第16講三角形及其性質(zhì)1.理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線等概念,了解三角形的穩(wěn)定性、探索并證明三角形的中位線定理.2.探索并證明三角形的內(nèi)角和定理,掌握它的推論,證明三角形的三邊關(guān)系定理.課標(biāo)要求知識(shí)梳理夯基礎(chǔ)重難突破提能力視野拓展培素養(yǎng)實(shí)戰(zhàn)演練精評(píng)價(jià)基礎(chǔ)對(duì)練1.串題練透考點(diǎn)已知△ABC.(1)若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,則△ABC按角分是

三角形;

(2)△ABC的周長(zhǎng)是14,三邊之比是3∶3∶1,則△ABC按邊分是

三角形.

直角等腰知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一三角形的分類直角等邊基礎(chǔ)對(duì)練2.[人教八上練習(xí)改編]下列長(zhǎng)度的三條線段首尾相接能構(gòu)成三角形的是()A.1,2,3 B.3,4,5 C.4,5,10 D.6,9,23.[人教八上習(xí)題改編]已知在等腰三角形ABC中,AB=8.(1)若BC=6,則△ABC的周長(zhǎng)是

;

(2)若BC=3,則△ABC的周長(zhǎng)是

;

(3)若△ABC的周長(zhǎng)是18,則另外兩邊的長(zhǎng)分別為

.

B20或22195,5或8,24.如圖所示,點(diǎn)D是△ABC的邊AC上一點(diǎn),點(diǎn)O是BD上一點(diǎn),連接CO.(1)若∠1=25°,∠2=20°,∠BOC=

°;

(2)若∠4=25°,∠A=60°,則∠3=

°;

(3)∠BOC

∠3

∠A(選填“>”“<”).

13585>>知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)二三角形的有關(guān)性質(zhì)1.三角形的三邊關(guān)系定理:三角形的兩邊之和

第三邊,三角形的兩邊之差

第三邊.溫馨提示

只需要判斷兩條較小線段的長(zhǎng)度之和是否大于最長(zhǎng)線段,即可判斷三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形.2.三角形具有穩(wěn)定性.大于小于3.與三角形的角有關(guān)的定理:(1)內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于

;

(2)外角和等于

;

(3)內(nèi)外角關(guān)系:三角形的一個(gè)外角等于與它

的兩個(gè)內(nèi)角的和,并且大于其中任何一個(gè)與它

的內(nèi)角.

180°360°不相鄰不相鄰基礎(chǔ)對(duì)練5.串題練透考點(diǎn)如圖所示,在Rt△ABC中,AD是高,AE是中線,EF垂直平分AB交AB于點(diǎn)F,∠ACD的平分線CP交AD于點(diǎn)P.(1)若△AEF的面積是2,BC=8,則△ABE的面積是

,△ABC的面積是

,AD=

;

482(2)若AB=6,BC=8,則△ABE的周長(zhǎng)是

;

(3)若∠ACB=60°,則∠DAC=

,∠PCD=

;

(4)若PD=1,AC=2,則△APC的面積是

;

(5)若AC=2,則EF=

,EF

AC(位置關(guān)系),∠BAC=

.

1430°30°11∥90°知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)三與三角形有關(guān)的重要線段類型圖示性質(zhì)拓展中線

重心:三角形三條中線的交點(diǎn).重心到三角形頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍,如AO=2ODS△ACD高垂心:三角形三條高的交點(diǎn)角平分線內(nèi)心:三角形三條角平分線的交點(diǎn).內(nèi)心到三角形

的距離相等

∠BAC三邊中垂線AM=BM且OM⊥AB,BN=CN且ON⊥BC外心:三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn).外心到三角形三個(gè)

的距離相等

中位線△ADE∽△ABC,它們的相似比為

,面積比為

頂點(diǎn)BC1∶21∶4核心考點(diǎn)1三角形中的特殊線段6.如圖所示,將三角形紙片ABC按下面四種方式折疊,則AD是△ABC的高的是()D7.如圖所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD,AE,BF分別是△ABC的高、中線和角平分線,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.∠ABF=∠CBF B.∠ABC=∠CADC.S△ABE=S△ACE

