【第22講：等差數(shù)列及其前N項和】【新高考課程標準要求】1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義：明確等差數(shù)列是從第項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)的數(shù)列，掌握其通項公式，并能運用通項公式解決相關(guān)問題，理解通項公式中各參數(shù)的含義及作用。2.掌握等差數(shù)列的前項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前項和公式的關(guān)系：熟練掌握等差數(shù)列前項和公式，明白通項公式與前項和公式都與首項、公差有關(guān)，可通過已知條件建立方程或方程組，求解相關(guān)量。3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應的問題：能夠從實際問題或數(shù)學問題情境中，識別出等差數(shù)列模型，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的相關(guān)問題，如求通項、求前項和等，進而利用等差數(shù)列的知識進行求解，體現(xiàn)數(shù)學建模和數(shù)學應用的能力。4.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系：了解等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)（時）或常數(shù)函數(shù)（時），前項和公式是關(guān)于的二次函數(shù)（時），利用函數(shù)的性質(zhì)來分析等差數(shù)列的單調(diào)性、最值等問題?！局R梳理】一、知識梳理1.核心概念 等差數(shù)列定義：從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)（記為公差），即（，為常數(shù)）。 等差中項：若，，成等差數(shù)列，則，且。2.關(guān)鍵公式公式類型表達式說明通項公式為首項，為公差，可推廣為（）前項和公式；前者需已知首項、末項和項數(shù)；后者需已知首項、公差和項數(shù)3.性質(zhì)關(guān)聯(lián) 函數(shù)屬性： 通項：當時，是關(guān)于的一次函數(shù)，圖像為直線上的孤立點，斜率為；當時，為常數(shù)列。 前項和：當時，是關(guān)于的二次函數(shù)，圖像為拋物線（或其一部分）上的孤立點，且無常數(shù)項；當時，，為關(guān)于的一次函數(shù)。 項的對稱性：若（），則；特別地，當時，。二、常用結(jié)論1.前項和的衍生結(jié)論： 若等差數(shù)列的前項和為，則（利用，結(jié)合推導）。 前項和的比值：若與均為等差數(shù)列，前項和分別為與，則。2.項數(shù)與和的關(guān)系： 等差數(shù)列中，連續(xù)項的和仍成等差數(shù)列，即，，，…成等差數(shù)列，公差為。 若等差數(shù)列共有項，則，；若共有項，則，（、分別為奇數(shù)項和、偶數(shù)項和）。3.單調(diào)性與最值： 當時，數(shù)列單調(diào)遞增，有最小值（可通過且求最小值對應的項數(shù)）；當時，數(shù)列單調(diào)遞減，有最大值（可通過且求最大值對應的項數(shù)）。三、微點提醒1.定義理解誤區(qū)：判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列時，需驗證“從第2項起，每一項與前一項的差為常數(shù)”，不可僅驗證前幾項；若僅說“”，需補充，否則定義域不完整。2.公式使用細節(jié)： 運用通項公式時，注意和的取值范圍（均為正整數(shù)），避免因下標錯誤導致計算失誤。 前項和公式中，是第項，不可與“項數(shù)”混淆；當時，數(shù)列是常數(shù)列，，此時不可用二次函數(shù)性質(zhì)分析最值（無最值，除常數(shù)本身）。3.性質(zhì)適用條件：“若，則”的逆命題不成立，即若，不一定有（如常數(shù)列中，任意兩項和相等，但下標和可不同）。4.與函數(shù)結(jié)合的注意點： 通項公式對應的一次函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集（而非全體實數(shù)），因此圖像是孤立點，而非連續(xù)直線。 前項和對應的二次函數(shù)，若無常數(shù)項，但其最值對應的需為正整數(shù)，若計算出的為非整數(shù)，需取其附近的正整數(shù)代入計算實際最值（如，則需比較和時的）?！菊n前自測】一、單選題1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差數(shù)列滿足，若為前項和，則最大時，的值為（

）A．9或10 B．8 C．9 D．10或112．（2025高三·全國·專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，則（

）A．35 B．40 C．45 D．503．（24-25高二下·陜西榆林·期末）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．43 B．44 C．87 D．884．（24-25高二下·廣東韶關(guān)·期末）已知等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（24-25高二下·河南駐馬店·期末）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．時，最大 D．使的n的最大值為13三、填空題6．（2025高三·全國·專題練習）把數(shù)列與的所有公共項去掉，剩余的項從小到大排序得到數(shù)列，則數(shù)列的前202項和為.7．（25-26高三上·湖北·開學考試）已知等差數(shù)列的前項和分別為，且，則．四、解答題8．（2025高三·全國·專題練習）設(shè)為數(shù)列的前項和．已知，且為等差數(shù)列．求證：數(shù)列為等差數(shù)列．題型題型分類知識講解與?？碱}型【考點一：等差數(shù)列基本量的運算】【例題】1．（25-26高三上·廣東深圳·開學考試）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（2025高三·全國·專題練習）已知各項均不為零的等差數(shù)列的前n項和為，滿足，，則的公差d的取值范圍為（

