第1頁（共1頁）2026年高考數(shù)學(xué)12月模擬試卷重點題型匯編——集合（2025年12月）一．選擇題（共8小題）1．集合A＝{x∈N|x2≤3}的非空真子集個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．62．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，1，2}，B＝{﹣2，﹣1，2}，則（?UB）∩A＝（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{﹣2，﹣1，2}3．下列表述正確的是（）A．0∈N* B．?∈{0} C．0?{0} D．Z?Q4．下列與集合{x|x2﹣2026x+2025＝0}表示同一集合的是（）A．{（2025，1）} B．{（x，y）|x＝2025，y＝1} C．{2025，1} D．{x＝2025，y＝1}5．已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x≤3}，B＝{1，2，4}，則A∩B＝（）A．? B．{1} C．{2} D．{1，2}6．下列四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①集合N中最小的數(shù)是1；②a∈N，b∈N*，則a+b的最小值是2；③﹣a?N，則a∈N；④x2+4＝4x的解集可表示為{2，2}A．0 B．1 C．2 D．37．下列各結(jié)論中，正確的是（）A．{0}是空集 B．空集沒有子集 C．0∈N D．{0，1}與{1，0}不是相同的集合8．給出下列關(guān)系：①π2∈R；②﹣2?Z；③|﹣3|?N*；④A．0 B．1 C．2 D．3二．多選題（共4小題）（多選）9．下列四個關(guān)系中錯誤的是（）A．?＝{0} B．0∈{0} C．{2}∈{1，2，3，4} D．{1，2}?{2，1}（多選）10．下列說法正確的是（）A．命題：存在x∈{x|x＞﹣2}，x2≤4的否定是：任意x∈{x|x＞﹣2}，x2＞4 B．x＞y是x2＞y2的充分不必要條件 C．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若A∪B＝A，則實數(shù)a＝2 D．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x≤2}，則M∪N＝{x|﹣1＜x≤2}（多選）11．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}，則下列說法正確的有（）A．1∈A B．{2，3}?A C．A中有5個元素 D．集合A有16個子集（多選）12．下列敘述中正確的是（）A．1?N B．若x∈A∩B，則x∈A∪B C．命題“?x∈Z，x2≥0”的否定是“?x∈Z，x2≤0” D．已知a∈R，則“ba＜ab”是“a＜三．填空題（共4小題）13．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m﹣2}，若A∪B＝A，則實數(shù)m的值為．14．集合A中的非空真子集共有14個，則集合A中含有個元素．15．設(shè)全集U＝{2，3，5，6，7}，A＝{2，6}，則使?UA∪（?UB）＝U成立的集合B至多有個．16．某校高一年級有60名學(xué)生參加科技興趣小組或演講興趣小組，其中參加科技興趣小組的有45人，參加演講興趣小組的有35人，則兩個興趣小組都參加的有人．四．解答題（共4小題）17．已知全集U為R，集合A＝{x|﹣1＜2x﹣3≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}．求：（1）A∩B；（2）?U（A∪B）．18．已知集合A＝{x|a﹣3≤x≤a+2}，B＝{x|﹣2≤x≤5}．（1）當(dāng)a＝0時，求A∪B，?R（A∩B）；（2）若A?B，求實數(shù)a的取值范圍．19．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}．（1）若a＝3時，求A∪B與A∩B；（2）若a＝4時，全集U＝R，求?U（A∪B）．20．已知集合A＝{y|y＝﹣x2+2}，B＝{x|x2﹣（k+1）x+k≤0，k＞1}．（1）求集合A；（2）若集合B∩?RA＝?，求實數(shù)k的取值范圍．

2026年高考數(shù)學(xué)12月模擬試卷重點題型匯編——答案一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BADCDACC二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACACDADBD一．選擇題（共8小題）1．集合A＝{x∈N|x2≤3}的非空真子集個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．6【考點】子集的個數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】B【分析】先解不等式求出集合A，再根據(jù)真子集個數(shù)的求解公式求解即可．【解答】解：解不等式x2≤3可得：-3≤x≤3，又x故A＝{0，1}，共有2個元素，故其非空真子集個數(shù)為22﹣2＝2．故選：B．【點評】本題考查了集合的真子集個數(shù)的求解，涉及到不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．2．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，1，2}，B＝{﹣2，﹣1，2}，則（?UB）∩A＝（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{﹣2，﹣1，2}【考點】集合的交并補混合運算．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】A【分析】利用集合的運算求解即可．【解答】解：由題意可得?UB＝{0，1}，所以（?UB）∩A＝{1}．故選：A．【點評】本題考查了集合的混合運算，屬于基礎(chǔ)題．3．下列表述正確的是（）A．0∈N* B．?∈{0} C．0?{0} D．