第24講解三角形1.余弦定理及其推論(1)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；(3)cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).2.正弦定理及其變形eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；(2)sinA=a2R,sinB=b2R(3)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c；(4)a+b+3.三角形的面積公式(1)S=12aha=12bhb=12chc(ha,hb,hc分別表示邊a,b,c(2)(R為△ABC的外接圓的半徑).(3)S=12(a+b+c)r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)(4)其中.4.實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內(nèi),視線在水平線上方時與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi),視線在水平線下方時與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西,方向角小于90°)方位角從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角5.常用結(jié)論(1)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；sinA+B2=cosC2；cosA(2)在△ABC中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.考點一正余弦定理解三角形考點二邊角轉(zhuǎn)化考點三利用基本不等式求范圍問題考點四利用三角函數(shù)值域求范圍考點一：正余弦定理解三角形例1．在中，角所對的邊分別為，且．若有兩解，則的值可以是（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】由題意畫出圖形，可得，求出的范圍，結(jié)合選項得出答案.【詳解】如圖，若有兩解，則，即，得.故的值可以是.故選：B.例2．如圖，等腰是BC上一點，、的外接圓半徑分別為、，則的值為（

）．A．1 B． C． D．由D點的位置確定【答案】A【分析】由正弦定理求解即可【詳解】在中，，在中，，因為，，所以，所以，所以，故選：A考點二：邊角轉(zhuǎn)化例3．在中，三角形三條邊上的高之比為，則為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】由題可得三角形三條邊之比為，然后利用余弦定理，求出最大邊所對角的余弦值，即可判斷出結(jié)果.【詳解】因為三角形三條邊上的高之比為，所以三角形三條邊之比為，即，不妨設(shè)，則最大角的余弦值為，因此角為鈍角，三角形為鈍角三角形.故選：A.例4．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正余弦定理及面積公式化簡計算即可.【詳解】由余弦定理可得：由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A考點三：利用基本不等式求范圍問題例5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，，則b＋c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理與基本不等式求出，再由三角形三邊關(guān)系得到，從而求出b＋c的取值范圍.【詳解】依題意得b2＋c2－bc＝3，即，解得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，因此b＋c的取值范圍是.故選：B例6．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若外接圓面積為，則面積的最大值為______．【答案】【分析】利用正弦定理的邊角互化和余弦定理求出角，再利用基本不等式和三角形面積公式求解.【詳解】由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以．由的外接圓面積為，得外接圓的半徑1．由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故答案為:.考點四：利用三角函數(shù)值域求范圍例7．在銳角△ABC中，，，則BC的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理、兩角差的正弦公式和正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由正弦定理得，所以因為銳角△ABC中，，所以，所以，所以，所以，即．故選:B.例8．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用余弦定理求角A，，再利用正弦定理，轉(zhuǎn)化，逆用兩角和與差的正弦公式化簡為，結(jié)合角的范圍求其取值范圍即可.【詳解】由余弦定理得，又，所以，所以，．由正弦定理可知，（R為外接圓的半徑），所以．又，所以，所以．故選：B．一、單選題1．當(dāng)孩子“嗖”地滑下來時，能享受到成功的喜悅.滑滑梯為兒童體育活動器械的一種，若測得，，，，，則滑滑梯的高度（

）A．18 B． C．20 D．【答案】C【分析】由正弦定理得到，進(jìn)而利用三角函數(shù)值求出.【詳解】在中，由正弦定理得，即，解得，因為，，所以.故選：C2．已知燈塔在海洋觀測站的北偏東的方向上，兩點間的距離為5海里.某時刻貨船在海洋觀測站的南偏東的方向上，此時兩點間的距離為8海里，該時刻貨船與燈塔間的距離為（

）A．3海里 B．4海里 C．6海里 D．7海里【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，利用余弦定理求解.【詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖，由已知可得，，由余弦定理可得，所以，所以，故選：D.3．已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，，，則（

）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式化簡已知條件，求得，利用余弦定理求得.【詳解】∵，，∴，，∴．∵為銳角三角形，∴，∴．而，∴．由余弦定理可得，∴，∴，則．故選：C4．為測量兩地之間的距離，甲同學(xué)選定了與不共線的處，構(gòu)成，以下是測量數(shù)據(jù)的不同方案：①測量；②測量；③測量；④測量.共中要求能唯一確定從地之間距離，則中甲同學(xué)應(yīng)選擇的方案的序號為（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理等知識對四個方案進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于①，測量，不能求出的值，對于②，測量，利用三角形內(nèi)角和定理求得，再利用正弦定理求得，且解唯一，對于③，測量，利用余弦定理，解一元二次方程可以求得，可能解不唯一，對于：④，測量，利用余弦定理直接求得，且解唯一，所以正確的為②④.故選：D5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在三棱錐內(nèi)構(gòu)造直線使其平行于，然后構(gòu)造三角形，運(yùn)用異面直線夾角的定義求解即可.【詳解】取的中點D，連接交于點E，連接DE，則且，則為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角．易求，，則，所以.故選：A．6．在中，角的對邊分別為，已知則（

