《高等數(shù)學(xué)》的特點《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)要求內(nèi)容多，難度高預(yù)讀課本----認真聽課----細寫筆記----刻苦練習(xí)細寫筆記：課堂筆記，課后筆記學(xué)會自學(xué)1.1映射與函數(shù)一、集合(1)定義組成這個集合的事物稱為該集合的元素.(3)符號(4)表示

列舉法

描述法(5)常用集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.1.集合概念(2)有限集和無限集不含任何元素的集合稱為空集,規(guī)定空集為任何集合的子集.(6)關(guān)系子集(包含),相等,(6)空集A∪B={x|x

A或x

B}2.集合的運算

并,

交,(1)基本運算A∩B={x|x

A且x

B}

補,差,

ABIA\B={x|x

A且x

B}A\BIAB3.區(qū)間開區(qū)間

(a,b):(1)有限區(qū)間閉區(qū)間

[a,b]:半開區(qū)間

[a,b):半開區(qū)間

(a,b]:(2)無限區(qū)間(3)鄰域點a的鄰域U(a):以點a為中心的任何開區(qū)間.點a的δ鄰域U(a,δ):U(a,δ)的實質(zhì):U(a,δ)=(a–δ,a+δ

).點a的左δ

鄰域:(a–δ,a

).點a的右δ

鄰域:(a,a+

δ).(P26)

1.映射的概念定義

設(shè)X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應(yīng),則稱f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作二、映射元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.射f

的定義域

;Y

的子集稱為f

的值域

.集合X

稱為映記作Df

,即Df=X

，乘以2RR12:x24:yfyx……14-112-2R開方

yx……14-112-2R平方

1.映射的概念定義

設(shè)X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應(yīng),則稱f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作二、映射對每個，元素y的原像不一定是唯一的；③對應(yīng)法則f①集合X:定義域注意：構(gòu)成一個映射必須具備以下三個要素一個條件：對每個，元素x的像y是唯一的；②集合Y:值域的范圍xyf(x)=x2-224原像原像像O例1

設(shè)f:RR，對每個xR，f(x)=x2.

f是一個映射，顯然，值域Rf={y|y

0}，值域Rf

是R的一個真子集．對于Rf

中的元素y，除y=0外，它的原像不是唯一的．y=4的原像就有x=2,x=-2兩個．f的定義域Df=R，例2

設(shè)X={(x,y)|x2+y2=1},Y={(x,0)||x|1},與之對應(yīng)．f:X

Y，顯然f是一個映射，定義域Df=X

，值域Rf=Y

．在幾何上，這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓上的點投影到x

軸上的區(qū)間[-1,1]上．11(x,y)x(x,-y)xy-1-1O則對每個(x,y)

X，有唯一確定的(x,0)

Y例3

設(shè)f(x)=sinx

．則f是一個映射，定義域值域Rf=[-1,1]．對每個xyf(x)=sinx-11O

若映射f

既是單射，又是滿射，則稱f為一一映射(或雙射).若對X

中任意兩個不同元元素x1≠x2，它們的像f(x1)≠f(x2)

，則稱f為X到Y(jié)

的單射；例1設(shè)f:R→R,對每個x∈R,f(x)=

x2

例2

f:X→Y，X={(x,y)|x2+y2=1}，Y={(x,0)||x|≤

1}，

2.映射的分類非單射，非滿射非單射，滿射雙射X(數(shù)集或點集

)說明在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為X

上的泛函X(≠

)Xf稱為X

上的變換

Rf稱為定義在X

上的函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,3.逆映射定義

設(shè)f是X

到Y(jié)

的單射，則由定義，對每個y有唯一確定的適合f(x)=y.于是，我們可定義一個從Rf

到X

的新映射g，即對每個y

Rf,規(guī)定g(y)=x,其中x

滿足

f(x)=y.

則稱映射g

為f的逆映射，記作f-1,其定義域值域求底數(shù)為2的冪12:x24:y24:y12:x求以2為底的對數(shù)RR3.逆映射定義

設(shè)f是X

到Y(jié)

的單射，則由定義，對每個y有唯一確定的適合f(x)=y.于是，我們可定義一個從Rf

到X

的新映射g，即對每個y

Rf,規(guī)定g(y)=x,其中x

滿足

f(x)=y.

