：(x+p)·(x+q),從圖形關(guān)系上可得大矩形為一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形和三個(gè)小矩形構(gòu)成的則其面積又可表示為：x2+px+qx+pq,則有：(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+【點(diǎn)評(píng)】注意熟練掌握通過(guò)不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來(lái)證明一些公式的方法.14.據(jù)我國(guó)古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對(duì)周公說(shuō)，將一根直尺折成一個(gè)直角，兩端連接得(1)觀察：3,4,5;5,12,13;7,24,25;.…,發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫(xiě)出能表示7,24,(2)根據(jù)(1)的規(guī)律，用n(n為奇數(shù)且n≥3)的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想(3)繼續(xù)觀察4,3,5;6,8,10;8,15,17;.…,可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò).運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m(m為偶數(shù)且m>4)的代數(shù)式來(lái)表示他們的股和弦.【分析】(1)根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；(2)股是勾的平方減去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一.【解答】解：(1)∴7,24,25的股的算式弦的算式;(4分)例如關(guān)系式①:弦-股=1;關(guān)系式②:勾2+股2=弦2(9分)證明關(guān)系式①:弦-或證明關(guān)系式②:(n2+1)2=弦2猜想得證；(12分)(3)例如探索得，當(dāng)m為偶數(shù)且m>4時(shí)，股、弦的代數(shù)式分別為：.(14分)另加分問(wèn)題，例如：連接兩組勾股數(shù)中，上一組的勾、股與下一組的勾的和等于下一組的股.即上一組為：n,)(n為奇數(shù)且【點(diǎn)評(píng)】注意由具體例子觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，證明的時(shí)候熟練運(yùn)用完全平方公式.15.已知：△ABC是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解決下列問(wèn)題：②猜想：PA2,PB2,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為PA2+PB2=PQ2;的延長(zhǎng)線上，在(1)中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你利用圖②給出證明過(guò)程；(3)若動(dòng)點(diǎn)P滿求的值.(提示：請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求)【分析】(1)①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)PA的長(zhǎng)，可求得PB的長(zhǎng)；過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,從而可求得CD、PD的長(zhǎng)，然后在Rt三角形CDP中依據(jù)勾股定理可求得PC的長(zhǎng)；②△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB,從而可求得：CD=AD=DB,然后根據(jù)AP=DC-PD,證明AP2+BP2=2PC2,因?yàn)樵赗t△PCQ中，PQ2=2CP2,所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論；(3)根據(jù)點(diǎn)P所在的位置畫(huà)出圖形，然后依據(jù)題目中的比值關(guān)系求得PD的長(zhǎng)(用含有CD的式子表示),然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的長(zhǎng)度即可.【解答】解：(1)如圖①:①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+√3∴△PBQ為直角三角形.②如圖1.∵AP2=(AD-PD)2=(DC-PD)2=DC2-2(2)如圖②:過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.PB2=(DP-BD)2=(PD-DC)2=DC2-2DC(3)如圖③:過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P?處時(shí).②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P?處時(shí).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得：CD=AD=DB,將PA、PA、PQ、AC、PC用含≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀(按角分類).(1)當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為鈍角三角形.(2)猜想，當(dāng)a2+b2>c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形.(3)判斷當(dāng)a=2,b=4時(shí)，△ABC的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍.【分析】(1)利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時(shí)的斜邊的值，然后作出判斷即可；(2)根據(jù)(1)中的計(jì)算作出判斷即可；(3)根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長(zhǎng)邊c點(diǎn)的最大值，然后得到c的取值范圍，然后分情況討論即可得解.【解答】解：(1)兩直角邊分別為6、8時(shí)，斜邊=√62+g2=10,∴△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為鈍角三角形；故答案為：銳角；鈍角；當(dāng)a2+b2<c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形；故答案為：>;<;(3)∵c為最長(zhǎng)邊，2+4=6,∴當(dāng)4≤c<2√5時(shí)，這個(gè)三角形是銳角三角形；∴當(dāng)c=2√5時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形；∴當(dāng)2√5<c<6時(shí)，這個(gè)三角形是鈍角三角形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時(shí)的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.17.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD,BC=CD=10,AB=21,AD=9.【分析】把△ADC沿AC翻折得△AEC,作CF⊥AB于點(diǎn)F.