北京市順義區(qū)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數(shù)為（）A.13 B.14C.15 D.162．焦點坐標為的拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.3．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機地取一點，則該點恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.4．與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.5．函數(shù)y=的最大值為Ae-1 B.eC.e2 D.6．已知空間向量，則（）A. B.C. D.7．在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當(dāng)和的長度都為最短時，的值是（）A. B.C. D.8．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.對于圖2.下列結(jié)論正確的是（）①這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④9．若橢圓對稱軸是坐標軸，長軸長為，焦距為，則橢圓的方程（）A. B.C.或 D.以上都不對10．下列函數(shù)求導(dǎo)錯誤的是（）A.B.C.D.11．某地區(qū)高中分三類，A類學(xué)校共有學(xué)生2000人，B類學(xué)校共有學(xué)生3000人，C類學(xué)校共有學(xué)生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學(xué)校中的學(xué)生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.12．命題“，”的否定是A， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，P為兩曲線的一個公共點，且（O為坐標原點）．若，則的取值范圍是______14．設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知銳角的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，且，求的面積.15．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______16．若隨機變量，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是拋物線上的焦點，是拋物線上的一個動點，若動點滿足，則的軌跡方程.18．（12分）已知拋物線C的對稱軸是y軸，點在曲線C上.（1）求拋物線的標準方程；（2）過拋物線焦點的傾斜角為直線l與拋物線交于A、B兩點，求線段AB的長度.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，（1）證明：；（2）當(dāng)PB的長為何值時，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為？20．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長為2的正三角形，底面為菱形，且平面平面，，為上一點，滿足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，的面積為1.（1）求拋物線的標準方程；（2）設(shè)點是拋物線上異于點的一點，直線與直線交于點，過作軸的垂線交拋物線于點，求證：直線過定點.22．（10分）已知（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上有1個零點，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題意可得募捐構(gòu)成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，設(shè)共募捐了天，然后建立關(guān)于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構(gòu)成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，根據(jù)題意，設(shè)共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：2、D【解析】依次確定選項中各個拋物線的焦點坐標即可.【詳解】對于A，的焦點坐標為，A錯誤；對于B，的焦點坐標為，B錯誤；對于C，焦點坐標為，C錯誤；對于D，的焦點坐標為，D正確.故選：D.3、A【解析】設(shè)七巧板正方形邊長為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計算作答.【詳解】設(shè)七巧板正方形邊長為4，則大陰影等腰三角形底邊長為4，底邊上的高為2，可得小正方形對角線長為2，小正方形邊長為，小陰影等腰直角三角形腰長為，小白色等腰直角三角形底邊長為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機地取一點，則該點恰好取自白色部分的概率為.故選：A4、C【解析】由直線平行及直線所過的點，應(yīng)用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C5、A【解析】,所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的最大值為時，y==故選A點睛：研究函數(shù)最值主要根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到最值，分式求導(dǎo)公式要記熟6、C【解析】A利用向量模長的坐標表示判斷；B根據(jù)向量平行的判定，是否存在實數(shù)使即可判斷；C向量數(shù)量積的坐標表示求即可判斷；D利用向量坐標的線性運算及數(shù)量積的坐標表示求即可.【詳解】因為，所以A不正確：因為不存在實數(shù)使，所以B不正確；因為，故，所以C正確；因為，所以，所以D不正確故選：C7、A【解析】根據(jù)給定條件確定點M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點M在平面內(nèi)，又，即，于是得點N在直線上，棱長為1的正四面體中，當(dāng)長最短時，點M是點A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長最短時，點N是點D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點，，而，，所以.故選：A8、A【解析】對于①，由三角形大邊對大角的性質(zhì)分析，對于②，根據(jù)題意利用正弦定理分析，對于③，利用余弦定理分析，對于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對于①，根據(jù)題意，圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，故，，所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因為，所以，故②正確；對于③，不妨設(shè)，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故③錯誤；對于④，若是的中點，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題9、C【解析】求得、、的值，由此可得出所求橢圓的方程.