考點(diǎn)六函數(shù)（選填題10種考向）考向一函數(shù)的單調(diào)性【例1-1】（2025·江西·一模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由且，得，即或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.【例1-2】（2025·貴州畢節(jié)·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且外層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，可得，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【例1-3】（2025·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)是增函數(shù)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【例1-4】（2025·山東菏澤·一模）已知，則下列不等關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題知，，即函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減..，.故選：A.【例1-5】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與均是增函數(shù)，所以，函數(shù)是上的增函數(shù)只需滿足，即，解得，由得，即恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以，，即，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【例1-6】（2025·貴州六盤水·一模）函數(shù)，若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，為減函數(shù)；又因?yàn)樗詾槠婧瘮?shù)，若，不等式恒成立，則不等式，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以恒成立，所以恒成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值3，所以，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B.【例1-7】（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知，是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，滿足，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，所以，聯(lián)立，解得，又對(duì)任意的，都有成立，所以，所以成立，構(gòu)造，則，所以在上單調(diào)遞增，①若，則對(duì)稱軸，解得；②若，則在單調(diào)遞增，滿足題意；③若，則對(duì)稱軸恒成立；綜上，,故選：D考向二函數(shù)的奇偶性【例2-1】（2025·四川巴中·一模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．無(wú)解【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，則，若為奇函數(shù)，則，即，a的值不是常數(shù)，即無(wú)解．故選：D【例2-2】（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A：，定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，不符；B：，定義域?yàn)?，是奇函?shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，易知在上單調(diào)遞減，不符；C：，定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，不符；D：，定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，易知在R上單調(diào)遞增，符合.故選：D【例2-3】（2025·山東聊城·一模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使奇函數(shù)是增函數(shù)，則需要在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，此時(shí)的對(duì)稱軸，所以只需即可，即.故選：B【例2-4】（2025·河北·一模）（多選）已知函數(shù)下列命題正確的是（

）A．若是奇函數(shù)，則B．若是奇函數(shù)，則C．若是減函數(shù)，則的取值范圍為D．若是減函數(shù)，則的取值范圍為【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，.若是奇函數(shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，也滿足奇函數(shù)，故A正確.若是減函數(shù)，則，解得，C正確.故選：AC【例2-5】（2025·陜西寶雞·二模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C．8 D．16【答案】D【解析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又定義域?yàn)?，即且，，故，解?又，故，此時(shí)為奇函數(shù)，故.故選：D考向三函數(shù)的對(duì)稱性【例3-1】（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則曲線的對(duì)稱中心為．【答案】【解析】曲線的對(duì)稱中心為，則，即，整理得，依題意，與無(wú)關(guān)，則，解得，此時(shí)，所以曲線的對(duì)稱中心為.故答案為：【例3-2】（2025·山東）已知函數(shù)，則不等式的解集為.【答案】【解析】由已知得：，所以，即則不等式等價(jià)于，再由，可得在上單調(diào)遞增，所以，解得，故答案為：.【例3-3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，若，則.【答案】【解析】，，.故答案為：【例3-4】（2025·內(nèi)蒙古）已知定義在上的函數(shù)，滿足不等式，則的取值范圍是．【答案】【解析】易知函數(shù)在上為單調(diào)性遞增，即可得是上的增函數(shù)，令，則是上的增函數(shù)，易知，可得,即的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，由可得，即，由可得；所以，利用是上的增函數(shù)可得，解得.即的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式的方法步驟：（1）根據(jù)解析式特征得出函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性、周期性等性質(zhì)；（2）再判斷得出函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性并結(jié)合定義域得出不等式（組）；（3）解不等式可得結(jié)論；【例3-5】（2025·江西·一模）已知函數(shù)，若，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則.【答案】【解析】∵時(shí)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此時(shí)為奇函數(shù)，∴，即，∴.∵時(shí)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故此時(shí)為偶函數(shù)，∴，即，∴.①②兩式相加得，，整理得，.故答案為：.【例3-6】（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則.【答案】3【解析】由知，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)橛珊瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，且恒成立，即，所以，整理得，所以，故故答案為：3考向四函數(shù)的周期性【例4-1】（2025·陜西）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則．【答案】【解析】根據(jù)題意知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以可得，，，所以可得，，則是以為周期的函數(shù)，又因?yàn)槠婧瘮?shù)，令，可得，所以.故答案為：【例4-2】（2025·江蘇）已知函數(shù)，的定義域均為，是奇函數(shù)，且，，則．【答案】48【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋瑒t有，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，即有與，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)榍?所以，所以為偶函數(shù)，由是奇函數(shù)，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且的周期?，所以，由得，因?yàn)椋裕裕?故答案為：.【例4-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，，則．【答案】【解析】解法一因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可得，所以，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，可得，即，所以，所以是周期為12的周期函數(shù)，則．解法二