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，分別求得CF和AF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)即可.【解答】解：∵AC平分∠BAD,∴把△ADC沿AC翻折得△AEC,在Rt△BFC(或Rt△EFC)中，由勾股定理得CF=8.在Rt△AFC中，由勾股定理得AC=17.∴AC的長(zhǎng)為17.【點(diǎn)評(píng)】此題要巧妙構(gòu)造輔助線，綜合運(yùn)用了軸對(duì)稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理.18.(1)如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫(xiě)出你猜想的結(jié)論；②將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°<a<90°),如圖2,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位(2)當(dāng)△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段BD、CE在(1)中的位置關(guān)系仍然C【分析】(1)①BD=CE,BD⊥CE.角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得BD=CE、BB根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三對(duì)應(yīng)角相等∠ABF=∠ECA;然后在△ABD和△CDF中，由三角形內(nèi)角和定理可以求得∠CFD=90°,即BD⊥CF;②BD=CE,BD⊥CE.根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得BD=CE、對(duì)應(yīng)角相等∠ABF=∠ECA;作輔助線(延長(zhǎng)BD交AC于F,交CE于H)BH構(gòu)建對(duì)頂角∠ABF=∠HCF,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證得∠BHC=90°;(2)根據(jù)結(jié)論①、②的證明過(guò)程知，∠BAC=∠DFC(或∠FHC=90°)時(shí)，該結(jié)論成立了，所以本條件中【解答】解：(1)①結(jié)論：BD=CE,BD⊥CE;②結(jié)論：BD=CE,BD⊥CE...1分理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°(2)結(jié)論：乙.AB:AC=AD:AE,∠BAC=∠DAE=90°.….2分【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).SSS,SAS,ASA,AAS,HL均可作為判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，沒(méi)有AAA(角角角)和SSA(邊邊角)(特例：直角三角形為HL,因?yàn)楣垂啥ɡ?，只要確定了斜邊和一條直角邊，另一直角邊也確定，屬于SSS),因?yàn)檫@兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀；另外三條中線(或高、角平分線)分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也全等.(1)求證：AF+EF=DE;為(1)中猜想的結(jié)論還成立嗎?若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出AF、EF與DE之并說(shuō)明理由.圖1圖2圖1(2)解題思路和輔助線的作法與(1)完全一樣；(3)同(1)得CF=EF,由△ABC≌△DBE,可得AC=DE,AF=AC+FC=DE+EF.【解答】(1)證明：連接BF(如圖①),在Rt△BFC和Rt△BFE中，∴(1)中的結(jié)論AF+EF=DE仍然成立；(3)不成立.在Rt△BCF和Rt△BEF中，圖2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)得出簡(jiǎn)單的線段相等是解題的關(guān)鍵.20.如圖所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE//BC,如圖①,然后將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖②,然后將BD、CE分別延長(zhǎng)至M、N,使得到圖③,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：圖2圖2ABA圖3(1)若AB=AC,請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：①在圖②中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是;②在圖③中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系(2)若AB=k·AC(k>1),按上述操作方法，得到圖④,請(qǐng)繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的猜想，不必證明.【分析】(1)①根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AEC≌△ADB,所以BD=CE;②根據(jù)題意可知∠CAE=BAD,AB=AC,AD=AE,所以得到△BAD≌△CAE,在△ABM和△ACN中，(2)直接類比(1)中結(jié)果可知AM=k·AN,∠MAN=∠BAC.【解答】解：(1)①BD=CE;在△BAD和△CAE中∵.∵ABAB圖4【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法和性質(zhì).判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.本題還要會(huì)根據(jù)所求的結(jié)論運(yùn)用類比的方法求得同類題目.21.CD經(jīng)過(guò)∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB.E,F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且E,F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①如圖1,若∠BCA=90°,∠α=90°,②如圖2,若0°<∠BCA<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件∠a+∠BCA=180°,使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立.(2)如圖3,若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α=∠BCA,請(qǐng)?zhí)岢鯡F,BE,AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想(不要求證明).【分析】由題意推出∠CBE=∠ACF,再由AAS定理證△BCE≌△CAF,繼而得答案.【解答】解：(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°,②所填的條件是：∠α+∠BCA=180°.證明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠a.又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA,證明過(guò)程：【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關(guān)知識(shí).注意對(duì)三角形全等，相似的綜合應(yīng)22.