Z?Q【考點】判斷元素與集合的屬于關(guān)系；判斷兩個集合的包含關(guān)系．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】D【分析】利用元素與集合的關(guān)系可判斷AC，利用集合間的包含關(guān)系可判斷BD．【解答】解：對于A，因為0不是正整數(shù)，所以0?N*，故A錯誤；對于B，集合與集合之間不能用“∈”符號，故B錯誤；對于C，元素與集合之間不能用“?”符號，故C錯誤；對于D，因為整數(shù)都是有理數(shù)，所以Z?Q，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．下列與集合{x|x2﹣2026x+2025＝0}表示同一集合的是（）A．{（2025，1）} B．{（x，y）|x＝2025，y＝1} C．{2025，1} D．{x＝2025，y＝1}【考點】集合的相等．【專題】方程思想；定義法；集合；運算求解．【答案】C【分析】解方程，列舉法表示集合，即可求解．【解答】解：集合{x|x2﹣2026x+2025＝0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2025）＝0}＝{2025，1}，∴與集合{x|x2﹣2026x+2025＝0}表示同一集合的是{2025，1}．故選：C．【點評】本題考查集合相等的定義、一元二次方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x≤3}，B＝{1，2，4}，則A∩B＝（）A．? B．{1} C．{2} D．{1，2}【考點】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運算求解．【答案】D【分析】結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：知集合A＝{x∈N|﹣2＜x≤3}＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，4}，則A∩B＝{1，2}．故選：D．【點評】本題主要考查交集的運算，屬于基礎(chǔ)題．6．下列四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①集合N中最小的數(shù)是1；②a∈N，b∈N*，則a+b的最小值是2；③﹣a?N，則a∈N；④x2+4＝4x的解集可表示為{2，2}A．0 B．1 C．2 D．3【考點】判斷元素與集合的屬于關(guān)系；集合的表示法．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)集合的概念以及性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：對于①，集合N中最小元素為0，故①錯誤；對于②，當(dāng)a＝0，b＝1時a+b的最小值為1，故②錯誤；對于③，﹣1.5?N，則1.5?N，故③錯誤；對于④，由集合中元素的互異性知，該集合為{2}，故④錯誤，所以正確的個數(shù)是0個．故選：A．【點評】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，考查了元素的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．下列各結(jié)論中，正確的是（）A．{0}是空集 B．空集沒有子集 C．0∈N D．{0，1}與{1，0}不是相同的集合【考點】判斷元素與集合的屬于關(guān)系；判斷兩個集合的包含關(guān)系．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)可判斷AB，根據(jù)自然數(shù)集的定義可判斷C，根據(jù)元素的無序性可判斷D．【解答】解：對于A，{0}是含有一個元素的數(shù)集，不是空集，故A錯誤；對于B，因為空集是任何集合的子集，故B錯誤；對于C，因為N是自然數(shù)集，所以0∈N，故C正確；對于D，由元素具有無序性可知，{0，1}與{1，0}是相同的集合，故D錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查了空集的性質(zhì)，考查了元素與集合的關(guān)系，以及元素的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．給出下列關(guān)系：①π2∈R；②﹣2?Z；③|﹣3|?N*；④A．0 B．1 C．2 D．3【考點】判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷．【解答】解：對于①，因為π2為實數(shù)，所以π2∈R對于②，因為﹣2是整數(shù)，所以﹣2∈Z，故②錯誤；對于③，|﹣3|＝3為正自然數(shù)，所以|﹣3|∈N*，故③錯誤；對于④，因為|-3|=3為無理數(shù)，所以|-3|?Q所以正確的個數(shù)為2個．故選：C．【點評】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．下列四個關(guān)系中錯誤的是（）A．?＝{0} B．0∈{0} C．{2}∈{1，2，3，4} D．{1，2}?{2，1}【考點】判斷兩個集合的包含關(guān)系．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】AC【分析】利用空集的性質(zhì)，子集的定義以及元素與集合的關(guān)系分別判斷各個選項即可求解．【解答】解：A：因為空集沒有元素，集合{0}有一個元素為0，故?≠{0}，故A錯誤；B：由元素與集合的關(guān)系可得0∈{0}，故B正確；C：因為{2}?{1，2，3，4}，故C錯誤；D：由子集的定義可得{1，2}?{2，1}，故D正確．故選：AC．【點評】本題考查空集的性質(zhì)，子集的定義以及元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．下列說法正確的是（）A．命題：存在x∈{x|x＞﹣2}，x2≤4的否定是：任意x∈{x|x＞﹣2}，x2＞4 B．x＞y是x2＞y2的充分不必要條件 C．