第八章典型的排隊(duì)模型分析一、排隊(duì)模型1.某理發(fā)店只有一名理發(fā)師，來理發(fā)的顧客按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)4人，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需6分鐘。①判斷排隊(duì)系統(tǒng)模型，畫出系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖；②理發(fā)店空閑的概率、店內(nèi)有三個(gè)顧客的概率、店內(nèi)至少有一個(gè)顧客的概率；③在店內(nèi)顧客平均數(shù)、在店內(nèi)平均逗留時(shí)間；④等待服務(wù)的顧客平均數(shù)、平均等待服務(wù)時(shí)間。012K-2KK012K-2KK+1…..…..②理發(fā)店空閑的概率：。店內(nèi)有三個(gè)顧客的概率：。店內(nèi)至少有一個(gè)顧客的概率：。③店內(nèi)顧客平均數(shù)：。在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間：（小時(shí)）。④等待服務(wù)的顧客平均數(shù)：。平均等待服務(wù)時(shí)間：（小時(shí)）。2.某銀行有三個(gè)出納員，顧客以平均速度為4人/分鐘的泊松流到達(dá)，所有的顧客排成一隊(duì)，出納員與顧客的交易時(shí)間服從平均數(shù)為1/2分鐘的負(fù)指數(shù)分布，試求①銀行內(nèi)空閑時(shí)間的概率；②銀行內(nèi)顧客數(shù)為n時(shí)的穩(wěn)態(tài)概率；③平均隊(duì)列長Lq④銀行內(nèi)的顧客平均數(shù)Ls⑤顧客在銀行內(nèi)的平均逗留時(shí)間Ws⑥等待服務(wù)的平均時(shí)間Wq解：模型識(shí)別與參數(shù)確定：該系統(tǒng)為多服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)系統(tǒng)M/M/C/∞/∞/FCFS。到達(dá)率λ=4人/分鐘平均服務(wù)時(shí)間1/μ=1/2分鐘?服務(wù)率服務(wù)臺(tái)數(shù)c=3服務(wù)強(qiáng)度ρ=①銀行內(nèi)空閑時(shí)間概率p0：p②銀行內(nèi)顧客數(shù)為n時(shí)的穩(wěn)態(tài)概率pnp③平均隊(duì)列長LqL④銀行內(nèi)的顧客平均數(shù)LsL⑤顧客在銀行內(nèi)的平均逗留時(shí)間WsW⑥等待服務(wù)的平均時(shí)間WqW3.某加油站有一臺(tái)油泵。來加油的汽車按泊松流到達(dá)，平均每小時(shí)二十輛，但當(dāng)加油站已有n輛汽車時(shí)，新來汽車中將有一部分不愿意等待而離去，離去概率為n／4（n=0,1,2,3,4）。油泵給一輛汽車加油所需要的時(shí)間為均值3分鐘的負(fù)指數(shù)分布。①畫出排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖；②導(dǎo)出其平衡方程式；③求出系統(tǒng)的運(yùn)行參數(shù)。解：根據(jù)題意，顧客按泊松流到達(dá)，＝20輛／小時(shí)，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，＝20輛／小時(shí)。一個(gè)服務(wù)臺(tái)，系統(tǒng)容量為N=4，離去的概率為n／4。狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖及狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣：0123401234即：，，，。由于，。③系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù)：。。()（輛/小時(shí)），或者。。。4.某停車場(chǎng)有10個(gè)停車位置，車輛按泊松流到達(dá)，平均每小時(shí)10輛。每輛車在該停車場(chǎng)平均存放時(shí)間為10分鐘，存放時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。