第15講三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)題型梳理題型梳理易錯分析易錯點(diǎn)一忽略ω的正負(fù)對三角函數(shù)性質(zhì)的影響題型方法題型一三角函數(shù)的圖象變換題型二根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求解析式題型三判斷三角函數(shù)的單調(diào)性與最值題型四求三角函數(shù)的最小正周期題型五三角函數(shù)圖象的對稱性題型六極值、零點(diǎn)問題題型七ω的求解知識清單知識清單知識點(diǎn)01用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．知識點(diǎn)02正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))單調(diào)遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ常用結(jié)論1．對稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是eq\f(1,2)個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是eq\f(1,2)個周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．易錯分析易錯分析【易錯點(diǎn)一】忽略ω的正負(fù)對三角函數(shù)性質(zhì)的影響【例1】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】可化為，故單調(diào)增區(qū)間：，，解得，.令，，令，.，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D【舉一反三】【變式1】（2021·陜西咸陽·一模）設(shè)函數(shù)，則在上的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出函數(shù)的減區(qū)間，再與求交集媽阿中得．【詳解】由已知，，，又，∴減區(qū)間為．故選：D．【變式2】已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵函數(shù)，由，可得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D．【變式3】（2025·寧夏·一模）已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換得，再求出其單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】，令，解得，所以其單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.題型方法題型方法【題型一】三角函數(shù)的圖象變換【例1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù)（）向左正移個單位后在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象平移規(guī)律、函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】函數(shù)向左平移個單位后為，當(dāng)時，，∵單調(diào)遞增，所以，即，可得，又，∴.故選：B.解題技巧(1)由y＝sinωx的圖象到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移eq\f(φ,ω)(ω>0，φ>0)個單位長度而非φ個單位長度．(2)如果平移前后兩個圖象對應(yīng)的函數(shù)的名稱不一致，那么應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，ω為負(fù)時應(yīng)先變成正值【舉一反三】【變式1】（2024·福建廈門·三模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先將化為正弦型，然后由平移規(guī)律可得答案.【詳解】因為，所以.故選：A【變式2】（2025·上海浦東新·模擬預(yù)測）把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮以及平移變換規(guī)律，即可求得答案.【詳解】函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），可得，再將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度，可得，即故答案為：【變式3】（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)，求函數(shù)的最大值.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）由已知及倍角余弦公式可得，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解集即可；（2）設(shè)，原函數(shù)化為，利用導(dǎo)數(shù)求極值、端點(diǎn)值，并比較大小即可得最大值.【詳解】（1）由得：，所以，得，所以或，的取值范圍為或.（2）由，設(shè)，函數(shù)，可得令且得：，當(dāng)時，，時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，易知最大，函數(shù)的最大值為.【題型二】根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求解析式【例2】（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖像如圖，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過三角函數(shù)圖像的翻折可得的值，結(jié)合五點(diǎn)作圖的思想可得和的值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】令，由圖易得，所以，，得，當(dāng)時，由五點(diǎn)作圖可得，解得，，不滿足，故舍去，所以，結(jié)合得，此時應(yīng)滿足，結(jié)合，解得，故的解析式為，故選：B.【舉一反三】【變式1】（2020·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)的部分圖像如圖，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)定義域排除A，根據(jù)奇偶性排除D，根據(jù)單調(diào)性排除B，即可得出答案.【詳解】由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，對A項，由于定義域不是，則A錯誤；對B項，當(dāng)時，，；.則函數(shù)在不是單調(diào)遞增，則B錯誤；對C項，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則函數(shù)為奇函數(shù)，則C正確；對D項，，則函數(shù)不是奇函數(shù)，則D錯誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)圖象判斷解析式，屬于中檔題.