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若A∪B＝A，則實數(shù)a＝2 D．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x≤2}，則M∪N＝{x|﹣1＜x≤2}【考點】求集合的并集；求集合的交集；求全稱量詞命題的否定．【專題】整體思想；綜合法；集合；簡易邏輯；運算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷A；根據(jù)充分條件的定義判斷B；根據(jù)集合中元素的互異性和集合并集的運算判斷C；利用并集定義計算判斷D．【解答】解：A：命題：存在x∈{x|x＞﹣2}，x2≤4的否定是任意x∈{x|x＞﹣2}，x2＞4，正確；B：若x＞y，假設(shè)x＝1，y＝﹣2，此時x2＞y2不成立，故x＞y不是x2＞y2的充分條件，錯誤；C：因為A∪B＝A，所以B?A，所以2+a＝3或a2＝2+a．若2+a＝3，則a＝1，此時a2＝1，集合A中的元素不滿足互異性，故a＝1舍去．若a2＝2+a，則a＝﹣1或a＝2．當(dāng)a＝﹣1時，a2＝1，不滿足互異性，故a＝﹣1舍去；當(dāng)a＝2時，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，B?A，故a＝2符合題意．綜上a＝2，正確；D：M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x≤2}，M∪N＝{x|﹣1＜x≤2}，正確．故選：ACD．【點評】本題主要考查了存在量詞命題的否定，充分必要性的判斷，集合包含關(guān)系的應(yīng)用及集合基本運算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}，則下列說法正確的有（）A．1∈A B．{2，3}?A C．A中有5個元素 D．集合A有16個子集【考點】子集的個數(shù)；判斷元素與集合的屬于關(guān)系；判斷兩個集合的包含關(guān)系．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】AD【分析】先解不等式求出集合A，再利用集合的表示方法、元素與集合的關(guān)系、集合間的關(guān)系及集合中元素的個數(shù)，逐一分析判斷各選項．【解答】解：由題意可知，A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}＝{x∈Z|﹣1≤x≤2}＝{﹣1，0，1，2}，所以1∈A，故A正確；因為3?A，所以{2，3}?A，故B錯誤；集合A中有4個元素，故C錯誤；因為A中有4個元素，所以A有24＝16個子集，故D正確．故選：AD．【點評】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，考查了集合間的包含關(guān)系，以及子集個數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．下列敘述中正確的是（）A．1?N B．若x∈A∩B，則x∈A∪B C．命題“?x∈Z，x2≥0”的否定是“?x∈Z，x2≤0” D．已知a∈R，則“ba＜ab”是“a＜【考點】元素與集合關(guān)系的判斷；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；充分條件必要條件的判斷；全稱量詞命題的否定．【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；數(shù)學(xué)抽象．【答案】BD【分析】利用元素與集合的關(guān)系判斷A；利用交集、并集的意義判斷B；利用存在量詞命題的否定判斷C；利用必要不充分條件的定義判斷D．【解答】解：對于A，元素與集合是屬于與不屬于關(guān)系，不是包含關(guān)系，A錯誤；對于B，由x∈A∩B，得x∈A，且x∈B，所以x∈A∪B，B正確；對于C，命題“?x∈Z，x2≥0”是存在量詞命題，其否定是“?x∈Z，x2＜0”，C錯誤；對于D，若a＜b＜0，則﹣a＞﹣b＞0，且-1b＞取a＝2，b＝1，滿足ba＜ab，而a＜b＜0不成立，則“ba＜ab”是“故選：BD．【點評】本題主要考查了元素與集合，集合的交并運算，還考查了命題的否定，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m﹣2}，若A∪B＝A，則實數(shù)m的值為5．【考點】判斷兩個集合的包含關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】5．【分析】利用集合的包含關(guān)系即可求解．【解答】解：因為集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m﹣2}，且A∪B＝A，則B?A，所以m﹣2＝3，m＝5．故答案為：5．【點評】本題考查了集合的包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．集合A中的非空真子集共有14個，則集合A中含有4個元素．【考點】子集的個數(shù)．【專題】方程思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】4．【分析】利用集合的真子集的求解公式建立方程即可求解．【解答】解：設(shè)集合A中有n個元素，則集合A的非空真子集個數(shù)為2n﹣2＝14，解得n＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了集合的真子集的求解公式，屬于基礎(chǔ)題．15．設(shè)全集U＝{2，3，5，6，7}，A＝{2，6}，則使?UA∪（?UB）＝U成立的集合B至多有8個．【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】8．【分析】先求?UA＝{3，5，7}，再根據(jù)?UA∪（?UB）＝U，列舉分析即可．【解答】解：因為全集U＝{2，3，5，6，7}，A＝{2，6}，所以?UA＝{3，5，7}，根據(jù)?UA∪（?UB）＝U，可知2，6∈?UB，即2，6?B，所以B＝?，{3}，{5}，{7}，{3，5}，{3，7}，{5，7}，{3，5，7}共有8種，所以集合B至多有8個．