【第26講：平面向量的概念及其線性運算】【新高考課程標準要求】1.理解向量的概念與表示：了解平面向量的實際背景，如力、速度、位移等，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義，明確向量的大小和方向是其基本要素。同時，要理解向量的幾何表示，即可以用有向線段來表示向量，掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量（共線向量）、相等向量、相反向量等概念。2.掌握向量的線性運算：掌握向量的加、減運算，需熟練運用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的加法和減法運算，并理解其幾何意義。例如，通過三角形法則可以直觀地看出向量相加時“首尾相連，首指向尾”的特點。掌握向量的數(shù)乘運算，理解實數(shù)與向量數(shù)乘的運算規(guī)則，即，以及數(shù)乘運算的幾何意義，如當時，與方向相同等。同時，要理解兩個向量共線的含義，掌握向量共線定理，即向量與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使得。3.了解線性運算性質(zhì)：了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義，如向量加法的交換律和結(jié)合律，數(shù)乘運算的分配律等，能夠運用這些性質(zhì)進行相關的推理和計算，體會向量運算與實數(shù)運算的聯(lián)系與區(qū)別，感受向量運算的獨特性?！局R梳理】平面向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量，用有向線段表示，有向線段的長度就是向量的模，如向量的模記作。2.零向量：長度為0的向量，記作，其方向是任意的。3.單位向量：長度等于1個單位長度的向量。對于非零向量，其單位向量為。4.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，記作。規(guī)定與任一向量平行。5.相等向量：長度相等且方向相同的向量，若與相等，記作。6.相反向量：長度相等且方向相反的向量，向量的相反向量記作。平面向量的線性運算1.向量的加法 定義：求兩個向量和的運算。規(guī)定。 三角形法則：已知非零向量，，在平面內(nèi)任取一點，作，，則，即“首尾相接，首尾連”。 平行四邊形法則：已知兩個不共線向量，，作，，以，為鄰邊作平行四邊形，則以為起點的對角線向量就是。 運算律：交換律；結(jié)合律。2.向量的減法 定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即。 三角形法則：已知向量，，在平面內(nèi)任取一點，作，，則，即“共起點，連終點，指向被減向量”。3.向量的數(shù)乘 定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作。其長度；當時，與方向相同，當時，與方向相反，當時，。 運算律：；；。4.共線向量定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得。常用結(jié)論1.中點公式的向量形式：若為線段的中點，為平面內(nèi)任一點，則。2.三點共線等價形式：若（，為實數(shù)），且，，三點共線，則。反之，若，則，，三點共線。3.向量三角不等式：已知非零向量，，則，當且僅當與同向或反向共線時，部分等號成立?！菊n前自測】1．（2025·河南·三模）若點A在點O的正北方向，點B在點O的南偏西方向，且，則向量表示（

）A．從點O出發(fā)，朝北偏西方向移動B．從點O出發(fā)，朝北偏西方向移動C．從點O出發(fā)，朝北偏西方向移動2kmD．從點O出發(fā)，朝北偏西方向移動2km2．（23-24高一下·廣東江門·階段練習）設是非零向量，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．（24-25高一下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）已知為不共線向量，，則（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線4．（2025·云南臨滄·模擬預測）關于非零向量，，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則，不是共線向量5．（2024·河北·模擬預測）在平行四邊形中，是的中點，與交于點，則（

）A． B． C． D．6．（2025·河南·模擬預測）已知，，且對任意的，恒成立，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．7．（2025·湖南·三模）在中，點是線段上一點，若，，則實數(shù)（

）A． B． C． D．8．（2025·廣東茂名·模擬預測）在平行四邊形中，點E、F分別是邊的中點，分別與交于R、T兩點，，（

）A． B． C． D．題型題型分類知識講解與?？碱}型【考點一：平面向量的基本概念】【例題】1．（2025高三·天津·專題練習）下列說法錯誤的是（

）A．B．，是單位向量，則C．若，則D．兩個相同的向量的模相等2．（24-25高一下·湖南岳陽·期末）下列說法正確的是（）A．若，則 B．零向量沒有方向C．相等向量的長度相等 D．共線向量是在同一條直線上的向量【針對訓練】3．（2025高一·全國·專題練習）已知非零向量，使得成立的充分非必要條件是（

）．A． B．C． D．4．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下關于平面向量的說法正確的是（