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以是周期為12的周期函數(shù)，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，則．故答案為：.【例4-4】（2025·江蘇南通·一模）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，的導(dǎo)函數(shù)滿足，則．【答案】3【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，即.兩邊求導(dǎo)，可得：，可得.因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則.用代替可得.將代入中，可得①.用代替可得②.由②-①可得：.所以是周期為的周期函數(shù).所以.在中，令，可得.又因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以.在中，令，可得，解得，所以，即.故答案為：3.【例4-5】（2024·江西鷹潭·一模）已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋瑸榈膶?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，求=．【答案】【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以是奇函數(shù)，故，由，代入，得，則，所以，又是奇函數(shù)，所以，所以是周期函數(shù)，且周期為4，又，可知也是以4為周期的周期函數(shù)，令，得，故，而所以，令，得，則，而，，又，則，，故答案為：.考向五函數(shù)4大性質(zhì)的綜合【例5-1】．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，且，則（

）A．4040 B．4044 C．4046 D．4048【答案】D【解析】由為奇函數(shù)，得，即，由為偶函數(shù)，則，即，即，則，即，于是，因此，函數(shù)是周期為4的函數(shù)，由，，得，所以.故選：D【例5-2】（2025·江西九江·一模）定義在上的函數(shù)滿足：①對(duì)任意，都有；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱：③則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C． D．【答案】C【解析】令，得，即，故函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱．又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．，是以4為周期的周期函數(shù)．對(duì)于A，的圖象是將的圖象向左平移2個(gè)單位，故的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的圖象是將的圖象向左平移1個(gè)單位，故的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得；由，得，，故C正確；對(duì)于D，依題意，得，，，故D錯(cuò)誤．故選：C．【例5-3】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于函數(shù)有，，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以得，則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：由對(duì)稱性可得，所以，故A錯(cuò)誤；由于，，所以，故B錯(cuò)誤；又，，所以，故C正確；，且，因?yàn)?，所以，故，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.【例5-4】（2025·安徽·一模）（多選）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，設(shè)在上的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由題得，所以即，所以是奇函數(shù)，故，又由得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，所以，故，所以，即函數(shù)是周期為6的函數(shù)，所以也是周期為6的函數(shù)，即，由求導(dǎo)得即，所以，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上也是周期為6的函數(shù)，即，C正確；對(duì)于D，由得，且即，且即，且即，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD考向六函數(shù)圖像【例6-1】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】恒成立，故的定義域?yàn)镽，，故為奇函數(shù)，BD錯(cuò)誤；當(dāng)趨向于時(shí)，的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)大于的速度，故趨向于0，C錯(cuò)誤，A正確.故選：A【例6-2】（2025·安徽合肥·一模）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由知，，即，所以函數(shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)，時(shí)，，排除C；當(dāng)時(shí)，符號(hào)可正可負(fù)，所以可正可負(fù)，故可排除D；故選：B【例6-3】（2025·貴州黔東南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除C；又由當(dāng)時(shí)，排除A，B;故選：D．【例6-4】（2025·江西·一模）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)是定義域?yàn)楹瘮?shù)，是奇函數(shù)，所以排除B，C，又函數(shù)在原點(diǎn)附近的零點(diǎn)為和1，可取大于0且接近于0的一個(gè)數(shù)，如0.1，得，所以排除D．故選：A.【例6-5】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為偶函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A，C.因?yàn)?，故排除B.故選：D.考向七函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例7-1】（2025·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，由可得，令，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【例7-2】（2025·寧夏銀川·一模）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則方程所有的根之和為（

）A．14 B． C．12 D．【答案】B【解析】由，則關(guān)于中心對(duì)稱，關(guān)于直線軸對(duì)稱，且，將替換為，則，則，即的周期為4.畫出以及的函數(shù)圖象，如圖所示，