故答案為：8．【點評】本題主要考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．16．某校高一年級有60名學(xué)生參加科技興趣小組或演講興趣小組，其中參加科技興趣小組的有45人，參加演講興趣小組的有35人，則兩個興趣小組都參加的有20人．【考點】Venn圖表示交并補混合運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】20．【分析】設(shè)兩個興趣小組都參加的有x人，可得（45﹣x）+x+（35﹣x）＝60，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)兩個興趣小組都參加的有x人，則由題可得（45﹣x）+x+（35﹣x）＝60，解得x＝20．故答案為：20．【點評】本題主要考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．已知全集U為R，集合A＝{x|﹣1＜2x﹣3≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}．求：（1）A∩B；（2）?U（A∪B）．【考點】集合的交并補混合運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】（1）A∩B＝{x|2＜x≤3}；（2）?U（A∪B）＝{x|﹣1≤x≤1}．【分析】求解集合A，再根據(jù)集合的基本運算逐項求解即可．【解答】解：全集U為R，集合A＝{x|﹣1＜2x﹣3≤3}＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}．（1）A∩B＝{x|2＜x≤3}；（2）A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，可得?U（A∪B）＝{x|﹣1≤x≤1}．【點評】本題主要考查集合的基本運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．已知集合A＝{x|a﹣3≤x≤a+2}，B＝{x|﹣2≤x≤5}．（1）當(dāng)a＝0時，求A∪B，?R（A∩B）；（2）若A?B，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用；集合的交并補混合運算．【專題】集合思想；定義法；集合；運算求解．【答案】（1）{x|﹣3≤x≤5}；{x|x＜﹣2或x＞2}．（2）[1，3]．【分析】（1）根據(jù)交并補的定義求解；（2）根據(jù)集合間的關(guān)系，列不等式求解．【解答】解：（1）當(dāng)a＝0時，A＝{x|﹣3≤x≤2}，所以A∪B＝{x|﹣3≤x≤5}，A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，所以?R（A∩B）＝{x|x＜﹣2或x＞2}．（2）因為A?B，所以a-3≥-2，a+2≤5，故實數(shù)a的取值范圍是[1【點評】本題考查集合間關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}．（1）若a＝3時，求A∪B與A∩B；（2）若a＝4時，全集U＝R，求?U（A∪B）．【考點】集合的交并補混合運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣2＜x≤7}，A∩B＝{x|3≤x＜7}；（2）?U（A∪B）＝{x|x≤﹣2或x＞10}．【分析】（1）由交集、并集運算即可求解；（2）由并集及補集運算即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)a＝3時，B＝{x|3≤x≤7}，A＝{x|﹣2＜x＜7}，所以A∪B＝{x|﹣2＜x≤7}，A∩B＝{x|3≤x＜7}；（2）當(dāng)a＝4時，集合B＝{x|4≤x≤10}，A＝{x|﹣2＜x＜7}，所以集合A∪B＝{x|﹣2＜x≤10}，?U（A∪B）＝{x|x≤﹣2或x＞10}．【點評】本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題．20．已知集合A＝{y|y＝﹣x2+2}，B＝{x|x2﹣（k+1）x+k≤0，k＞1}．（1）求集合A；（2）若集合B∩?RA＝?，求實數(shù)k的取值范圍．【考點】集合的交并補混合運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】（1）A＝{y|y≤2}；（2）（1，2]．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的值域求解A；（2）求解B，根據(jù)B∩?RA＝?即可求解結(jié)論．【解答】解：（1）因為y＝﹣x2+2≤2，故A＝{y|y≤2}；（2）由B＝{x|x2﹣（k+1）x+k≤0，k＞1}＝{x|1≤x≤k}，而?RA＝{y|y＞2}，故B∩?RA＝?，可得1＜k≤2．故k的取值范圍為（1，2]．【點評】本題主要考查集合的基本運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

考點卡片1．集合的表示法【知識點的認識】1．列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法．{1，2，3，…}，注意元素之間用逗號分開．2．描述法：常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號或式子等描述出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實數(shù)組成的集合表示為：{x|0＜x＜π}3．圖示法（Venn圖）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個集合．4．自然語言（不常用）．【解題方法點撥】在掌握基本知識的基礎(chǔ)上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題，例如數(shù)軸的應(yīng)用，Venn圖的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化思想解答．