則稱映射g

為f的逆映射，記作f-1,其定義域值域

y=f(x)=sinx

定義

設(shè)有兩個映射其中Y1

Y2,則由映射g

和f

可以定義一個從X

到Z的對應(yīng)法則，它將每個x

X

映成f[g(x)]Z.這個法則確定了一個從X

到Z的映射，稱之為映射g

和f

構(gòu)成的復(fù)合映射，即記作注意(1)

映射g

和f能構(gòu)成復(fù)合映射的條件是：Rg

Df.(2)

映射g

和f構(gòu)成復(fù)合映射是有順序的，有意義時，可能沒意義，即使它們同時都有意義，但不一定表示同一映射．4.復(fù)合映射XY1Y2Z定義

設(shè)有兩個映射其中Y1

Y2,則由映射g

和f

可以定義一個從X

到Z的對應(yīng)法則，它將每個x

X

映成f[g(x)]Z.這個法則確定了一個從X

到Z的映射，稱之為映射g

和f

構(gòu)成的復(fù)合映射，即記作

4.復(fù)合映射1.函數(shù)的概念三、函數(shù)定義

設(shè)數(shù)集合D

R，則稱映射f:DR為定義在D

上的函數(shù)，通常簡記為y=f(x),x

D,其中x

稱為自變量，y

稱為因變量，D

稱為定義域，記作Df

，即Df

＝D．函數(shù)值f(x)的全體所構(gòu)成的集合稱函數(shù)f

的值域，記作Rf=f(D)={y|y=f(x),x

D

}．注：構(gòu)成函數(shù)的要素：定義域D及對應(yīng)法則f．說明(1)定義域?qū)τ诔橄蠛瘮?shù)（即無具體實際背景），其定義域是指使表達式有意義的全體實數(shù)的集合，稱為自然定義域.自然定義域可以省略．對于有實際背景的函數(shù)，在寫書時必須寫出定義域．例如，對于函數(shù)f(x)=x2

，它的自然定義域為(-,+)，如果它表示正方形的面積則其定義域為(0,+)．(2)函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法有三種：表格法、圖形法和解析法．用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念，即坐標平面上的點集C={P(x,y)

|y=f(x),x

D

}稱為函數(shù)y=f(x),x

D

的圖形．Oxy(x,y)RfDy=f(x)xy做函數(shù)圖形的基本方法？描點法例５函數(shù)

y=2yxo1y=2定義域值域常數(shù)函數(shù)y=C2例6

絕對值函數(shù)yxo1-11y=|x|定義域值域例７符號函數(shù)yxo1－1定義域值域y=[x]其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).12345-2-4-4-3-2-1

4321

-1-3xyo階梯曲線例8

取整函數(shù)定義域值域例9

xyo21y=f(x)分段函數(shù)定義域值域有時一個函數(shù)要用幾個式子表示．對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)，通常稱為分段函數(shù)．注：用幾個式子來表示一個函數(shù)，不是幾個函數(shù)這種在自變量的不同變化范圍中，2.函數(shù)的幾種特性(1)有界性定義

說明

有界性是與自變量取值范圍有關(guān)的相對性概念．結(jié)論：

函數(shù)

(x)在X上有界的充分必要條件是

常用的有界函數(shù)

它在X上既有上界又有下界。

比如，y=1/x

在(1,+

)有界，在(0,1)內(nèi)無界(無上界,但有下界).

(2)函數(shù)的單調(diào)性xyo定義

單調(diào)增加xyo注意函數(shù)的單調(diào)性是一個與自變量取值范圍有關(guān)的相對性概念．

(x1)<

(x2)(或

(x1)>

(x2))(或單調(diào)減少).

(3)函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)yxox-x定義

則稱f(x)

為偶函數(shù)

奇函數(shù)yxox-x

f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))(或奇函數(shù)).

(4)函數(shù)的周期性通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期;設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在一個正數(shù)l，定義

恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，l稱為f(x)的周期．xyoxf(x)x+lf(x+l)說明

并非每個周期函數(shù)都有最小正周期．如狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)。

例10

狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)容易驗證這是一個周期函數(shù)，任何正有理數(shù)r

都是它的周期．因為不存在最小的正有理數(shù)，所以它沒有最小正周期．《高等數(shù)學(xué)》預(yù)備知識反函數(shù)函數(shù)的定義兩個變量構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)：定義

設(shè)數(shù)集合D

R，則稱映射f:DR為定義在D

上的函數(shù)，通常簡記為y=f(x),x

D,DR第一個變量成為自變量，第二個變量稱為因變量（函數(shù)）。第一個變量的任一個值按照對應(yīng)法則對應(yīng)于第二個變量的唯一值。本義反函數(shù)的自變量是y,因變量是x乘以2RR12:x24:yy=2x24:y12:xRR除以2新函數(shù)：(本義反函數(shù))反函數(shù)：改寫為：(矯正反函數(shù))

