2026屆上海市長寧區(qū)延安中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.2 B.3C.4 D.52．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.93．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點(diǎn)（1，2），為銳角，且，則（）A.-18 B.-6C. D.4．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若的零點(diǎn)為，極值點(diǎn)為，則（）A. B.0C.1 D.25．蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：℃）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測(cè)人員根據(jù)如表的觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線性回歸方程，則下列說法不正確的是（）（次數(shù)/分鐘）2030405060（℃）2527.52932.536A.的值是20B.變量，呈正相關(guān)關(guān)系C.若的值增加1，則的值約增加0.25D.當(dāng)蟋蟀52次/分鳴叫時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為33.5℃6．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則（）A. B.C. D.7．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.8．已知拋物線，過拋物線的焦點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為直角三角形，則以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.9．已知是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，則（）A1011 B.2020C.2021 D.202210．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．如圖所示，向量在一條直線上，且則()A. B.C. D.12．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且是6和的等差中項(xiàng)，若對(duì)任意的，都有，則的最小值為________14．已知圓：和圓：，動(dòng)圓M同時(shí)與圓及圓外切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為______.15．已知向量，，若，則______16．若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)且動(dòng)圓內(nèi)切于定圓：記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）若、是曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足求直線的方程.18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值；19．（12分）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)（1）求雙曲線方程；（2）設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若，求直線l的方程20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)以為始邊，為終邊的角時(shí)，.（1）求的方程（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓平行于軸的直線相切于點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，求的面積與的面積的比值21．（12分）已知命題p：“，”為假命題，命題q：“實(shí)數(shù)滿足”．若是真命題，是假命題，求的取值范圍22．（10分）如圖，OP為圓錐的高，AB為底面圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，并且，E為劣弧上的一點(diǎn)，且，.（1）若E為劣弧的中點(diǎn)，求證：平面POE；（2）若E為劣弧的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），求平面PEO與平面PEB的夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，故可得，又到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，故點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：.2、C【解析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實(shí)數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C3、A【解析】由終邊上的點(diǎn)可得，由同角三角函數(shù)的平方、商數(shù)關(guān)系有，再應(yīng)用差角、倍角正切公式即可求.【詳解】由題設(shè)，，，則，又，，所以.故選：A4、C【解析】令可求得其零點(diǎn)，即的值，再利用導(dǎo)數(shù)可求得其極值點(diǎn)，即的值，從而可得答案【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立，的零點(diǎn)為又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故在，上無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，取到極小值，即的極值點(diǎn)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，突出分析運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題5、D【解析】根據(jù)樣本中心過經(jīng)過線性回歸方程、正相關(guān)的性質(zhì)和線性回歸方程的意義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意，得，，則，故A正確；由線性回歸方程可知，，變量，呈正相關(guān)關(guān)系，故B正確；若的值增加1，則的值約增加0.25，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：D.6、D【解析】利用正弦定理邊化角，角化邊計(jì)算即可.【詳解】由正弦定理邊化角得，，再由正弦定理角化邊得，即故選：D.7、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，求得直線的方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線的對(duì)稱性可得出，進(jìn)而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以，點(diǎn).為等腰直角三角形，由拋物線的對(duì)稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9、C【解析】結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，所以，準(zhǔn)線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C10、A【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A11、D【解析】根據(jù)向量加法的三角形法則得到化簡得到故答案為D12、C【解析】先把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出即可求解【詳解】由，有，可得，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得取值范圍，即得取值范圍，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭?和的等差中項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，因此因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)和項(xiàng)求通項(xiàng)、等比數(shù)列定義、等比數(shù)列求和公式、利用函數(shù)單調(diào)性求值域，考查綜合分析求解能力，屬較難題.14、【解析】根據(jù)動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓外切，即可得到幾何關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由題，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當(dāng)動(dòng)圓與圓，圓外切時(shí),,,所以,因?yàn)閳A心,，即，又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是；故答案為：15、【解析】根據(jù)向量平行求得，由此求得.【詳解】由于，所以.故答案為：16、【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】，，解得.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切，以及圓過定點(diǎn)列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標(biāo)公式可知，，再設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因?yàn)?，則點(diǎn)是的重心，易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的問題關(guān)系，本題的關(guān)鍵是根據(jù)求得，.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【小問1詳解】解：由拋物線過點(diǎn)，且，得所以拋物線方程為；【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立得，，，，則，，即，解得或，又當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不符合題意，故舍去；所以實(shí)數(shù)的值為.19、（1）（2）或【解析】（1）依題意設(shè)所求的雙曲線方程為，則，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；（2）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)，即可得到的坐標(biāo)，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標(biāo)，再根據(jù)的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；【小問1詳解】解：設(shè)所求的雙曲線方程為（，），則，，∴，又則，∴所求的雙曲線方程為【小問2詳解】解：∵直線l與y軸相交于M且過焦點(diǎn)，∴l(xiāng)的斜率一定存在，則設(shè)．令得，∵且M、Q、F共線于l，∴或當(dāng)時(shí)，，，∴，∵Q在雙曲線上，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，代入雙曲線可得：，∴綜上所求直線l的方程為：或20、（1）（2）【解析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，得到，求得，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，得到，由拋物線的定義得到，根據(jù)，求得，設(shè)，得到，進(jìn)而求得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，求得，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，拋物線，可得其準(zhǔn)線方程，如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)闀r(shí)，，可得，又由拋物線的定義，可得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】解：由拋物線，可得，設(shè)，因?yàn)橹本€的直線過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由拋物線的定義得，設(shè)圓與直線相切于點(diǎn)，因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，所以且，所以，即，解得，設(shè)，則，且，可得，因?yàn)椋渣c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，所以，即的面積與的面積的比值為.21、或【解析】先假設(shè)命題、為真，分別求得實(shí)數(shù)的取值范圍，再由命題、具體的真假，取實(shí)數(shù)的取值范圍或其補(bǔ)集，最終確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若命題p為真，則“，”為假命題則，恒成立∴恒成立，即∴，∴.若命題q為真，則，即∴∴∵是真命題，是假命題∴命題、必為一真一假.①當(dāng)p真q假時(shí)，∴；②當(dāng)p假q真時(shí)，∴.綜上所述：a的取值范圍是或.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）推導(dǎo)出平面，，，由此能證明平面（2）推導(dǎo)出