）A．若，則B．若則C．若是共線的單位向量.同D．若，則不是共線向量多選題5．（24-25高一下·江蘇鹽城·期末）下列選項中，正確的是（

）A．若兩個相等的非零向量的起點相同，側(cè)它們的終點可能不同B．若向量，則C．若向量，滿足，則或D．若非零向量與共線，則，，三點共線【解題策略】1.緊扣核心定義，雙向驗證“大小”與“方向”向量的本質(zhì)是“既有大小又有方向的量”，解題時需同時驗證這兩個要素，避免單一維度判斷： 判斷相等向量：需同時滿足“長度相等”和“方向相同”，二者缺一不可。 判斷平行（共線）向量：需滿足“方向相同或相反”，且明確“非零向量”前提（零向量與任一向量平行，但非零向量平行需方向關系）。 判斷單位向量/零向量：單位向量僅要求“長度為1”，方向不唯一；零向量僅要求“長度為0”，方向任意，需特別注意其特殊性。2.利用幾何意義，簡化抽象關系向量可通過有向線段直觀表示，其線性運算的幾何法則是解題關鍵： 加法：遵循“三角形法則”（首尾相連，和向量起點接首、終點接尾）或“平行四邊形法則”（共起點，和向量為對角線）。 減法：遵循“三角形法則”（共起點，差向量從減數(shù)終點指向被減數(shù)終點）。通過幾何意義可快速分析向量間的位置、長度關系，避免純代數(shù)運算的繁瑣。3.抓住特殊向量（零向量），規(guī)避易錯點零向量是概念題的高頻易錯點，需牢記其特性： 零向量方向任意，故“零向量與任意向量平行”，但不滿足平行關系的傳遞性（如且，無法推出）。 涉及“向量共線”“向量垂直”等命題時，需先考慮是否為零向量，排除特殊情況后再判斷一般情況。4.借助共線向量定理，解決共線問題共線向量定理是判斷向量共線、三點共線的核心工具： 若，則的充要條件是存在唯一實數(shù)，使得。 三點共線的充要條件：存在實數(shù)，滿足且，可通過設參數(shù)、列等式求解。5.明確向量與數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別避免混淆向量與數(shù)量的性質(zhì)： 數(shù)量僅含大小，可比較大小；向量含大小和方向，不能直接比較大小，僅能比較其模（與）的大小。 向量的運算（如加法、數(shù)乘）需遵循向量法則，而非單純的數(shù)值運算。【考點二：平面向量的線性運算】【例題】1．（2025·山東泰安·模擬預測）在平行四邊形中，已知，，則（

）A． B．C． D．2．（2025·全國·模擬預測）在中，點為邊的中點，點為的中點.記，，則（

）A． B．C． D．【針對訓練】3．（23-24高一下·河南開封·期末）如圖，在平行四邊形中，為的中點，與對角線相交于點，記，，則（

）A． B．C． D．4．（2025·湖北·模擬預測）在平行四邊形中，點是邊上的點，，點是線段的中點，若，則（

）A． B．1 C． D．5．（2024·四川·一模）如圖，在中，點分別在邊上，且，點為中點，則（

）

A． B．C． D．二、填空題6．（2025高三·全國·專題練習）在中，已知，且，則．【解題策略】1.熟練運用線性運算的核心法則解題前需牢記運算的基本規(guī)則，避免基礎錯誤： 加法法則： 三角形法則：首尾相連，和向量=首向量起點→尾向量終點（）。 平行四邊形法則：共起點，和向量=以兩向量為鄰邊的平行四邊形對角線（，為平行四邊形）。 減法法則：共起點，差向量=被減向量終點→減向量終點（）。 數(shù)乘法則： 長度：； 方向：時與同向，時與反向，時為零向量。2.優(yōu)先“基底化”：用已知向量表示未知向量根據(jù)平面向量基本定理（同一平面內(nèi)不共線的兩向量可作為基底，表示任意向量），解題時優(yōu)先選擇“已知條件多、位置特殊”的向量作為基底（如三角形的鄰邊、平行四邊形的邊），將未知向量轉(zhuǎn)化為基底的線性組合： 步驟：①確定基底（如、）；②將目標向量（如）拆分為與基底相關的向量；③利用運算法則合并，整理成的形式。 關鍵：拆分時緊扣圖形中的線段關系（如中點、三等分點、平行關系），通過“加/減”銜接向量。3.善用幾何意義：簡化抽象運算線性運算的幾何意義是“將代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為直觀圖形關系”，尤其適用于含幾何圖形（三角形、平行四邊形、多邊形）的題目： 遇“中點”“中線”：利用“中點向量公式”（如為中點，則），快速建立向量關系。 遇“平行”“共線”：結(jié)合數(shù)乘的方向性質(zhì)（如且，則）。 遇“多邊形”：利用“向量多邊形法則”（如四邊形中，），簡化多向量求和。4.巧用“共線向量定理”：解決參數(shù)與共線問題共線向量定理是線性運算中“關聯(lián)向量與參數(shù)”的核心工具，適用于求參數(shù)、判斷三點共線： 定理應用：若，則?存在唯一，使。 三點共線：若共線，且，則（反之亦成立）。解題時可設參數(shù)，通過向量相等列方程求解。5.注重“運算律”：簡化復雜表達式向量線性運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律，合理運用可簡化計算： 交換律：； 結(jié)合律：； 分配律：，。 示例：計算，可先展開分配律，再合并同類向量（結(jié)果為）。6.警惕“零向量”與“方向”陷阱 零向量：數(shù)乘中若，需考慮或兩種情況；共線問題中，零向量與任一向量共線，需先排除零向量再判斷非零向量的共線關系。 方向：數(shù)乘的方向是易錯點，需明確的正負對向量方向的影響，避免因方向判斷錯誤導致結(jié)果符號出錯。【考點三：共線定理及其應用】【例題】1．（2024·浙江·模擬預測）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點共線 B．、、三點共線C．、、三點共線 D．、、三點共線2．（2025·湖南邵陽·三模）設為所在平面內(nèi)一點，．若，則的值為（