試求①停車場(chǎng)平均空閑的車位；②一輛車到達(dá)找不到空閑車位的概率；③車輛到達(dá)停車場(chǎng)的有效到達(dá)率；④若該停車場(chǎng)每天營業(yè)10小時(shí)，則平均有多少臺(tái)車因找不到車位而離去？解：停車場(chǎng)車位固定，無車位時(shí)車輛離去，屬于M/M/c/c損失制排隊(duì)系統(tǒng)。服務(wù)臺(tái)數(shù)（車位數(shù)）：c=10到達(dá)率：λ=10輛/小時(shí)平均服務(wù)時(shí)間：1/μ=10分鐘=1/6小時(shí)?服務(wù)率μ=6輛/小時(shí)系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度（流量強(qiáng)度）：r=①停車場(chǎng)平均空閑的車位：對(duì)于損失制系統(tǒng)，平均占用的車位數(shù)（平均隊(duì)長）Ls為有效到達(dá)率與平均服務(wù)時(shí)間的乘積。首先需要計(jì)算p0和p由于r=1.667遠(yuǎn)小于c=10，系統(tǒng)處于滿員狀態(tài)的概率極低。由于e1.667≈5.29當(dāng)c較大時(shí)，分母近似于er，得到：平均占用車位數(shù)Ls：在M/M/c/c系統(tǒng)中，若ploss很小，則精確計(jì)算：L由于p10≈0，則Ls≈1.67。平均空閑車位②一輛車到達(dá)找不到空閑車位的概率(損失概率p10)根據(jù)愛爾朗損失公式：由于r=1.667代入上式得到：p即找不到車位的概率約為0.00085%。③車輛到達(dá)停車場(chǎng)的有效到達(dá)率λeλ即有效到達(dá)率約為10輛/小時(shí)。④每天營業(yè)10小時(shí)，平均因找不到車位而離去的車輛數(shù):平均每小時(shí)損失車輛數(shù)：λloss10小時(shí)總損失：10×5.有一臺(tái)電話的公用電話亭打電話顧客服從個(gè)／小時(shí)的泊松分布，平均每人打電話為3分鐘，服從負(fù)指數(shù)分布。試求①到達(dá)者在開始打電話前需等待10分鐘以上的概率；②顧客從達(dá)到時(shí)算起到打完電話離開超過10分鐘的概率；③管理部門決定當(dāng)打電話顧客平均等待時(shí)間超過3分鐘時(shí)，將安裝第二臺(tái)電話，問當(dāng)值為多大時(shí)安裝第二臺(tái)？解：相關(guān)參數(shù)：到達(dá)率服務(wù)時(shí)間平均服務(wù)強(qiáng)度①到達(dá)者在開始打電話前需等待10分鐘以上的概率：使用等待時(shí)間代入數(shù)值②顧客從達(dá)到時(shí)算起到打完電話離開超過10分鐘的概率：由P(③條件：管理部門規(guī)定平均等待時(shí)間W代入解得：答：當(dāng)?shù)竭_(dá)率超過10人/小時(shí)時(shí)，應(yīng)安裝第二臺(tái)電話。6.設(shè)一個(gè)維修組負(fù)責(zé)修理3臺(tái)相同的設(shè)備。每臺(tái)設(shè)備連續(xù)正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間長度相互獨(dú)立且服從平均值為9小時(shí)的負(fù)指數(shù)分布，設(shè)備當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)故障時(shí)停止運(yùn)轉(zhuǎn)，維修組每次只能修理1臺(tái)設(shè)備，故障修理時(shí)間服從平均值為2小時(shí)的負(fù)指數(shù)分布，試求：①指出該排隊(duì)系統(tǒng)的類型及參數(shù)，畫出排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移數(shù)度圖②求出穩(wěn)定狀態(tài)的概率分布，以及設(shè)備平均每次停止運(yùn)行的時(shí)間長度③設(shè)每臺(tái)設(shè)備每運(yùn)行一小時(shí)可創(chuàng)造凈產(chǎn)值的平均數(shù)為200元，每停止運(yùn)行一小時(shí)可造成平均數(shù)為100元的損失。試求這3臺(tái)設(shè)備平均每天的凈產(chǎn)值（每天按24小時(shí)計(jì)算）。