兩個(gè)函數(shù)圖象均關(guān)于對(duì)稱，則所有的根之和為.故選：B【例7-3】（2025·河北保定·一模）已知是定義在上的函數(shù)，且有，當(dāng)時(shí)，，則方程的根的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】是定義在上的函數(shù)，且有，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，則，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，由圖象可知方程的根的個(gè)數(shù)為3.故選：C.【例7-4】（2025·陜西西安·二模）已知函數(shù)，若在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在時(shí)有一個(gè)解，即方程在時(shí)有一個(gè)解，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則，即.故選：B.【例7-5】（2025·河南·二模）已知函數(shù)若，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，且，所以的圖象如下所示：又，且，不妨令，結(jié)合圖象可知且，即，所以，即的取值范圍為.故選：A【例7-5】（2025·江蘇淮安·二模）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．則方程所有的根之和為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【解析】已知，所以函數(shù)是奇函數(shù).又因?yàn)?，則，用代替可得：，所以.所以函數(shù)的周期是.方程可化為，所以方程的根就是函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)時(shí)，，對(duì)求導(dǎo)得，其判別式，且二次項(xiàng)系數(shù)，所以，則在上單調(diào)遞增.，.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在上也單調(diào)遞增，.又因?yàn)榈闹芷谑?，可畫出的大致圖象.直線恒過(guò)點(diǎn).通過(guò)分析函數(shù)圖象可知，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，直線也過(guò)點(diǎn)，所以，，.則.故選：B.【例7-6】（24-25高三上·浙江寧波·期末）已知函數(shù)且在R上為單調(diào)函數(shù).若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;故當(dāng)時(shí)，也是單調(diào)遞減，故要確保在R上單調(diào)遞減，則，解得：，所以滿足在R上單調(diào)遞減時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞減，，所以，即在上的值域?yàn)榱睿瑒t或3，即或，要使得有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則，解得：綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：，即故選：C.考向八抽象函數(shù)【例8-1】（2025·河北秦皇島·一模）（多選）已知定義在上的函數(shù)，若，都有，且的值域?yàn)?，則以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C．為偶函數(shù)D．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】BC【解析】對(duì)于A，令則，故或，令，則，若，則，與的值域?yàn)槊?，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令則，故或，令，則，若，則，與的值域?yàn)槊埽?，令則，故，或，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，故，故，故B正確；對(duì)于C，令則，故，故C正確；對(duì)于D，的值域?yàn)椋实膱D象不可能關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：BC【例8-2】（2025·黑龍江吉林·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．是偶函數(shù)【答案】ABD【解析】令，可得，解得，故C錯(cuò)誤；令，，則，由偶函數(shù)的定義知，是偶函數(shù)，故D正確；令，則，由是偶函數(shù)，則①，令，則②，①②可得，又，則，代入①可得，，故AB正確；故選：ABD.【例8-3】（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且.則（

）A． B． C． D．可能為增函數(shù)【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，所以令，可得，故A正確；再令，可得，又因?yàn)?，所以，又令，可得，所以，故B正確；不妨取，則，，此時(shí)滿足原恒等式，但是當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；但由于此時(shí)在上是增函數(shù)，故D正確；故選：ABD.【例8-4】（2025·廣西·一模）已知函數(shù)滿足：（1）對(duì)任意，都有；（2）對(duì)任意，都有．則的值是（

