2026屆甘肅省蘭州市第五十五中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點(diǎn)，，設(shè)，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23，則該數(shù)列的第31項(xiàng)為（）A.336 B.467C.483 D.6015．在等腰中，在線段斜邊上任取一點(diǎn)，則線段的長度大于的長度的概率（）A B.C. D.6．已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為（）A. B.C. D.7．對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.與k有關(guān)8．在棱長為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.1C. D.9．直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．散點(diǎn)圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.211．設(shè)A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.012．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A.過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為8B.橢圓上存在點(diǎn)，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為314．已知隨機(jī)變量，且，則______.15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則___________.16．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是；③過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)其中真命題的序號(hào)為______（寫出所有真命題的序號(hào)．）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)命題，，命題，.若p、q都為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．（12分）已知；對(duì)任意的恒成立.（1）若是真命題，求m的取值范圍；（2）若是假命題，是真命題，求m的取值范圍.19．（12分）某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，，….（參考數(shù)據(jù)：，，.）（1）寫出一個(gè)遞推公式，表示與之間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推關(guān)系表示成的形式，其中k，r為常數(shù)；（3）求的值（精確到1）.20．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，（1）求橢圓的方程；（2）已知直線的傾斜角為銳角，與圓相切，與橢圓交于、兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程21．（12分）如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，M是PB的中點(diǎn)，平面ABC，且，，.（1）求證:平面PAC；（2）求三棱錐M—ABC體積.22．（10分）已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，求的最小值，并求此時(shí)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求AN與BM對(duì)應(yīng)的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D2、C【解析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)位置，確定焦參數(shù)，得焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸，，，，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C3、D【解析】通過尋找封閉的三角形，將相關(guān)向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D4、B【解析】先由遞推關(guān)系利用累加法求出通項(xiàng)公式，直接帶入即可求得.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2，3，5，8，12，17，23……滿足，，所以該數(shù)列的第31項(xiàng)為.故選：B5、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計(jì)算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C6、C【解析】求出圓心到直線的距離，再利用，化簡求值，即可得到答案.【詳解】圓的圓心為，圓心到直線的距離公式為，故故選：C.7、A【解析】判斷直線恒過定點(diǎn)，可知定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由可知，即該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為,由可知，則該直線恒過定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得，則點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：.8、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為故選：B9、A【解析】根據(jù)直線與直線的垂直，列方程，求出，再判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：若，則，解得或，即或，所以”是“充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線一般式中直線與直線垂直的系數(shù)關(guān)系，考查充分性和必要性的判斷，是基礎(chǔ)題.10、C【解析】通過樣本中心點(diǎn)來求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C11、A【解析】先化簡A－B，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為二項(xiàng)式展開式，然后計(jì)算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是通過化簡能夠發(fā)現(xiàn)其結(jié)果在形式上滿足二項(xiàng)式展開式，然后計(jì)算出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】直接利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、ABD【解析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B選項(xiàng)的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項(xiàng)的正確性，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以，即，所以離心率，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，，則點(diǎn)到圓的圓心的距離為，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)正確，故選：ABD14、【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的均值與方差的關(guān)系求得,再根據(jù)方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】,所以,又因?yàn)?所以故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算,同時(shí)也考查了方差的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、36【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因，所以，所以；故答案為：16、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫出拋物線焦點(diǎn)判斷命題②；分析點(diǎn)P滿足的關(guān)系判斷命題③；按取值討論計(jì)算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對(duì)于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對(duì)于②，拋物線化為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，命題②正確；對(duì)于③，令定圓C的圓心為C，因，則點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，當(dāng)P與C不重合時(shí)，有，點(diǎn)P在以線段AC為直徑的圓上，當(dāng)P與C重合時(shí)，點(diǎn)P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點(diǎn)外)，則命題③不正確；對(duì)于④，曲線的焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點(diǎn)為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)，命題④正確，所以真命題的序號(hào)為②④.故答案為：②④【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：橢圓長短半軸長分別為a，b，半焦距為c滿足關(guān)系式：；雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長、半焦距分別為、、滿足關(guān)系式：，在同一問題中出現(xiàn)認(rèn)真區(qū)分，不要混淆.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】先求出命題為真時(shí)，的取值范圍，再取交集可得答案.【詳解】若命題，為真命題，則，解得；若命題，為真命題，則命題，為假命題，即方程無實(shí)數(shù)根，因此，，解得.又p、q都為真命題，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的真假求參數(shù)值、一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.18、（1）（2）【解析】（1）為真命題，則都為真命題，求出為真命題時(shí)的m的取值范圍，并求交集，即為結(jié)果；（2）若是假命題，是真命題，則一真一假，分兩種情況進(jìn)行求解，最后求并集即為結(jié)果.【小問1詳解】由題意得：為真命題，則要滿足，解得：，對(duì)任意的恒成立，結(jié)合開口向上，所以要滿足：，解得：，要保證是真命題，則與取交集，結(jié)果為【小問2詳解】是假命題，是真命題，則一真一假，結(jié)合（1）中所求，當(dāng)真假時(shí)，與取交集，結(jié)果為；當(dāng)假真時(shí)，與取交集，結(jié)果為，綜上：m的取值范圍是.19、（1）（2）（3）10626【解析】（1）根據(jù)題意，建立遞推關(guān)系即可；（2）利用待定系數(shù)法求解得.（3）利用等比數(shù)列求和公式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)求解即可.【小問1詳解】解：因?yàn)槟衬翀?chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，所以，且.【小問2詳解】解：將化成，因?yàn)樗员容^的系數(shù)，可得，解得.所以（1）中的遞推公式可以化為.【小問3詳解】解：由（2）可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，1.08為公比的等比數(shù)列，則.所以.20、（1）（2）【解析】(1)將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入橢圓方程計(jì)算，求出a、b的值即可；(2)設(shè)l的方程為：，，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，直線方程聯(lián)立橢圓方程并消去y，利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)弦長公式求出，進(jìn)而列出關(guān)于k的方程，解之即可.【小問1詳解】橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，【小問2詳解】設(shè)l的方程為：與圓相切設(shè)點(diǎn)，∴（則Δ>0，，，，，，，，，故，21、（1）證明見解析（2）2【解析】（1）依題意可得，再由平面，得到，即可證明平面；（2）連接，可證，即可得到平面，為三棱錐的高，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得；【詳解】（1）證明:因?yàn)槭前雸A的直徑，所以.因?yàn)槠矫?，平?/p>