①系統(tǒng)類型與狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：這是有限源排隊(duì)系統(tǒng)M/M/1/3/3。顧客源（設(shè)備數(shù)）：m=3服務(wù)臺(tái)數(shù)：c=1單臺(tái)設(shè)備故障率（到達(dá)率）：λ=1/9臺(tái)/小時(shí)修理率（服務(wù)率）：μ=1/2=0.5臺(tái)/小時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)n表示系統(tǒng)內(nèi)故障（停止運(yùn)轉(zhuǎn)）的設(shè)備數(shù)，n=0,1,2,3。狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖，如下圖所示：其中λ=1/9，μ=1/2②穩(wěn)定狀態(tài)的概率分布：根據(jù)有限源公式：pn=m!(m?n)!計(jì)算各項(xiàng)系數(shù)：n=0:Coeff=n=1:n=2:Coeff=n=3:求和得到p0?1：Sum=穩(wěn)態(tài)概率：p0ppp設(shè)備平均每次停止運(yùn)行的時(shí)間長度（即逗留時(shí)間Ws首先計(jì)算系統(tǒng)內(nèi)平均故障設(shè)備數(shù)LsLs計(jì)算有效到達(dá)率λe：λ平均停止運(yùn)行時(shí)間（逗留時(shí)間）：Ws③平均每天的凈產(chǎn)值：平均停止運(yùn)轉(zhuǎn)的臺(tái)數(shù)：Ls平均正常運(yùn)轉(zhuǎn)的臺(tái)數(shù)：K=m?Ls每小時(shí)平均凈產(chǎn)值Z：Z=K×平均每天凈產(chǎn)值：Total=384.57×即平均每天凈產(chǎn)值約為9230元。7.某排隊(duì)系統(tǒng)，顧客按參數(shù)為λ的泊松分布到達(dá)。當(dāng)系統(tǒng)只有一名顧客時(shí)，由一名服務(wù)員為其服務(wù)，平均服務(wù)率為μ；當(dāng)系統(tǒng)中有兩名以上顧客時(shí)，增加一名助手，并由服務(wù)員和助手一起共同對(duì)每名顧客依次服務(wù)，其平均服務(wù)率為m(m>①系統(tǒng)中無顧客的概率；②服務(wù)員及助手的平均忙期；③當(dāng)λ=15，μ=20，解：這是一個(gè)生滅過程，但服務(wù)率隨系統(tǒng)狀態(tài)變化。到達(dá)率：λn服務(wù)率：當(dāng)n=1時(shí)，μ1=μ；當(dāng)n≥2建立狀態(tài)概率關(guān)系：根據(jù)生滅過程平衡方程（流入=流出）：狀態(tài)0?1:λ狀態(tài)1?2:λ狀態(tài)k?k+1(k≥1):λ由此歸納出通項(xiàng)公式n≥1：p①系統(tǒng)中無顧客的概率：p0：由歸一化條件得n=0p令ρ'=Sum代入歸一化方程：p解得：p②服務(wù)員及助手的平均忙期（忙碌概率）：服務(wù)員忙碌概率P助手忙碌概率P③數(shù)值解計(jì)算p計(jì)算p服務(wù)員忙碌概率：P助手忙碌概率：Passt=1?0.4?0.3=0.38.高射炮陣地有三個(gè)瞄準(zhǔn)系統(tǒng)，每一瞄準(zhǔn)系統(tǒng)在每一時(shí)可只能對(duì)一架來犯敵機(jī)進(jìn)行瞄準(zhǔn)。假定敵機(jī)按泊松流來到，平均每分鐘到達(dá)1.2架。瞄準(zhǔn)時(shí)間按負(fù)指數(shù)分布，平均瞄準(zhǔn)時(shí)間為2.5分鐘。當(dāng)三個(gè)瞄準(zhǔn)系統(tǒng)分別對(duì)三架敵機(jī)進(jìn)行瞄準(zhǔn)時(shí)，則后來的敵機(jī)就會(huì)串如后方進(jìn)行轟炸。試求：①該高射炮陣地是哪一種服務(wù)系統(tǒng)；②試畫出系統(tǒng)狀態(tài)概率速度圖；③建立系統(tǒng)狀態(tài)概率關(guān)系；④系統(tǒng)空閑的概率；⑤敵機(jī)沒有遭到瞄準(zhǔn)射擊而串入陣地后方進(jìn)行轟炸的概率；⑥若要求未遭至瞄準(zhǔn)射擊的概率小于0.05，則應(yīng)設(shè)置多少瞄準(zhǔn)系統(tǒng)為宜？①系統(tǒng)參數(shù)與類型：到達(dá)率λ=1.2架/②狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖：③