【變式2】（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）已知函數(shù)部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用排除法，結(jié)合奇偶性和零點(diǎn)分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，可知為偶函數(shù)，但函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，不合題意，故A錯誤；對于選項BC：若，則，即，，可知函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，不合題意，故B，C錯誤，檢驗可知選項D符合題意，故D正確．故選：D.【變式3】（2025·江西九江·三模）若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則．【答案】/【分析】先根據(jù)余弦函數(shù)相位變換及誘導(dǎo)公式求得函數(shù)解析式，然后利用特殊角的余弦值求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以．故答案為：【題型三】判斷三角函數(shù)的單調(diào)性與最值【例3】（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】因為.對于A選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，D錯.故選：C.解題技巧(1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，可先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解．【舉一反三】【變式1】（2025·山東濰坊·模擬預(yù)測）下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用給定最小正周期及單調(diào)性逐項判斷即得.【詳解】對于A，的圖象可由的圖象將x軸下方部分翻折到x軸上方得到，故其最小正周期為，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，A是；對于B，由A的分析同理可知的最小正周期為，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，B不是；對于C，的最小正周期為，在上單調(diào)遞減，C不是；對于D，的最小正周期為，D不是.故選：A【變式2】（2025·湖北襄陽·模擬預(yù)測）在中，角，，所對的邊分別為，，，邊上的高為.若，則的最大值為.【答案】4【分析】利用三角形面積公式建立關(guān)系，將轉(zhuǎn)化為與角相關(guān)的三角函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合余弦定理即可得出.【詳解】利用面積公式和余弦定理：面積：，同時，聯(lián)立得：，結(jié)合余弦定理，化簡得：,將表達(dá)式,轉(zhuǎn)化為單一三角函數(shù)形式：，其中振幅,故最大值為4.故答案為：4.【變式3】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的值域．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．令，，得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上的最大值為，最小值為，在上的最大值為，最小值為．所以在上的最大值為2，最小值為－2，即在上的值域為．【題型四】求三角函數(shù)的最小正周期【例4】（2024·上海·高考真題）下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對A，，周期，故A正確；對B，，周期，故B錯誤；對于選項C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；對于選項D，，周期，故D錯誤，故選：A．解題技巧(1)奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx的形式．(2)周期的計算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期為eq\f(2π,ω)，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期為eq\f(π,ω)求解．【舉一反三】【變式1】（2025·甘肅酒泉·模擬預(yù)測）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式即可求解.【詳解】函數(shù)的最小正周期，故選：C．【變式2】（2025·陜西漢中·一模）若函數(shù)（）的最小正周期為，則【答案】/【分析】利用余弦型函數(shù)周期公式計算得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期為4，得，所以.故答案為：【變式3】（2022·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知向量?，設(shè)函數(shù)?(1)求?的最小正周期.(2)求函數(shù)?的單調(diào)遞減區(qū)間.(3)求?在?上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值為1，最小值為【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角恒等變換即可化簡，由周期公式即可求解，（2）利用整體法即可求解，（3）根據(jù)得，即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）由已知可得:?所以.（2）由?，可得，?的單調(diào)遞減區(qū)間為?.（3）,?，?的最大值為1，最小值為?.【題型五】三角函數(shù)圖象的對稱性【例5】（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項中，B選項中，C選項中，D選項中，排除選項CD，對于A選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A，對于B選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B.【舉一反三】【變式1】（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，，計算可得對稱軸.【詳解】令，，解得，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為.故選：D.【變式2】（2023·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象的對稱中心為【答案】【分析】根據(jù)的對稱中心為可求解.【詳解】令，，解得，所以對稱中心為.故答案為:.【變式3】（2025·河北保定·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的對稱中心及對稱軸方程；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值．【答案】(1)對稱中心為，對稱軸方程為：；(2)最大值為，最小值為0．【分析】（1）先用半角公式降次，再利用輔助角公式可化簡為，利用正弦函數(shù)的對稱性，求解即可．（2）當(dāng)時，，可得，即可得出函數(shù)的最值．【詳解】（1），令，解得，對稱軸方程為：．令，解得，函數(shù)的對稱中心為．（2）當(dāng)時，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的最大值為1，最小值為，函數(shù)的最大值為，最小值為0．【題型六】極值、零點(diǎn)問題【例6】（2022·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．【詳解】解：依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．故選：C．