）．A．324 B．336 C．348 D．360【答案】C【解析】對(duì)任意的，由（1）得，即.故在上為單調(diào)增函數(shù).對(duì)任意，由（2）得.顯然.否則，.矛盾.若，則，矛盾.所以，.故，.由，得，.則，.故.故選：C【例8-5】（2025·海南·三模）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C． D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，令可得：，所以，正確；對(duì)于B，令，可得：，令可得：，即，所以，即是奇函數(shù)，正確；對(duì)于C：令，可得，由B可得：，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，可得：，所以所以，，,累加可得：所以，化簡(jiǎn)可得：，當(dāng)時(shí)，代入可得滿足，所以，則，故選：ABD【例8-6】（2025·河南·二模）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，?dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．在上單調(diào)遞增C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】令，，則有，由，故，即，故A錯(cuò)誤；令，，則有，由，，故、、，則，即當(dāng)時(shí)，有恒成立，故在上單調(diào)遞增，故B正確；令，，則有，即，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故C正確；由數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，即，所以當(dāng)時(shí)，令可得，當(dāng)時(shí)，所以，因?yàn)?，則，又，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故D正確；故選：BCD.考向九函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例9-1】（2025·甘肅·一模）某班研究性小組的同學(xué)為了研究活性碳對(duì)污水中某種污染物的吸附能力，設(shè)計(jì)了一種活性碳污水凈化裝置.現(xiàn)污水中該種污染物含量為（單位：），測(cè)得污水通過(guò)長(zhǎng)度為（單位：）的凈化裝置后污染物的含量如下表：0123研究小組的同學(xué)根據(jù)表格數(shù)據(jù)建立了關(guān)于的函數(shù)模型.則與表格中數(shù)據(jù)吻合的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域?yàn)?；第二，在定義域單調(diào)遞減且單位減少率變慢；第三，函數(shù)圖象過(guò).函數(shù)和圖象不過(guò)，不符合條件，故BC錯(cuò)誤；函數(shù)單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：滿足上述條件，故D正確.故選：D.【例9-2】（2025·北京平谷·一模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量（單位：）與時(shí)間（單位：）間的關(guān)系為，其中是正的常數(shù)，如果前消除了的污染物，那么從消除的污染物到消除的污染物大約需要經(jīng)歷（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：，即，即，設(shè)消除的污染物對(duì)應(yīng)事件為，即，設(shè)消除的污染物對(duì)應(yīng)事件為，即，兩式相除可得：，即，所以：，即從消除的污染物到消除的污染物大約需要經(jīng)歷，故選：A【例9-3】（24-25高三上·河南南陽(yáng)·開學(xué)考試）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的，如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“進(jìn)步”的是“退步”的倍.若每天的“進(jìn)步”率和“退步”率都是20%，則要使“進(jìn)步”的是“退步”的100倍以上，最少要經(jīng)過(guò)天.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】12【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)x天后，“進(jìn)步”的是“退步”的100倍以上，則，即，∴（天）．故最少要經(jīng)過(guò)12天故答案為：12【例9-4】（2025·北京延慶·一模）延慶媯水公園岸邊設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，護(hù)欄與護(hù)欄之間用一條鐵鏈相連.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條均勻，柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.已知函數(shù)的部分圖象與懸鏈線類似，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．為奇函數(shù) B．的最大值為1C．在上單調(diào)遞增 D．方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】D【解析】對(duì)A，定義域?yàn)镽，∵，則為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)BC，又∵，根據(jù)，在R上均單調(diào)遞增，則在在R上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；則，即的最小值為，B錯(cuò)誤；對(duì)D，令,，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根,故D正確.故選：D【例9-5】（24-25四川達(dá)州·期末）國(guó)際上常用普姆克實(shí)驗(yàn)系數(shù)（單位：pmk）表示藥品的治愈效果，系數(shù)越大表示效果越好.某研究機(jī)構(gòu)元旦時(shí)在實(shí)驗(yàn)用小白鼠體內(nèi)注射某種實(shí)驗(yàn)藥品，二月底測(cè)得普姆克系數(shù)為24pmk，三月底測(cè)得普姆克系數(shù)為36pmk，已知該藥品在當(dāng)年第x月月底測(cè)得的普姆克系數(shù)y與月份x（單位：月）的關(guān)系是.則普姆克系數(shù)是一月底的普姆克系數(shù)5倍以上的最小月份是（