注意解題過程中注意元素的屬性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示實數(shù)x的范圍；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或點的坐標(biāo)．【命題方向】本考點是考試命題常考內(nèi)容，多在選擇題，填空題值出現(xiàn)，可以與集合的基本關(guān)系，不等式，簡易邏輯，立體幾何，線性規(guī)劃，概率等知識相結(jié)合．2．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點的認識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或a=-32，…（由a=-32，得A={1故a=-32?點評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．3．判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識點的認識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍．驗證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件．符號表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合．【命題方向】驗證元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．4．集合的相等【知識點的認識】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時B?A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B．（3）對于兩個有限數(shù)集A＝B，則這兩個有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個集合的元素個數(shù)相等；②兩個集合的元素之和相等；③兩個集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實質(zhì)是一致的，只是表達方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據(jù)．【解題方法點撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個元素都在B中，而且B中的每一個元素都在A中．解題時往往只解答一個問題，忽視另一個問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．【命題方向】通常是判斷兩個集合是不是同一個集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運算相聯(lián)系，也可能與函數(shù)的定義域、值域聯(lián)系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時出現(xiàn)在大題的一小問．5．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識點的認識】概念：1．如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．6．判斷兩個集合的包含關(guān)系【知識點的認識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，則（）A．A＞BB．B∈AC．A?BD．B?A解：由題意可得，B?A．故選：D．7．集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識點的認識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】設(shè)m為實數(shù)，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當(dāng)m＞2m﹣1時，即m＜1時，B＝?，符合題意；當(dāng)m≥1時，可得-3≤m2m-1≤2，解得1≤m≤綜上所述，m≤32，即m的取值范圍是故答案為：(-∞，8．子集的個數(shù)【知識點的認識】1、子集真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【解題方法點撥】公式計算：若一個集合有n個元素，則它的子集個數(shù)為2^n．理解冪集：冪集是一個集合的所有子集組成的集合．【命題方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，當(dāng)x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)．解：當(dāng)x∈Z時，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8個元素，∴A的非空真子集的個數(shù)為28﹣2＝254個；9．求集合的并集【知識點的認識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命題方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝{x∈Z|x2解：依題意，A={x∈N|-12≤x所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．10．求集合的交集【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．11．交、并、補集的混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎(chǔ)題．12．集合的交并補混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎(chǔ)題．設(shè)全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