黑龍江省綏化市安達(dá)七中2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程是（）A. B.C. D.2．設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.3．等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（）A.若有最大值，則數(shù)列的公差小于0B.若，則使的最大的n為18C.若，，則中最大D.若，，則數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)4．若命題“對任意，使得成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，的值是（）A. B.C. D.6．、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為A.1 B.2C.3 D.47．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.8．函數(shù)的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.69．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，則（）A.-1 B.1C. D.11．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.12．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a值為（）A.1 B.C.1或 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，已知，且，則c的最小值為__________.14．若，且，則_____________15．一個四面體有五條棱長均為2，則該四面體的體積最大值為_______16．函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）求直線與平面所成角的大小.18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)在處取得極值時，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)?shù)臉O大值不小于時，求的取值范圍19．（12分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不相等的零點(diǎn)，證明：20．（12分）已知數(shù)列滿足且（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.21．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，成等比數(shù)列且滿足________.請在①；②；③，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面題干中，并回答以下問題.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)（1）若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)所求直線垂直于直線，設(shè)其方程為，然后將點(diǎn)代入求解.【詳解】因?yàn)樗笾本€垂直于直線，所以設(shè)其方程為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得所以直線方程為：，故選：A.2、C【解析】根據(jù)集合交集和補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，可得，所以.故選：C.3、B【解析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，∵有最大值，∴等差數(shù)列一定有負(fù)數(shù)項(xiàng)，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差小于0，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，∵，，∴，，故中最大，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，∵，，∴，，故數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)，故選項(xiàng)D正確.故選：B.4、A【解析】由題得對任意恒成立，求出的最大值即可.【詳解】解：由題得對任意恒成立，(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)所以故選：A5、C【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式可以求出的面積是關(guān)于的一個式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長為..當(dāng)，即時，取得最大值.故選：C.6、A【解析】延長交延長線于N,則選:A.【點(diǎn)睛】涉及兩焦點(diǎn)問題，往往利用橢圓定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化研究，而角平分線性質(zhì)可轉(zhuǎn)化到焦半徑問題，兩者切入點(diǎn)為橢圓定義.7、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱.所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C.當(dāng)時，，排除選項(xiàng)D，故選：B8、D【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D9、B【解析】計算出、的值，執(zhí)行程序框圖中的程序，進(jìn)而可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，則，執(zhí)行如圖所示的程序，，成立，則，不成立，輸出的值為.故選：B.10、B【解析】由導(dǎo)數(shù)的乘法法則救是導(dǎo)函數(shù)后可得結(jié)論【詳解】解：由題意，，所以.故選：B11、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，，故選：B12、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗(yàn)后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當(dāng)時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗(yàn)可知符合題意.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先利用正弦定理邊化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根據(jù)與的關(guān)系，求得，即可求得c的最小值.【詳解】，即，又，當(dāng)最大時，即，最小，且為由正弦定理得：，當(dāng)時，c的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.14、【解析】由，可得，，，從而利用換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，又，所以，所以，所以，故答案為?15、1【解析】由已知中一個四面體有五條棱長都等于2，易得該四面體必然有兩個面為等邊三角形，根據(jù)棱錐的幾何特征，分析出當(dāng)這兩個平面垂直時，該四面體的體積最大，將相關(guān)幾何量代入棱錐體積公式，即可得到答案【詳解】一個四面體有五條棱長都等于2，如下圖：設(shè)除PC外的棱均為2，設(shè)P到平面ABC距離為h，則三棱錐的體積V＝，∵是定值，∴當(dāng)P到平面ABC距離h最大時，三棱錐體積最大，故當(dāng)平面PAB⊥平面ABC時，三棱錐體積最大，此時h為等邊三角形PAB的AB邊上的高，則h，故三棱錐體積的最大值為：故答案為：116、【解析】根據(jù)解析式，可求得解析式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.詳解】∵，∴，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，交于，連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的大小.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，∵在正方體中，是正方形，∴是中點(diǎn)，∵為棱的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長為2，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，∴，∴直線與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角18、（1）；（2）.【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)求出m，并驗(yàn)證此時函數(shù)在x=1處取得極值，進(jìn)而求得答案；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值，然后求出m的范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，所以，此時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，即在處取得極小值，故.【小問2詳解】，令，解得.時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.，即的取值范圍是.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4)；（2）證明見解析.【解析】（1）求的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合定義域及導(dǎo)數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）法一：討論、時的零點(diǎn)情況，即可得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究在(0,2a)恒成立，結(jié)合單調(diào)性證明不等式；法二：設(shè)，由零點(diǎn)可得，進(jìn)而應(yīng)用分析法將結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明，綜合換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，當(dāng)a=2時，，則令得，x>4；令得，0<x<4；所以,單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4).【小問2詳解】法一：當(dāng)a≤0時，>0在(0,+∞)上恒成立，故函數(shù)不可能有兩個不相等的零點(diǎn)，當(dāng)a>0時，函數(shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不相等的零點(diǎn)，則，不妨設(shè)，設(shè)，（0<x<2a），則，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上單調(diào)遞減，即>=0，所以，即，又，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，所以，即法二：不妨設(shè)，由題意得，，得，即，要證，只需證，即證：，即，令，，則，所以在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞減，故<=0，即恒成立因此，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，法一：應(yīng)用極值點(diǎn)偏移方法構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化為在(0,2a)恒成立，法二：根據(jù)零點(diǎn)可得，再由分析法將問題化為證明，構(gòu)造函數(shù)，綜合運(yùn)用換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論.20、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）對遞推公式進(jìn)行變形，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，且，所以即，所以?shù)列是公差為2的等差數(shù)列.又，所以即；【小問2詳解】由（1）得，所以.故.21、（1）答案見解析（2）【解析】（1）首先由，，成等比數(shù)列，求出，再由①或②或③求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）求得的通項(xiàng)公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，可得，即，∵，故，選①:由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為選②:由，可得，即，所以，解得，所以；選③:由，可得，即，所以，解得，所以；【小問2詳解】由（1）可得，所以.22、（1）（2）證明見詳解.【解析】