(矯正)反函數(shù)：直接函數(shù)：xyyx原函數(shù):原函數(shù)也稱為直接函數(shù)自變量是y,因變量是xfy=2x

(本義反函數(shù))反函數(shù)本義反函數(shù)的自變量是y,因變量是x(矯正)反函數(shù)：直接函數(shù)：xyyx

反函數(shù)的定義：14y-112-2xy=x2函數(shù)y=x2（x∈R）在定義域內(nèi)沒有反函數(shù)……xy……14-112-2RR注：并非所有的函數(shù)都有反函數(shù)！什么樣的函數(shù)有反函數(shù)：構(gòu)成函數(shù)的映射必須是雙射(一一映射)f:D→f(D)是單射，函數(shù)則它存在逆映射f-1:f(D)

→D

，稱此逆映射f-1為函數(shù)f的反函數(shù)，x=f-1(y)如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x=φ(y)，x在Ａ中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x=φ(y)就表示x是自變量y的函數(shù)。習(xí)慣上,一般用x表示自變量,用y表示函數(shù),為此，常常改寫x=f-1(y)中的字母x,y，(矯正)反函數(shù)：直接函數(shù)：xyyxy=f(x)x=f-1(y)

y=f

-1(x)(矯正)反函數(shù)的定義域就是直接函數(shù)的值域

反函數(shù)的定義：一般地，式子y=f(x)表示y是自變量x的函數(shù)，設(shè)它的定義域為A，值域為C.從式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y).這樣的函數(shù)x=φ(y)叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)(本義反函數(shù))，記作x=f-1(y),即：

x=φ(y)=f-1(y)在函數(shù)式x=f-1(y)中，y表示自變量，x表示函數(shù)。得到：y=f-1(x).

矯正反函數(shù)

(矯正)反函數(shù)的值域就是直接函數(shù)的定義域直接函數(shù)本意反函數(shù)矯正反函數(shù)如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x=φ(y)，x在Ａ中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x=φ(y)就表示x是自變量y的函數(shù)。但在習(xí)慣上，一般用x表示自變量，用y表示函數(shù)，為此，常常改寫x=f-1(y)中的字母x,y，y=f(x)x=f-1(y)

y=f

-1(x)反函數(shù)的定義：一般地，式子y=f(x)表示y是自變量x的函數(shù)，設(shè)它的定義域為A，值域為C.從式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y).這樣的函數(shù)x=φ(y)叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)(本義反函數(shù))，記作x=f-1(y),即：

x=φ(y)=f-1(y)在函數(shù)式x=f-1(y)中，y表示自變量，x表示函數(shù)。得到：y=f-1(x).

矯正反函數(shù)反函數(shù)定義是一種生成性定義，體現(xiàn)了反函數(shù)的獲得的過程注：反函數(shù)定義是一種生成性定義，體現(xiàn)了反函數(shù)的獲得的過程y=f(x)(x∈A)x=(y∈C)反解用y

把x

表示出來如果…那么…判斷x=

(y∈C)改寫字母x

，y

矯正y=

(x∈C)1、反解：y=f(x)4、寫定義域：寫出反函數(shù)的定義域.3、矯正：x、y改寫，

得y=f-1(x)求反函數(shù)的步驟：2、判斷：

(a,b)求函數(shù)y=x3(x∈R)的反函數(shù),畫出原函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象.解：xy111、反解：3、矯正：2、判斷：

反函數(shù)：原函數(shù)：xyyx(b,a)直接函數(shù)和其（矯正）反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱，反函數(shù)：直接函數(shù)：xyyx若兩個函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱，則它們互為反函數(shù).結(jié)論：

直接函數(shù)y=f(x)三角函數(shù)的拓展《高等數(shù)學(xué)》預(yù)備知識()

定義

設(shè)α是一個任意大小的角，角α終邊上任意一點P

(x，y)，它與原點的距離是r有關(guān)角的余切、正割、余割的問題轉(zhuǎn)化為這個角的正切，余弦，正弦同角三角函數(shù)基本關(guān)系式平方關(guān)系商數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系

()

定義

設(shè)α是一個任意大小的角，角α終邊上任意一點P

(x，y)，它與原點的距離是r角α的每一個值確定惟一的比值正弦、余弦，正切、余切，正割、余割，可以看成是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱三角函數(shù)．結(jié)論正弦函數(shù):余弦函數(shù):正切函數(shù):余割函數(shù):正割函數(shù):余切函數(shù):實數(shù)