建立系統(tǒng)狀態(tài)概率關(guān)系：根據(jù)M/M/c/c損失制模型（愛爾朗分布）：pp④系統(tǒng)空閑的概率p0：計(jì)算各項(xiàng)系數(shù)（a=3k=0:分母求和：1+3+4.5+4.5=13p⑤敵機(jī)未遭射擊的概率（損失概率ploss）：p意味著約34.62%的敵機(jī)能成功突防。⑥優(yōu)化服務(wù)臺(tái)數(shù)試試=試試結(jié)論：應(yīng)至少設(shè)置7個(gè)瞄準(zhǔn)系統(tǒng)。9.某汽車修理部有4個(gè)修理工，每個(gè)修理工可以單獨(dú)修理汽車，也可以和其他修理工合作共同修理汽車。前來修理部尋求修理的汽車按泊松流到達(dá)，平均每天到達(dá)2輛。當(dāng)修理部內(nèi)有4輛汽車時(shí)，后來的汽車將離去。修理一輛汽車所需時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，若一個(gè)修理工修理一輛汽車，則平均需3天；若兩個(gè)修理工修理1輛汽車，則平均需2天；若3或4個(gè)修理工修理一輛汽車，則平均需1.5天。試求：①畫出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；②求系統(tǒng)狀態(tài)概率；③求系統(tǒng)損失率；④求系統(tǒng)中平均的汽車數(shù)量；⑤求每輛汽車在系統(tǒng)中逗留的時(shí)間。解：依題意，因?yàn)樾蘩砉た梢韵嗷ズ献饕部梢詥为?dú)工作，可以把他們看成最多有4個(gè)服務(wù)臺(tái)的一個(gè)修理小組，所以該系統(tǒng)為M/M/4/4/∞/FCFS損失制排隊(duì)系統(tǒng)。輛／天，修理部的修理速度是一個(gè)變化的參數(shù)，具體如下：；；；。（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖：001234（2）系統(tǒng)狀態(tài)概率：；；；。由可得，；。（3）系統(tǒng)損失率。（4）系統(tǒng)中平均的汽車數(shù)量。（5）每輛汽車在系統(tǒng)中逗留的時(shí)間首先，。因此，每輛汽車在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間。補(bǔ)充題：某廠醫(yī)務(wù)室有2名同等醫(yī)療水平的大夫。已知患病者按泊松流來醫(yī)務(wù)室求診，平均每小時(shí)到達(dá)15人；診病時(shí)間平均每人6min，且服從負(fù)指數(shù)分布；醫(yī)務(wù)室最多能容納6位病人，若已有6位病人，后來的病人會(huì)到別處就診，問：（1）醫(yī)務(wù)室空閑的概率；（2）在醫(yī)務(wù)室逗留的病人及排隊(duì)等待就診的病人各為多少？（3）每位病人平均在醫(yī)務(wù)室等待的時(shí)間是多少？解：依題意，該系統(tǒng)為M/M/2/6/∞/FCFS混合制排隊(duì)系統(tǒng)。人／小時(shí)，人／小時(shí)，系統(tǒng)容量為6個(gè)人，超過則到別處就診。（1）醫(yī)務(wù)室空閑的概率：（2）排隊(duì)等待就診的病人：逗留的病人：（3）二、排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化1.今有兩名工人同時(shí)負(fù)責(zé)修理6臺(tái)同類設(shè)備，若設(shè)備故障按泊松流發(fā)生，且λ=①p0②今若每一修理工人負(fù)責(zé)修理3臺(tái)同類設(shè)備，試與上述合在一起的系統(tǒng)進(jìn)行比較分析。解：①合并修理（M/M/2/6/6模型）：參數(shù)：p0計(jì)算p將n=0,1,2,3,4,5,6代入上式子，得到：i=0p指標(biāo)計(jì)算：LLλW②方案二：分組修理（2個(gè)獨(dú)立的M/M/1/3/3模型）參數(shù)：ppppL方案二總故障數(shù)方案二完好率：結(jié)論：方案一（合并）優(yōu)于方案二（分組）某檢驗(yàn)中心為各工廠服務(wù)，要求作檢驗(yàn)的工廠到來服從泊松流，λ=48（次/天），每次來檢驗(yàn)由于停工等原因損失6元。