）A． B． C． D．【針對訓練】3．（2025高三·全國·專題練習）已知等差數(shù)列，的各項均不為0，記的公差為d，前n項和為，且．(1)若，求k；(2)記的前n項和為，若，且，求d的取值范圍．4．（2025高三·全國·專題練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A． B．C． D．5．（24-25高二下·廣東江門·期末）記為等差數(shù)列的前n項和，已知，，則（）A． B． C． D．【解題策略】一、核心解題步驟1.梳理條件與目標：明確題干給出的已知信息（如特定項的值、前項和、項數(shù)關(guān)系等），確定需求解的量（如某一項、前項和、項數(shù)、公差等）。2.選擇關(guān)聯(lián)公式：優(yōu)先選用與、直接關(guān)聯(lián)的核心公式，避免復雜推導： 通項公式：（連接“項”與基本量）； 前項和公式：（連接“和”與基本量）。3.建立方程（組）：根據(jù)獨立條件的數(shù)量列方程： 1個獨立條件：列1個關(guān)于和的一元方程（需結(jié)合其他隱含條件，如項數(shù)）； 2個獨立條件：列二元一次方程組（因2個基本量需2個方程確定，可直接解出和）。4.求解與驗證：解出和后，代入目標公式計算結(jié)果；必要時驗證結(jié)果是否符合隱含條件（如項數(shù)為正整數(shù)、公差符號與數(shù)列單調(diào)性一致等）。【考點二：等差數(shù)列的判定與證明】【例題】1．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列的前項和，令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．2．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列的前項和為，，．證明：數(shù)列為等差數(shù)列；【針對訓練】3．（24-25高二上·甘肅甘南·期末）已知數(shù)列中，，.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)設(shè)，求的前項和．4．（23-24高二上·江蘇鹽城·階段練習）若數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【解題策略】等差數(shù)列的判定與證明的解題策略等差數(shù)列的判定與證明核心是緊扣定義或等價條件，通過代數(shù)推導驗證數(shù)列是否滿足“從第二項起，每一項與前一項的差為常數(shù)”，避免僅通過有限項規(guī)律（如前3項差相等）直接判定。一、核心判定依據(jù)（4類關(guān)鍵方法）判定或證明數(shù)列為等差數(shù)列，需從以下方法中選擇，優(yōu)先用定義法或等差中項法，具體如下：判定方法核心等價條件適用場景1.定義法（最根本）對任意且，有（為常數(shù)）已知數(shù)列的通項遞推關(guān)系（如），或可通過變形得到相鄰項差2.等差中項法對任意且，有已知數(shù)列中三項的關(guān)系，或需證明某三項成等差，或可通過前項和推導3.通項公式法數(shù)列的通項公式可表示為（、為常數(shù)，且，）已知數(shù)列的通項公式，或可求出通項公式后驗證形式4.前項和公式法數(shù)列的前項和可表示為（、為常數(shù)，且，）已知數(shù)列的前項和公式，或可求出后驗證形式（注意：需排除常數(shù)項，即無常數(shù)項）二、通用解題步驟1.明確已知條件：梳理題干給出的信息（如遞推式、通項、前項和、特定項關(guān)系等），確定可調(diào)用的判定方法。2.選擇判定方法： 若給遞推關(guān)系（如的表達式），優(yōu)先用定義法； 若給三項關(guān)系或需證明“成等差”，優(yōu)先用等差中項法； 若已知或可求通項公式，驗證是否為“”形式（通項公式法）； 若已知或可求前項和，驗證是否為“”形式（前項和公式法）。3.代數(shù)推導驗證： 定義法：計算（），證明其結(jié)果為與無關(guān)的常數(shù)； 等差中項法：推導，證明其結(jié)果為； 公式法：將通項或前項和整理，驗證是否符合“一次函數(shù)”或“不含常數(shù)項的二次函數(shù)”形式。4.補充首項/初始條件：若推導僅從開始，需驗證是否等于前述常數(shù)（定義法），或確認首項滿足通項/前項和公式，確保數(shù)列整體為等差。三、常見易錯點與規(guī)避策略1.忽略“任意”：僅驗證前3項（如）即判定為等差，需強調(diào)“對所有成立”，必要時用數(shù)學歸納法輔助證明（針對遞推復雜的數(shù)列）。2.前項和公式誤用：若（），則從第二項起為等差，而非整個數(shù)列，需排除常數(shù)項的干擾。3.遞推式變形錯誤：對含與的遞推關(guān)系（如），需先通過（）消去，再用定義法判定，避免直接套用公式?！究键c三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用】【角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)】【例題】1．（2025·陜西漢中·三模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．30 B．40 C．60 D．1202．（2025·江西·二模）已知為等差數(shù)列，其前項和為，若，則下列各式的值不能確定的是（

）A． B． C． D．【針對訓練】3．（2025高三·全國·專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，當為定值時，也是定值，則.4．（2025·安徽·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，，若，，則．【角度2：等差數(shù)列的前N項和的性質(zhì)】【例題】1．（24-25高二下·陜西榆林·階段練習）在等差數(shù)列中，為其前項和，若，，則的值為．2．（24-25高二下·云南昆明·階段練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和分別是，若，則（