三角函數(shù)的圖像y=sinxy=cscx

π2π三角函數(shù)的圖像y=sinxy=cscx

（-∞，-1]∪[1，+∞）y=cosxy=secx

三角函數(shù)的圖像

（-∞，-1]∪[1，+∞）y=tanx三角函數(shù)的圖像

y=tanx三角函數(shù)的圖像y=cotx

y=cotx三角函數(shù)的圖像

反三角函數(shù)《高等數(shù)學(xué)》預(yù)備知識-1xyo-2

-

234······

正弦函數(shù)一個正弦函數(shù)值會對應(yīng)許多角,

正弦函數(shù)任意一個正弦函數(shù)值對應(yīng)唯一的一個角，1正弦函數(shù)在定義域內(nèi)沒有反函數(shù)。

arcsiny表示一、反正弦函數(shù)定義：正弦函數(shù)的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記作

習(xí)慣記作

(矯正反函數(shù))

(本義反函數(shù))

反正弦的特殊值

21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-11231-1反正弦函數(shù)y=arcsinx,x∈[-1，1]的圖象與性質(zhì)：21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-11231-1反正弦函數(shù)y=arcsinx,x∈[-1，1]的圖象與性質(zhì)：(1)定義域:[-1，1]。(2)值域:(3)奇偶性:是奇函數(shù)，(4)單調(diào)性:是增函數(shù)。有界性：有界函數(shù)xyo-2

-

234······1-1一個余弦函數(shù)值會對應(yīng)許多角，

余弦函數(shù)

余弦函數(shù)一個余弦函數(shù)值對應(yīng)唯一的一個角，余弦函數(shù)在定義域內(nèi)沒有反函數(shù)。在區(qū)間[0,π]上余弦函數(shù)有反函數(shù)

習(xí)慣記作(矯正反函數(shù))二、反余弦函數(shù)定義：余弦函數(shù)的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記作(本義反函數(shù))

arccosy表示

反余弦的特殊值

54.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234πy=cosx,x∈[0，π]y∈[-1，1]y=arccosx,x∈[-1，1]y∈[0，π]-11反余弦函數(shù)y=arccosx,x∈[-1，1]的圖象與性質(zhì)(1)定義域：[-1，1]。(2)值域:[0，π]。(3)奇偶性:非奇非偶函數(shù)(4)單調(diào)性:是減函數(shù)。有界性：有界函數(shù)

正切函數(shù)一個正切函數(shù)值對應(yīng)唯一的一個角，有反函數(shù)。

正切函數(shù)一個正切函數(shù)值會對應(yīng)許多角,沒有反函數(shù)

習(xí)慣記作(矯正反函數(shù))

三、反正切函數(shù)

反正切函數(shù)，記作

(本義反函數(shù))

反正切的特殊值y=arctanx,x∈R反正切函數(shù)y=arctanx,x∈R的圖象與性質(zhì)(1)定義域R(2)值域:(3)奇偶性:是奇函數(shù)(4)單調(diào)性:是增函數(shù)

有界性：有界函數(shù)

余切函數(shù)，一個余切函數(shù)值會對應(yīng)許多角，沒有反函數(shù)y=cotx

π

余切函數(shù),一個余切函數(shù)值對應(yīng)唯一的一個角，有反函數(shù)y=cotx

四、反余切函數(shù)定義：余切函數(shù)的反函數(shù)稱為

反余切的特殊值

反余切函數(shù)y=arccotx,x∈R的圖象與性質(zhì)(1)定義域R(2)值域:(3)奇偶性:有界性：有界函數(shù)

非奇非偶函數(shù)是減函數(shù)。

(4)單調(diào)性:常數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)

基本初等函數(shù)函數(shù)的四則運算

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為D1，D2

D=D1∩D2≠?

，可以定義這兩個函數(shù)的下列運算：

基本初等函數(shù)經(jīng)過加減乘除四則運算而得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù)

內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)函數(shù)的復(fù)合

復(fù)合函數(shù)注意:

不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;

定義：

復(fù)合函數(shù)

復(fù)合函數(shù)定義：定義：復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.復(fù)合分解

分解復(fù)合函數(shù)的分解：由外到內(nèi)，逐層分解

分解

復(fù)合函數(shù)的生成：由內(nèi)外內(nèi)，逐層代入指出下列函數(shù)的復(fù)合過程.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)復(fù)合函數(shù)的分解：由外到內(nèi)，逐層分解常數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)

基本初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