）（參考數(shù)據(jù)：，.）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根據(jù)題意可知時(shí)，；時(shí)，，∴，解得．故該函數(shù)模型的解析式為一月底，，；當(dāng)時(shí)，，一月底普姆克系數(shù)是，令，得，所以，所以普姆克系數(shù)是一月底的普姆克系數(shù)5倍以上的最小月份是5月.故選：C【例9-6】（2024河南南陽(yáng)·期中）放射性核素鍶89的質(zhì)量M會(huì)按某個(gè)衰減率衰減，設(shè)其初始質(zhì)量為，質(zhì)量M與時(shí)間t（單位：天）的函數(shù)關(guān)系為，若鍶89的質(zhì)量從衰減至，，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得，則，即．因?yàn)?，所以．故選：A考向十新定義函數(shù)【例10-1】（2025·河南安陽(yáng)·一模）（多選）定義：已知函數(shù)在其定義域上的最大值為，最小值為，若，則稱是“間距函數(shù)”，則下列函數(shù)是“間距函數(shù)”的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，易知的最大值為，最小值為，則，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值為，最小值為，則，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，，令，，當(dāng)時(shí)，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為，最小值為，則，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，令，因?yàn)?，則，且，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為，則，所以選項(xiàng)D正確，故選：BCD.【例10-2】（2025·云南昆明·一模）（多選）懸鏈線是一根目睹均勻的繩子或鐵鏈兩端固定在水平桿上，受重力的作用自然下垂后形成的曲線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后，得到懸鏈線的函數(shù)解析式為，其中，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞增C．， D．【答案】ACD【解析】對(duì)A，由題知定義域?yàn)椋?，是偶函?shù)，故選項(xiàng)A正確.對(duì)B，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.又，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)C，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)C正確.對(duì)D，，，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【例10-3】（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，若存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).若存在個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱為“型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，令，即．因?yàn)榫鶠榈膯握{(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，即．由于均為的單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．令，得，解得，此時(shí)，所以直線與曲線相切于點(diǎn)．所以直線與曲線共有兩個(gè)交點(diǎn)，所以為“2型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，作出的圖象，如圖所示．易知其與直線有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即有三個(gè)不同的解，所以為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故D正確．故選：D.【例10-4】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）（多選）對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)于其定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，都有，并且，則稱函數(shù)為“比翼函數(shù)”.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)是“比翼函數(shù)”B．若函數(shù)在上為“比翼函數(shù)”，則C．若函數(shù)在上為“比翼函數(shù)”，當(dāng)，，則，D．若函數(shù)在上為“比翼函數(shù)”，其函數(shù)值恒大于0，且在上是單調(diào)遞減函數(shù)，記，若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，對(duì)于，則，所以，則函數(shù)是“比翼函數(shù)”，故A正確；對(duì)于B，取，則，所以，此時(shí)在上為“比翼函數(shù)”，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)是上的“比翼函數(shù)”，其函數(shù)值恒大于0，且在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，任取且，則，所以，，所以，所以函數(shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，故函?shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，則，所以，故D正確.故選：ACD【例10-5】（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的圖象上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得在這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)處的切線重合，則稱為“共切線函數(shù)”，則下列函數(shù)中是“共切線函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，，其中為銳角且，顯然直線是圖象的切線且切點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，故A項(xiàng)正確．對(duì)于B項(xiàng)，，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞珹，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以（為常數(shù)）至多有兩個(gè)解，即不存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)處的切線斜率相同，故B項(xiàng)鍇誤．對(duì)于C項(xiàng)，作出的部分圖象，如圖所示：則的圖象與直線相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，所以是“共切線函數(shù)”，故C項(xiàng)正確．對(duì)于D項(xiàng)，，則，注意到，，所以在點(diǎn)處的切線方程均為，故D項(xiàng)正確．故選:ACD單選題1．（2025·河北秦皇島·一模）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由在區(qū)間上單調(diào)遞減，則需要在區(qū)間上單調(diào)遞增，故對(duì)稱軸，則，解得，故選：C2．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由在上單調(diào)遞增，則，由在上單調(diào)遞減，則，所以.故選：D3．（2025·山東·一模）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，故，且為減函數(shù)，若，則在為減函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，故舍去；若，則為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故.故的取值范圍是.故選：D.4．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知當(dāng)時(shí)，,故，滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，所以.綜上，.故選：C5．（2025·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】函數(shù)，分母恒大于，所以函數(shù)在處有定義.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以.可得：，即，解得.時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故選：B.6．（2025·貴州畢節(jié)·一模）若函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】令，則有或，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因?yàn)橹本€與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有7個(gè)解．故選：C．7．（2025·山東日照·一模）定義在上的函數(shù)滿足以下條件：①；②對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有．則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足條件，所以函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有，所以不妨設(shè)，則有，因此時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，故選：A8．（2025·湖北·二模）已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)遞減函數(shù)，且存在函數(shù)使得.若分別是方程和的根，則（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且，所以，?因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈膯握{(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)單調(diào)遞減，又因，故，即.故選：A.9．（2025·黑龍江·二模）已知函數(shù)（其中且），若對(duì)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)，則由得，令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)樗?，故選：A10（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】恒成立，故的定義域?yàn)镽，，故為奇函數(shù)，BD錯(cuò)誤；當(dāng)趨向于時(shí)，的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)大于的速度，故趨向于0，C錯(cuò)誤，A正確.故選：A11．（2025·河北保定·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的方程在定義域內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，即，可轉(zhuǎn)化為方程在定義域內(nèi)有解，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可知，又，所以，所以，令，則，因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以.故選：B.12．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由在上單調(diào)遞增，則值域?yàn)?，由?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，開口向上，則，顯然成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，顯然成立；當(dāng)時(shí)，開口向下，則，則；綜上，.故選：D13．（2025·江蘇泰州·一模）定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增.設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】定義在上的奇函數(shù)滿足，則的圖象的對(duì)稱軸是，所以，則，則，所以的周期是8，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.故選：D.14．（2025·山西·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（