）A． B． C． D．【針對訓練】3．（24-25高二下·四川成都·期中）兩個等差數(shù)列和，其前項和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．4．（2025高二·全國·專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則，.【角度3：等差數(shù)列的前N項的最值】【例題】1．（22-23高二下·廣東佛山·期中）已知等差數(shù)列前n項和為，，，則使取得最大值時n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7多選題2．（23-24高二上·福建漳州·階段練習）已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當時取最大值 D．滿足的最大的正整數(shù)為10【針對訓練】多選題3．（23-24高二上·江蘇徐州·階段練習）等差數(shù)列的前項和為，已知，則（

）A． B．的前項和中最小C．使時的最大值為9 D．的最大值為0【多選題】4．（22-23高二下·江蘇揚州·開學考試）等差數(shù)列的前n項和為，且，，，則下列說法中正確的有（

）．A． B．C．當或6時，取最小值 D．5．（24-25高二下·湖北·期中）若數(shù)列滿足，，，設(shè)數(shù)列的前項和為，則當取最大值時，.【解題策略】等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用的解題策略等差數(shù)列的性質(zhì)是基于定義和公式推導的“簡化工具”，核心是利用性質(zhì)減少運算量，避免反復套用基本公式（、），尤其適用于求特定項、前項和或判斷項的關(guān)系。一、核心性質(zhì)分類與應用場景1.項的下標規(guī)律性質(zhì)（高頻考點）此類性質(zhì)圍繞“下標和相等”展開，是解決“項的和”“對稱項關(guān)系”的核心，需牢記： 性質(zhì)1：若（），則。 特殊情況：當時，，即（為與的等差中項）。 應用場景：已知某幾項的值，求另外幾項的和（如已知，求或）。 性質(zhì)2：數(shù)列是等差，則下標成等差數(shù)列的子數(shù)列仍為等差（如，公差為）。 應用場景：求周期性間隔項的關(guān)系（如已知，求，利用子數(shù)列公差）。2.前項和的特殊性質(zhì)此類性質(zhì)聚焦前項和的“局部與整體”關(guān)系，簡化求和計算： 性質(zhì)1：等差數(shù)列前項和，則仍為等差數(shù)列（公差為）。 應用場景：已知，，求（利用成等差，即，得）。 性質(zhì)2：若項數(shù)為（偶數(shù)），則，且（為偶數(shù)項和，為奇數(shù)項和）；若項數(shù)為（奇數(shù)），則，且（為中間項）。 應用場景：已知項數(shù)為5（奇數(shù)），，直接得中間項，進而求。 性質(zhì)3：前項和公式的“比值轉(zhuǎn)化”：若兩等差數(shù)列、的前項和分別為、，則。 應用場景：已知，求（直接得）。3.通項與前項和的關(guān)聯(lián)性質(zhì) 性質(zhì)1：通項公式與前項和的關(guān)系：（），且；若，則（直接由二次函數(shù)推導一次通項）。 應用場景：已知求，或驗證與的一致性。 性質(zhì)2：前項和的“一次函數(shù)特征”：，即數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。 應用場景：已知，，求（利用成等差，得）。二、通用解題步驟1.識別問題類型：判斷題目是求“特定項”“項的和”“前項和”還是“兩數(shù)列比值”，匹配對應的性質(zhì)（如下標和問題用性質(zhì)1，前項和的局部關(guān)系用性質(zhì)2）。2.優(yōu)先調(diào)用性質(zhì)：避免直接設(shè)、列方程（雖通用但運算量大），先觀察下標是否有“和相等”“成等差”等特征，或前項和是否有“局部間隔”（如）。3.補充基本量運算：若性質(zhì)無法直接求解（如缺少關(guān)鍵項或和），再設(shè)、（或、，利用中間項簡化），結(jié)合性質(zhì)列方程，減少未知數(shù)個數(shù)。4.驗證結(jié)果合理性：利用性質(zhì)反向驗證（如用驗證求得的項是否滿足和的關(guān)系），避免下標對應錯誤。三、常見易錯點與規(guī)避策略1.下標對應錯誤：應用“”時，混淆下標和（如誤將等同于，需確保而非），規(guī)避：先計算兩邊下標和，確認相等后再用性質(zhì)。2.前項和的局部性質(zhì)誤用：忽略“成等差”的前提是“等差數(shù)列”，且公差為（非），規(guī)避：記憶公差推導過程（），避免記混系數(shù)。3.項數(shù)奇偶性混淆：應用“項數(shù)為奇/偶時的、關(guān)系”時，誤將“項數(shù)為”的中間項記為（實際為），規(guī)避：明確“項數(shù)為時，中間項下標為（奇數(shù)項）”。課后針對訓練課后針對訓練一、單選題1．（24-25高二下·江西上饒·階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．36 B．48 C．60 D．1202．（2025·湖北黃岡·模擬預測）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．8 B．7 C．6 D．53．（2025·廣西柳州·模擬預測）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2025·四川成都·一模）在等差數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．1 D．25．（2025·