【詳解】由題意可得，解得，，由于橢圓的對稱軸是坐標軸，則該橢圓的方程為或.故選：C.10、C【解析】每一個選項根據(jù)求導(dǎo)公式及法則來運算即可判斷.【詳解】對于A，，正確；對于B，，正確；對于C，，不正確；對于D，，正確.故選：C11、D【解析】利用抽樣的性質(zhì)求解【詳解】所有學(xué)生數(shù)為，所以所求概率為.故選：D12、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：，考點：全稱命題與特稱命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計算作答.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案：14、（1）的最小正周期為，的最大值為1（2）【解析】（1）直接根據(jù)的表達式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到的最小正周期和最大值；（2）先根據(jù)求得角的大小為，然后在中利用余弦定理求得，最后根據(jù)三角形的面積公式即可【小問1詳解】已知則的最小正周期為：則的最大值為：【小問2詳解】由可得：（）或（）又為銳角，則可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：則的面積為：15、【解析】先求出，求出導(dǎo)函數(shù)及，進而求出切線方程.【詳解】∵，∴，又，∴在處的切線方程為，即故答案為：16、2【解析】根據(jù)給定條件利用二項分布的期望公式直接計算作答.【詳解】因為隨機變量，所以.故答案：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】由拋物線的方程可得到焦點坐標，設(shè)，寫出向量的坐標，由向量間的關(guān)系得到，將點代入物線即可得到軌跡方程.【詳解】由拋物線可得：設(shè)①在上，將①代入可得：，即.【點睛】求軌跡方程，一般是求誰設(shè)誰的坐標然后根據(jù)題目等式直接求解即可，而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式，例如，可以轉(zhuǎn)化為向量坐標進行運算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來理解，然后借助韋達定理求解即可運算此類題計算一定要仔細.18、（1）（2）16【解析】（1）設(shè)拋物線的標準方程為：，再代入求解即可.（2）根據(jù)焦點弦公式求解即可.【小問1詳解】由題意知拋物線C的對稱軸是y軸，點在曲線C上，所以拋物線開口向上，設(shè)拋物線的標準方程為：，代入點的坐標得：，解得則拋物線的標準方程為：.【小問2詳解】焦點，則直線的方程是，設(shè)，，由得，，所以，則，故.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判斷定理證明平面PAB，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）以A為原點，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，求出平面PCD的法向量的坐標，根據(jù)直線AB與平面PCD所成角的正弦值為，利用向量法可求得，從而可求解PB的長.【小問1詳解】證明：因為底面ABCD，又平面ABCD，所以，又，，AB，平面PAB，所以平面PAB，又平面PAB，所以；小問2詳解】解：因為底面ABCD，，所以以A為原點，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，因為，，，所以，則，，所以，，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面PCD的法向量為，則，令，則，，所以，所以，解得，則，所以當(dāng)時，直線AB與平面PCD所成角正弦值為20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)為中點，連接，根據(jù)，證明平面得到答案.（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，計算各點坐標，計算平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）設(shè)為中點，連接，，∵，∴，又∵底面四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，∴，又∴，，平面，∴平面，而平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，由，，，即，∴，，，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的的余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，建立空間直角坐標系是解題的關(guān)鍵.21、（1）（2）證明見解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線方程；(2)方法一：聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合條件三點共線，可證明直線過定點，方法二：聯(lián)立直線與拋物線方程，聯(lián)立直線與直線求，由垂直與軸列方程化簡，可證明直線過定點.【小問1詳解】因為點在拋物線上，所以，即，，因為，故解得，拋物線的標準方程為【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，由，得，所以，由（1）可知當(dāng)時，，此時直線的方程為，若時，因為三點共線，所以，即，又因為，，化簡可得，又，進而可得，整理得，因為所以，此時直線的方程為，直線恒過定點又直線也過點，綜上：直線過定點解法二：設(shè)方程，得若直線斜率存在時斜率方程為即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直線方程為直線過定點.若直線斜率不存在時，直線方程為所以P點坐標為，M點坐標為此時直線方程為過點綜上：直線過定點.【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；(2)強化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題22、（1）答案見解析；（2）.【解析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，按a值的正負分析討論導(dǎo)數(shù)值的符號計算作答.(2)求出函數(shù)的解析式并求導(dǎo)，再按在值的正負分段討論推理作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得：當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，得，若，即時，，則有在R上單調(diào)遞增，若，即時，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則有在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，即時，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則有在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)