已知四邊形ABCD中，AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立?若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.MM【分析】根據(jù)已知可以利用SAS證明△ABE≌△CBF,從而得出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，從而得出∠ABE=∠CBF=30°,△BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系，即可推出AE+CF=EF.【解答】解：∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF,∴△BEF為等邊三角形；圖2成立，圖3不成立.證明圖2.則△BAE≌△BCK,圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是AE-CF=EF.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS,SAS,AAS等，這些方法要求學(xué)生能夠掌握并靈活運(yùn)用.23.(本題有3小題，第(1)小題為必答題，滿分5分；第(2)、(3)小題為選答題，其中，第(2)小題滿分3分，第(3)小題滿分6分，請(qǐng)從中任選1小題作答，如兩題都答，以第(2)小題評(píng)分.)在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE;(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.N圖3注意：第(2)、(3)小題你選答的是第2小題.第54頁(yè)共81頁(yè)(2)根據(jù)已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB,由此可證DE=AD-BE;(3)當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AD、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等).結(jié)論.24.如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是DE//AC;(2)猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中S?與S?的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別(3)拓展探究已知∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4,DE//AB交BC于點(diǎn)E(如圖4).若在射線BA上【分析】(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD,再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出然后求出AC=BD,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；(3)過(guò)點(diǎn)D作DF?//BE,求出四邊形BEDF?是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=DF?,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F?為所求的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF?⊥BD,求出∠F?DF?=60°,從而得到△DF?F?是等邊三角形，然后求出DF?=DF?,再求出∠CDF?=∠CDF?,利用“邊角邊”證明△CDF?和△CDF?全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F?也是所求的點(diǎn)，然后在等腰△BDE中求出BE的長(zhǎng)，即可得解.【解答】解：(1)①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，∴△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),(3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF?//BE,易求四邊形BEDF?是菱形，∵BD=CD,∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，ZCDF?=360°-150°-60°∵在△CDF?和△CDF?中，∵∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE//AB,CC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，(3)要注意符合條件的點(diǎn)F有兩個(gè).25.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC,求證：AC是∠DAB的平分線.【分析】利用梯形的一組對(duì)邊平行可以得到內(nèi)錯(cuò)角相等，然后利用等邊對(duì)等角得到兩個(gè)角相等，從而得到兩個(gè)角相等，證得結(jié)論.【解答】證明：∵AB//CD,即AC是∠DAB的角平分線.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形的定義、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，難度較小，是一道不錯(cuò)的證明題.26.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC,∠BCD=90°,且AB=1(2)E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且∠EDC=∠FBC,DE=BF,試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)【分析】(1)過(guò)A作DC的垂線AM交DC于M,可得四邊形ABCM是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出AM=2,再根據(jù)tan∠ADC=2求出DM=1,然后求出CD=2,從而得證；(2)利用“邊角邊”證明△DEC和△BFC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=CF,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ECD=∠BCF,然后求出∠ECF=90°,從而判斷出是等腰直角三角形.【解答】(1)證明：過(guò)A作DC的垂線AM交DC于M,則四邊形ABCM是矩形，(2)解：△ECF是等腰直角三角形.理由如下：∵在△DEC和△BFC中，即△ECF為等腰直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，解直角三角形，準(zhǔn)確識(shí)圖確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵.27.如圖，在梯形ABCD中，AC平分∠BAD,在底邊AB上截AE=CD.(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.【分析】(1)根據(jù)四邊形ABCD是梯形得到AB//DC,從而得到∠DCA=∠EAC,利用EC平分∠BAD,得到∠BAC=∠DAC,從而∠DAC=∠DCA,所以AD=CD,利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定四邊形AECD(2)利用若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，得到AE=BE,根據(jù)CE=AE,得到CE=BE,從而得到△ABC為直角三角【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是梯形，∴四邊形AECD是平行四邊形.