D.AF=CFD8.如圖所示,△ABC的周長(zhǎng)是16,AD是BC邊上的中線,AB=6,CD=3,則△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為()A.2 B.3 C.4 D.6AB10.(2025·連云港)如圖所示,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)D,E,AC的垂直平分線分別交AC,BC于點(diǎn)F,G,則△AEG的周長(zhǎng)為()A.5 B.6 C.7 D.8C核心考點(diǎn)2三角形的三邊關(guān)系11.(2025·銅仁市模擬)小穎同學(xué)有長(zhǎng)度分別為4cm和6cm的兩根木條,想再找一根木條與它們首尾相接組成三角形,則所找木條的長(zhǎng)可以是()A.2cm B.4cm C.10cm D.11cm12.已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于4,一邊長(zhǎng)等于9,則它的周長(zhǎng)為()A.9 B.17或22 C.17 D.22BD13.如圖(1)所示,將長(zhǎng)為6的矩形紙片沿虛線折成3個(gè)矩形,其中左右兩側(cè)矩形的寬相等,若要將其圍成如圖(2)所示的三棱柱形物體,則圖中a的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.4B14.四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示,對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí),對(duì)角線AC的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.4 D.5B核心考點(diǎn)3三角形內(nèi)、外角的有關(guān)計(jì)算15.(2024·貴陽(yáng)白云區(qū)模擬)下列圖形中,∠2大于∠1的是()D16.如圖所示,一把直尺的邊緣AB經(jīng)過(guò)一塊三角板DCB的直角頂點(diǎn)B,交斜邊CD于點(diǎn)A,直尺的邊緣EF分別交CD,BD于點(diǎn)E,F,若∠D=60°,∠ABC=15°,則∠1的度數(shù)為

度.

4517.如圖所示,AD是△ABC的角平分線,AE是△ABC的外角平分線,若∠DAC=20°,則∠EAC=

.

70°18.(2025·西安模擬)如圖所示,在△ABC中,D,E分別為AB,AC邊的中點(diǎn),BF=2CF,連接EF,交DC于點(diǎn)M,若DC=10,則MC的長(zhǎng)為()B19.(2025·昭通模擬)如圖所示,在△ABC中,AD是它的角平分線,AE是它的中線,AB=5,AC=3,BC=7,則ED長(zhǎng)為()C1.如圖所示,小明和亮亮分別站在池塘岸邊的點(diǎn)A,B處,為了估計(jì)他們之間的距離,笑笑在池塘一側(cè)選取一點(diǎn)O,測(cè)得OA=13m,OB=10m,則小明和亮亮之間的距離不可能是()A.5m B.10m C.22m D.25mD基礎(chǔ)過(guò)關(guān)2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.三角形的高、中線、角平分線都是線段B.三角形的三條中線一定交于同一點(diǎn)C.三角形的三條角平分線一定交于同一點(diǎn)D.三角形的三條高一定交于同一點(diǎn)D3.(2025·貴州清鎮(zhèn)期中)空調(diào)室外機(jī)安裝在墻上時(shí),一般都會(huì)采用如圖所示的方法固定,這種方法應(yīng)用的幾何原理是()A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.兩點(diǎn)之間線段最短C.三角形的穩(wěn)定性

D.垂線段最短C4.(2025·南充)如圖所示,把含有60°的直角三角板斜邊放在直線l上,則∠α的度數(shù)是()A.120° B.130° C.140° D.150°D5.如圖所示,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)D,則△BDC的周長(zhǎng)為()A.21 B.14 C.13 D.9C6.(2025·廣東)如圖所示,點(diǎn)D,E,F分別是△ABC各邊上的中點(diǎn),∠A=70°,則∠EDF等于()A.20° B.40° C.70° D.110°C7.如圖所示,AD,CE是△ABC的中線,連接ED,△ABC的面積是10,則△EDC的面積是()A.7.5 B.5 C.3 D.2.5DC9.如圖所示,已知在△ABC中,∠A=40°,將一塊直角三角板放在△ABC上,使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)B,C,直角頂點(diǎn)D落在△ABC的內(nèi)部,則∠ABD+∠ACD等于()A.90° B.60° C.50° D.40°C10.如圖所示,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠B=60°,∠D=45°,AC與DE相交于點(diǎn)F.若BC∥AE,則∠AFE的度數(shù)為

.

105°11.(2025·江蘇南通)如圖所示,DE是三角形ABC的中位線,點(diǎn)F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,則EF等于()A.4 B.3 C.2.5 D.1.5D素養(yǎng)培優(yōu)12.如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)E在BC邊上,連接DE交AC于點(diǎn)F,已知∠DFC=3∠B=123°,∠C=∠D,則∠BED的度數(shù)為()A.102° B.98° C.88° D.82°B13.(2025·德陽(yáng))△ABC在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),B(3,0