）A．45°或135° B．135°C．45° D．60°或120°【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理得：得：，因為，所以，所以.故選：C二、解答題7．在銳角△中角所對的邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若△面積為，求邊的最小值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合角范圍求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式得，利用余弦定理得，利用基本不等式即可求出得最小值.【詳解】（1）由正弦定理得，，因為，故，又因為銳角，,.（2）由題意得，則，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故.8．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）記的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理邊化角以及余弦定理求解；(2)利用基本不等式和面積公式求解.【詳解】（1）由，得，由正弦定理，得.由余弦定理，得.又，所以.（2）由余弦定理，，所以，∵，∴，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”.所以三角形的面積.所以三角形面積的最大值為.9．在中，角所對的邊分別為，滿足.(1)求；(2)若，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將切化弦后利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化，即可得進(jìn)而求得角；（2）利用正弦定理將角化邊，由余弦定理可得再利用不等式即可求得面積的最小值.【詳解】（1）由可得，由正弦定理可得，整理得，又，即可得，所以；又，所以（2）利用正弦定理由可得，即；所以的面積利用余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；解得，所以，即面積的最小值為.10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角C；(2)若，求a＋b的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，利用正、余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊得出，再利用余弦定理求得，從而得出角C；（2）由已知結(jié)合正弦定理邊化角公式得，利用三角恒等變換整理得，最后根據(jù)正弦型函數(shù)的值域的求法，即可求得a＋b的取值范圍.【詳解】（1）∵，則，又∵，即，則，整理得，則∵，則.（2）由正弦定理，得，則，∵，則，∴，則，故a＋b的取值范圍為.11．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知．(1)求A；(2)若，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得，結(jié)合，求出；（2）由正弦定理得到，從而得到，結(jié)合，求出，得到的取值范圍.【詳解】（1）由，得：由正弦定理得：又，所以，故，即，則；（2）由正弦定理得：所以又因為，所以，又，故，故，則，所以故的取值范圍為．12．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）在四邊形中，．(1)證明：；(2)若，，，，求外接圓的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)由平行關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系，在兩個三角形中分別使用正弦定理，在根據(jù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行傳遞.(2)根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系對未知角的大小進(jìn)行求解，再在使用余弦定理對未知邊的大小進(jìn)行求解，最后在中使用正弦定理得到外接圓半徑.【詳解】（1）因為，所以,在中，由正弦定理可知，在中，由正弦定理可知，，所以，，故有.（2）由(1)可知，，設(shè)，又因為，可得，即，解得，所以，在中，由正弦定理可知，，所以，所以的外接圓的面積為.13．在中，角，，的對邊分別為，，，且，.(1)若，求的值；(2)若的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理求解即可；（2）利用三角形面積公式和余弦定理求解即可.【詳解】（1）由題意在中，，，，由正弦定理可得.（2）由，，，即，解得，由余弦定理，可得.14．（2023·山東·河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求證：；(2)若的角平分線交BC于，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理得又，所以因為為銳角三角形，所以，，又在上單調(diào)遞增，所以，即；（2）由（1）可知，，所以在中，，由正弦定理得：，所以，所以．又因為為銳角三角形，所以，，，解得，所以，即面積的取值范圍為．15．已知在中，角所對的邊分別是，且(1)求的大小；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可得，可求得；（2）利用正弦定理計算得，再由三角形內(nèi)角和可知，根據(jù)輔助角公式整理得，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性和值域即可得.【詳解】（1）根據(jù)，由正弦定理得，整理得，即，又，所以；即A的大小為.（2）因為,所以，又，所以；所以又因為，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），可得，即的取值范圍是16．在中，點D是BC上一點，AD平分，，，求：(1)的值；(2)若，求CD的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由面積比可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有，再應(yīng)用正弦邊角關(guān)系和已知、二倍角正弦公式得，即可得求解；（2）由（1）得，利用三角形內(nèi)角性質(zhì)、和角正弦公式求，最后應(yīng)用正弦定理求，再由求長度.【詳解】（1）由，又AD平分，即，所以，由正弦邊角關(guān)系知：，又，則，所以.（2）由，且，則，而，由（1）及三角形內(nèi)角知：，則，，所以，由，則又，故.17．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？家荒＃┮阎J角中，，且_____.請從下列個條件中任選兩個填充在橫線上，并求的值.①的面積為；②；③注：如果選擇不同條件分別解