【舉一反三】【變式1】（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在上單調(diào)，在處取得極值，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性、周期性求解即可.【詳解】由題意可得函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，又因為在處取得極值，即關(guān)于對稱，所以，，即，，由為奇函數(shù)且在上單調(diào)，可得在上單調(diào)，所以的周期，所以，又，所以.故選：B.【變式2】（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則函數(shù)在上恰有1個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由題可得，利用整體法結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】因，則，若函數(shù)在上恰有1個零點(diǎn)，則故答案為：【變式3】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量，向量，.(1)求的最小正周期；(2)求在上零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個數(shù).【答案】(1)(2)3；3.【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式化簡，再由的最小正周期即可得出答案；（2），由的圖象結(jié)合零點(diǎn)和極值點(diǎn)的定義即可得出答案.【詳解】（1），則的最小正周期.（2）令，因為，所以，由的圖象可得，當(dāng)時，即在上的零點(diǎn)個數(shù)為3，再由極值點(diǎn)的定義可知，極值點(diǎn)個數(shù)為3.【題型七】ω的求解【例7】（2025·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點(diǎn)，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】C【分析】由輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點(diǎn)即可求解.【詳解】函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由可得，所以，即；又函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且當(dāng)時，，所以，即；綜上，的最小值為4.故選：C.【舉一反三】【變式1】（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，在內(nèi)有極小值，無極大值，則可能的取值個數(shù)（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的零點(diǎn)求得，又極值情況列不等式可得，分情況得的取值進(jìn)行取舍，即可得答案.【詳解】已知函數(shù)，若，所以，則①，又在內(nèi)有極小值，無極大值，則，所以，又，則當(dāng)?shù)?，，所以，不符合①式，故舍；?dāng)?shù)?，，所以由①式可得；?dāng)?shù)?，，所以，由①式可得；?dāng)?shù)?，，所以，不符合①式，故舍；?dāng)?shù)?，，無解，故舍；易知，當(dāng)時，都無解，故不討論；綜上，或，則可能的取值個數(shù)為.故選：C.【變式2】（2020·安徽池州·三模）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調(diào)，則取值的個數(shù)有個．【答案】3【分析】根據(jù)最大值點(diǎn)和零點(diǎn)可確定，由此得到；根據(jù)單調(diào)性可知，解出，由此得到所有可能的取值.【詳解】，，解得：，即，；在上單調(diào)，，即，，解得：，，或，取值的個數(shù)有個.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性、周期性求解參數(shù)值的問題；關(guān)鍵是能夠通過最值點(diǎn)和零點(diǎn)確定周期、根據(jù)單調(diào)性確定周期所處的范圍.【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在上有且僅有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)降冪公式和輔助角公式化簡得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到不等式組，解出即可.（2）首先求出，根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)得到不等式組，解出即可.【詳解】（1）當(dāng)時，．令，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）．當(dāng)，．若函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，則，且，所以．好題必刷好題必刷一、單選題1．（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律及余弦函數(shù)的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)，則，因為，所以當(dāng)時，取最小值，故選：C.2．（2025·甘肅白銀·三模）函數(shù)的最小值和最小正周期分別為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方關(guān)系及二倍角余弦公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】因為，所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值，函數(shù)的最小正周期為．故選：C3．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，則在上的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】由周期公式求得，然后由換元法即可求解.【詳解】由題意，解得，，所以的最大值為3.故選：D.4．（2025·遼寧·二模）將函數(shù)的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖像上的每個點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖像．已知函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平移伸縮得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)在上有兩個零點(diǎn)列出不等式組，解出取值范圍即可．【詳解】由題可知，，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，所以，解得，故選：A．5．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且和是兩個對稱中心，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦型函數(shù)圖像的單調(diào)性和對稱性，先求得最小正周期即，，再結(jié)合和在區(qū)間單調(diào)遞減可求得，得到函數(shù)的解析式，代入求值即可.【詳解】由題意可知，即，則，所以，且和是兩個對稱中心，且，所以和在同一周期內(nèi)，又的一個周期內(nèi)有個對稱中心，所以，即，，則，又，解得，，又當(dāng)，時單調(diào)遞減，解得，，所以區(qū)間為的一個子集，所以，結(jié)合得，，可得，所以，所以，故D正確.故選：D.6．（2025·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意求出，再根據(jù)求出，再根據(jù)的范圍約束出和范圍，最后結(jié)合正弦函數(shù)圖象即可求出的范圍.【詳解】由題意可知，則，因，則，則，，因在上單調(diào)遞增，結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得，解得，故的取值范圍是.故選：B