∴四邊形AECD是菱形；(2)解：∵若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴△ABC為直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形的性質(zhì)及菱形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知梯形的性質(zhì)，并理解其基本輔助線的作28.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于E,AE=1.【分析】如圖，過(guò)A作AF⊥BC垂足為F,把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中；然后再利用∠C=60°這個(gè)條件根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解題.【解答】解：∵AD//BC,作AF⊥BC垂足為F,∴梯形ABCD的高為√3.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了梯形的常用輔助線，也考查了直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.問(wèn)結(jié)論①是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.你的結(jié)論.CCCC【分析】(1)先看題中給出的條件為何成立，由于三角形ADC,DMC,DBC都是同底，而由于AB//DC,因此高相等，就能得出題中給出的結(jié)論，那么本題也要用高來(lái)求解，過(guò)A,M,B分別作BC的垂線AE,MN,BF,AE//MN//BF,由于M是AB中點(diǎn)，因此MN是梯形AEFB的中位線，因此三個(gè)三角形同底因此結(jié)論①是成立的.(2)本題可以利用AM=MB,讓這兩條邊作底邊來(lái)求解，三角形ADB中，小三角形的AB邊上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面積就相等(等底同高),因此三角形OAD,OMD的和就等于三角形BMD的面積，同理三角形AOC和OMC的面積和等于三角形CMB的面積.根據(jù)這些等量關(guān)系即可得出題中三個(gè)三角形的面積關(guān)系.【解答】解：(1)當(dāng)AB和CD不平行時(shí)，結(jié)論①仍然成立.∴四邊形AEFB是梯形.BB【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了梯形中位線定理的應(yīng)用，根據(jù)中位線或中點(diǎn)得出三角形的底相等或高成比例是解題的關(guān)鍵.30.如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把△ACD沿CA方向平移得到△A'C′D'.(1)證明△A'AD′≌△CC'B;(2)若∠ACB=30°,試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)C'在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形ABCD′是菱形，并請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)根據(jù)已知利用SAS判定△A'AD'≌△CC′B;(2)由已知可推出四邊形ABCD'是平行四邊形，只要再證明一組鄰邊相等即可確定四邊形ABC'D'是菱形，由已知可得到從而得到AB=BC',所以四邊形ABC'D'是菱形.【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，(2)解：當(dāng)點(diǎn)C'是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABC'′D′是菱形.理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，△A'CD'由△ACD平移得到，∴四邊形ABC'D′是平行四邊形.在Rt△ABC中，點(diǎn)C'是線段AC的中點(diǎn)，∴四邊形ABC'D'是菱形.【點(diǎn)評(píng)】本題即考查了全等的判定及菱形的判定，注意對(duì)這兩個(gè)判定定理的準(zhǔn)確掌握.考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力.31.在△ABC中，∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足為M,點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AC.于點(diǎn)F,且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF=∠CEF.【分析】(1)先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2,再由勾股定理可得AC的長(zhǎng)；【解答】解：(1)∵∠ABM=45°,AM⊥BM, 所以BD=BG=CE,因此∠BDG=∠G=∠E.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.32.已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,,DE⊥CE,DE=CE,連接AE,點(diǎn)M是AE的中點(diǎn).(2)如圖2,若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接BD,點(diǎn)N是BD中點(diǎn)，連接MN,NE,MN,探的值并直接寫(xiě)出結(jié)果.圖1圖2圖3【分析】(1)先證明△ACE是直角三角形，根據(jù)求出AE即可解決問(wèn)題.(2)如圖2中，如圖2中，延長(zhǎng)EN至F使NF=NE,連接AF、BF,先證明△DNE≌△BNF,再證明△ABF≌△ACE,推出∠FAB=∠EAC,可得∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°,由此即可解決問(wèn)題.(3)如圖3中，延長(zhǎng)DM到G使得MG=MD,連接AG、BG,延長(zhǎng)AG、EC交于點(diǎn)F,先證明△ABG≌△CAE,得到BG=AE,設(shè)BC=2a,在RT△AEF中求出AE,根據(jù)中位線定理由此即可解決問(wèn)題.【解答】解：(1)如圖1中，連接AD.∵△ABC是等腰直角三角形，(2)如圖2中，延長(zhǎng)EN至F使NF=NE,連接AF、BF.在△DNE和△BNF中，=180°-45°-45°-∠DCB=90°-∠D(3)如圖3中，延長(zhǎng)DM到G使得MG=MD,連接AG、BG,延長(zhǎng)AG、EC交于點(diǎn)F.第70頁(yè)共81頁(yè)圖2(1)如圖1,P,Q是BC邊上的兩點(diǎn)，AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數(shù)；(2)點(diǎn)P,Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ,點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M,連接AM,PM.想法1:要證明PA=PM,只需證△APM是等邊三角形；想法2:在BA上取一點(diǎn)N,使得BN=BP,要證明PA=PM,只需證△ANP≌△PCM;想法3:將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK…直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M,得到