第一章二、極限的四則運算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則一、無窮小運算法則1.5極限運算法則時,有一、無窮小運算法則定理1.兩個無窮小的和證:設(shè)當時,有當時,有取則當因此這說明當時,為無窮小量.有限個無窮小的和(差)仍為無窮小.

是無窮小.(差)是無窮小.定理2.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證:

設(shè)又設(shè)即當時,有取則當時,就有故即是時的無窮小.推論1.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2.有限個無窮小的乘積是無窮小.例8.求解:利用定理2可知定理3

如果lim

f(x)

A

lim

g(x)B

那么(1)lim[f(x)

g(x)](2)lim[f(x)

g(x)]二、極限的四則運算法則兩個函數(shù)和差積商的極限等于極限的和差積商。

注：前提條件：兩個函數(shù)極限都存在，（分母的極限不能為0）

limf(x)limg(x)A

B

limf(x)limg(x)A

B

證：因此有界設(shè)無窮小由極限與無窮小關(guān)系定理,得為無窮小,

所以

推論2

如果lim

f(x)存在

而n是正整數(shù)

則

lim[f(x)]n定理3

如果lim

f(x)

A

lim

g(x)B

那么(1)lim[f(x)

g(x)]

lim

f(x)lim

g(x)A

B

(2)lim[f(x)

g(x)]

lim

f(x)

lim

g(x)A

B

二、極限的四則運算法則有限個函數(shù)和差積的極限等于極限的和差積推論1

如果lim

f(x)存在

而c為常數(shù)

則常數(shù)因子可以提到極限符號外面函數(shù)n次冪的極限等于極限的n次冪

lim[c

f(x)]

[limf(x)]n

climf(x)例2

求解

例1

求解

極限求法：原式代入法小結(jié):極限求法：代入法，分母極限不為0的分式求極限,多項式求極限,適用于：2.求例3

求解

1-5:1極限求法：

極限類型=約去零因子(x-3)稱為零因子例4

求根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系得

1-5:2∵∴極限求法：分母極限為0分子極限為常數(shù)C≠0

取倒數(shù)解:

x=1時分母=0,分子≠0,歸納

有理分式函數(shù)的極限當時

當且時

當Q(x0)

P(x0)0時極限求法：極限求法：極限求法：將分子分母的公因式(x

x0)約去

代入法取倒數(shù)約去零因子設(shè)：解

先用x3去除分子及分母

然后取極限例6.求例7

求解

因為

所以求解過程：x→∞時分子分母同除以變量的最高次方極限求法：

極限類型原式抓大頭求解過程：

例5.求×

一般有如下結(jié)果：為非負常數(shù))討論

有理分式函數(shù)的極限極限求法：抓大頭

對于數(shù)列有下面類似的極限運算法則：數(shù)列是一種特殊的函數(shù),由定理3.定理4（函數(shù)極限的保序性）定理5ABAB定理6

設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，f[g(x)]在點x0

的某去心鄰域內(nèi)有定義，

若三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則且存在

0>0，當時，有g(shù)(x)

u0,則內(nèi)層，外層函數(shù)都有極限，換元同時換變量趨向換元法求極限g(x)

u0

定理6

設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，f[g(x)]在點x0

的某去心鄰域內(nèi)有義，

若三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則且存在

0>0，當時，有g(shù)(x)

u0,則注：例

求解是由與復(fù)合而成的因為所以，例.求解:則令∴原式四、內(nèi)容小結(jié)1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th6五、課后練習(xí)習(xí)題1—51--3課后作業(yè)習(xí)題1—51（7），（8），（9）2.（1），（2）3.（1），（2）要求：寫在一張A4紙上第一行寫上姓名.班級.學(xué)號思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運算法則可知存在,與已知條件矛盾.問2.無限個無窮小之和是否是無窮小例

.

求解