二、多選題7．（2025·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是的周期B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的值域為D．若在上恰有個零點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】利用函數(shù)周期性的定義可判斷A選項；利用函數(shù)的對稱性的定義可判斷B選項；令，，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的值域，可判斷C選項；分析可知為函數(shù)的周期，求出方程在區(qū)間上的解集，結(jié)合函數(shù)周期性可求出的值，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，，所以，故是不是函數(shù)的周期，A錯；對于B選項，因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，B對；對于C選項，，令，，因為二次函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，，，所以，函數(shù)的值域為，C對；對于D選項，因為，所以函數(shù)為函數(shù)的周期，由，解得或，當(dāng)時，方程的解集為，所以函數(shù)在上有且只有三個零點(diǎn)，又因為，且，由于在上恰有個零點(diǎn)，則，D對.故選：BCD.8．（2025·山東臨沂·三模）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．是的一條對稱軸C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)圖象與直線有3個交點(diǎn)【答案】ABD【分析】A選項，利用三角恒等變換得到，求出最小正周期；B選項，代入驗證，得到B正確；C選項，求出，故在上不單調(diào)；D選項，同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】A選項，，故的最小正周期為，A正確；B選項，，故是的一條對稱軸，B正確；C選項，，，由于在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，C錯誤；D選項，同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出與，如下：可以看出兩函數(shù)有3個交點(diǎn)，D正確.故選：ABD三、填空題9．（2025·天津河北·模擬預(yù)測）函數(shù)的最大值為．【答案】3【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的值域及已知函數(shù)的解析式確定的最大值即可.【詳解】由余弦函數(shù)的性質(zhì)知，則，當(dāng)時，函數(shù)有最大值為3.故答案為：310．（2025·甘肅白銀·三模）若函數(shù)的最小正周期是，則.【答案】3【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期性求解的值即可.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，則.故答案為：3.11．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在內(nèi)恰好存在兩個極值點(diǎn)，且直線與曲線在內(nèi)恰有兩個交點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】函數(shù)的解析式化為，結(jié)合題意列出不等式組，解出即可.【詳解】因為所以在內(nèi)恰好存在兩個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)．令，則在內(nèi)恰好存在兩個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)．得，即，即的取值范圍是．故答案為：.12．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】結(jié)合余弦函數(shù)圖象以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】當(dāng)時，設(shè)，，故時，，而，有且僅有一個零點(diǎn)，令，易知在上單調(diào)遞減，而，，所以，．當(dāng)時，，無零點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)，設(shè)，故，所以，易知在上單調(diào)遞減，而，，所以，.綜上，．故答案為：13．（2024·上?！と＃┰O(shè)，．若存在公比的無窮等比數(shù)列，使得對任意正整數(shù)都成立，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意得，利用數(shù)列的收斂性得即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列首項為，公比為，又，所以，即，，，又時，，此時，所以，故答案為：.14．（2025·四川巴中·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的取值范圍為.【答案】【分析】由得的范圍，因此在這個范圍內(nèi)，從而可得的范圍.【詳解】由題意，在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)時，；當(dāng)時，.則的取值范圍為或.故答案為：.15．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)和在上都恰好存在兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】由的范圍，判斷兩個零點(diǎn)的值，列不等式求的取值范圍；再由的范圍，判斷兩個零點(diǎn)的值，列不等式求的取值范圍，取交集即可.【詳解】當(dāng)時，，函數(shù)在上的兩個零點(diǎn)只能滿足或，所以，解得①．由題意，得，當(dāng)時，．由①知，函數(shù)在上的兩個零點(diǎn)只能滿足或，所以，解得②．由①②，得的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是由角的范圍，確定函數(shù)和在上兩個零點(diǎn)的值，進(jìn)而通過不等式求的取值范圍.四、解答題16．（2025·北京海淀·三模）已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)若在一個周期內(nèi)的部分取值如下表，：x0m求的解析式及單調(diào)增區(qū)間．【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）代入求出的值.（2）利用表格中數(shù)據(jù)求出對稱軸及可能對稱中心，進(jìn)而求出，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性求出增區(qū)間.【詳解】（1）由，得，而