服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，μ=25（次/天），每設(shè)置一個(gè)檢驗(yàn)員成本為4元/天。其他條件符合標(biāo)準(zhǔn)的解：根據(jù)題意，顧客到達(dá)服從泊松流，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，屬于M/M/c排隊(duì)系統(tǒng)。到達(dá)率(λ)：48次/天服務(wù)率(μ)：25次/天服務(wù)臺(tái)數(shù)(c)：待定變量（檢驗(yàn)員人數(shù)）服務(wù)成本系數(shù)(Cs損失成本系數(shù)(Cw)：6元/次（固定停工損失建立目標(biāo)函數(shù)：我們的目標(biāo)是使每天的總費(fèi)用期望值(Z)最小?？傎M(fèi)用由服務(wù)成本和停工損失兩部分組成：服務(wù)成本(Z1)：與檢驗(yàn)員人數(shù)cZ停工損失(Z2)：題目給出“每次來檢驗(yàn)損失6元”。這是一個(gè)與排隊(duì)等待時(shí)間無關(guān)的固定成本，Z總目標(biāo)函數(shù)(Z)：Z(c)=為了保證排隊(duì)系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行（即不會(huì)無限排隊(duì)，達(dá)到穩(wěn)態(tài)），服務(wù)強(qiáng)度ρ必須小于1：ρ=代入數(shù)值得到：48解得：c>由于檢驗(yàn)員人數(shù)c必須為整數(shù)，因此c的最小取值為2。即：c≥2

我們需要在滿足c≥2的條件下，最小化目標(biāo)函數(shù)Z(c)=4c+288。顯而易見，函數(shù)Z(c)是關(guān)于c的單調(diào)遞增函數(shù)（檢驗(yàn)員越多，每天支付的工資越高，而停工損失固定不變）。因此，取滿足約束條件的最小值即為最優(yōu)解：當(dāng)c=2時(shí)：Z(2)=4此時(shí)服務(wù)強(qiáng)度ρ=48當(dāng)c=3時(shí)Z(3)=4總費(fèi)用增加。結(jié)論：應(yīng)設(shè)置2個(gè)檢驗(yàn)員，此時(shí)總費(fèi)用期望值為最?。?96元）。3.某廠有一機(jī)修組專門修理某種類型的設(shè)備。已知該設(shè)備的損壞率服從泊松流，平均每天2臺(tái)。修復(fù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每臺(tái)修理時(shí)間為。但是一個(gè)與機(jī)修人員多少及維修設(shè)備機(jī)械化程度（即與修理組織年開支費(fèi)用）等有關(guān)的函數(shù)。已知：（元）；又已知設(shè)備損壞后，每臺(tái)每天的停產(chǎn)損失為400元，試決定該廠修理最經(jīng)濟(jì)的值及值。（提示：以一個(gè)月為期進(jìn)行計(jì)算）[解]題意分析。這是等待制排隊(duì)系統(tǒng)，到達(dá)率=2臺(tái)/天，服務(wù)率。每臺(tái)機(jī)子在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間天，因此，逗留費(fèi)用為。結(jié)合修理組織每月開支費(fèi)用為，目標(biāo)函數(shù)是最小化一個(gè)月（周期為30天）的總費(fèi)用。首先，畫出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖如下。0012……圖10系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖對(duì)于等待制排隊(duì)系統(tǒng)，可以計(jì)算出，船只平均逗留時(shí)間：。有效到達(dá)率，。（由得出）令一階導(dǎo)數(shù)得，，即。（注，二階導(dǎo)數(shù)大于零）4.設(shè)一套卸貨設(shè)備，每次只能給一條船卸貨，每周到達(dá)船數(shù)是服從參數(shù)為的泊松分布，卸貨時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。設(shè)卸貨費(fèi)用與卸貨速度成正比，其值為，船艇在碼頭上的費(fèi)用與時(shí)間成正比，其值為，和均為常數(shù)，