）A．0 B．2025 C． D．1013【答案】D【解析】由得，且函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；由得.又由得，所以，得函數(shù)是周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故.故選：D15．（2025·貴州畢節(jié)·一模）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且時(shí)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，則，即，所以，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，，，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?故選：D.16．（2025·江西贛州·一模）已知，記，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由換底公式等價(jià)變形得：，因?yàn)?，兩邊取?為底的對(duì)數(shù)可得：，又因?yàn)?，兩邊取?為底的對(duì)數(shù)可得：，可知，由，可得，由，可得，從而可得，故選：C.17．（2025·廣東湛江·一模）已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，不等式恒成立，則的值不可能是（

）．A． B． C． D．3【答案】D【解析】因?yàn)槎x在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，令，即，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即恒成立，故滿足題意，排除選項(xiàng)A；若，則，函數(shù)在上不單調(diào)，圖象如圖所示，又，即，可理解為函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象下方，所以由圖象可得，即，令，則，，.故選：D多選題18．（2025·重慶·一模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，若，，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．是周期為的周期函數(shù) D．【答案】BCD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，且，，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，由可得，整理可得，當(dāng)時(shí)，則有，即，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，，，，，所以，，因?yàn)椋瑒t，D對(duì).故選：BCD.19．（2025·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若，函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．C． D．【答案】ACD【解析】為奇函數(shù)，即其函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，將其向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，即①，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，理由如下：由②可得，，則，若B選項(xiàng)正確，則，矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；①②兩式相加可得，，則，，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)①②兩式分別求導(dǎo)得，③，④，③④兩式聯(lián)立可得，⑤，再將替換為，得⑥，⑤⑥兩式聯(lián)立可得，，則的周期為4，故，在④式中令得，，在③式中令得，，故，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.20．（24-25福建泉州·階段練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則（

）A． B．C． D．關(guān)于的方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】ABD【解析】如圖，依題意作出函數(shù)的圖象，對(duì)于A項(xiàng)，作出關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)的圖象，與直線交于點(diǎn)，則，不難看出點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，則，故，A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，由可得：，即，則得，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由解得：，由解得：，，此時(shí)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，依題意，，在上單調(diào)遞增，故，于是由圖知，函數(shù)與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于的方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解，故D項(xiàng)正確.故選：ABD21．（23-24·陜西渭南·期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足不恒為零，且，，.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．是偶函數(shù) D．在上有個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【解析】，所以是周期為的周期函數(shù).，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由令，得，則，令得，即，A選項(xiàng)正確.則，由，得，以替換得，所以是奇函數(shù)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)周期性可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B選項(xiàng)正確.由于，所以，，由上述分析可知，在區(qū)間上，至少有如下個(gè)零點(diǎn)：，對(duì)于，可以構(gòu)造如下的符合題意的函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象，此時(shí)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB22．（2025·黑龍江哈爾濱·一模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的為（

）A．4是的一個(gè)周期 B．是偶函數(shù)C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，用代換上式中的可得，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即，又，所以，所以，所以，所以，所以函數(shù)的周期為，故正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，所以是偶函數(shù)，故正確；因?yàn)?，所以，即，故正確；因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，因?yàn)?，令可得，又關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，所以，故不正確.故選：.23．（2025·吉林延邊·一模）設(shè)是上的奇函數(shù)，且對(duì)都有，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值是1，最小值是0 B．當(dāng)時(shí)，