）A．4 B．5 C． D．3．（2025·甘肅甘南·模擬預測）如圖，在中，為線段上一點，且，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【針對訓練】4．（2025·海南·模擬預測）在中，點為邊上一點，已知，則角的大小為（

）A． B． C． D．5．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如圖，在中，，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，.設，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（24-25高一下·湖北武漢·期中）如圖，在中，，P是BN上的一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預測）已知平面上點，，滿足，且，點滿足，動點滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．1或【解題策略】一、明確共線定理的核心內(nèi)容解題前需精準掌握定理的“充要條件”，避免條件遺漏： 定理表述：若向量，則向量與共線（平行）的充要條件是：存在唯一實數(shù)，使得。 關鍵條件： 1.必須強調(diào)（若，則需為，且不唯一，定理不成立）； 2.的唯一性：若且，則，可用于列方程求參數(shù)。二、核心應用場景與解題策略1.判定三點共線（最高頻應用） 轉(zhuǎn)化邏輯：三點共線?向量與共線（或與共線）。 解題步驟： 1.選取三點中的兩個向量（如和），確保其中一個非零； 2.根據(jù)共線定理設關系：（為實數(shù)）； 3.若向量用坐標表示，可列橫、縱坐標相等的方程，求解；若用基底表示，可通過基底系數(shù)相等列方程。 重要推論：若為平面內(nèi)任意一點，共線?存在實數(shù)，使得，且（反之亦成立）。解題時可直接利用“”快速建立參數(shù)關系，簡化計算。2.求參數(shù)值（含坐標與基底兩種情況） 情況1：向量用坐標表示 策略：設（），，則?（此為坐標形式的共線條件，由推導得出：，，消去即得）。直接代入坐標列方程，求解參數(shù)（如向量坐標中的未知量）。 情況2：向量用基底表示 策略：設基底為（不共線），若，，則?存在，使得且（基底系數(shù)成比例）。通過系數(shù)比例關系列方程，求解參數(shù)（如中的未知量）。3.證明線線平行（幾何證明題） 轉(zhuǎn)化邏輯：要證兩條直線平行（不重合），可證直線上的“方向向量”共線。 解題步驟： 1.分別在兩條直線上取非零方向向量（如直線的方向向量，直線的方向向量）； 2.證明存在實數(shù)，使得（即與共線）； 3.補充說明兩條直線不重合（可通過直線上一點不在另一條直線上證明），即可得。三、避坑關鍵：警惕易出錯點1.忽略“非零向量”條件：應用定理時，必須先明確所設的“基準向量”（如）非零，否則可能出現(xiàn)不唯一或邏輯矛盾（例如，若，，則不存在使）。2.混淆“共線”與“重合”：向量共線僅表示方向相同或相反，對應直線可能平行或重合。若題目要求“直線平行”，需額外證明兩直線不重合；若僅需“三點共線”，則無需排除重合（三點共線本身包含重合情況）。3.誤用“”的前提：推論“且”的前提是“為任意點，共線”，若與共線，該推論仍成立，但需確保向量表達式正確，避免因點的位置錯誤導致系數(shù)計算偏差。課后針對訓練課后針對訓練一、單選題1．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）下列四個命題中為真命題的是（

）A．已知是空間中任意五點，則B．若向量，滿足，則C．若分別表示兩個空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量可以是共面向量D．若，則四點共面2．（24-25高一下·廣東深圳·階段練習）下列命題中，正確的是（

）A．若，則與方向相同或相反B．若，則C．“”是，共線”的充要條件D．若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等3．（2025·云南·模擬預測）在平行四邊形中，點E是邊上的四等分點（靠近點D），則（

）A． B．C． D．4．（2025·安徽·模擬預測）已知在中，點D滿足，設，則（

）A．1 B． C． D．25．（2025·湖北宜昌·二模）已知均為單位向量.若，則與夾角的大小是（

）A． B． C． D