熱點7-3雙曲線及其應用雙曲線及其應用是高考數(shù)學的重點與難點，在近幾年高考數(shù)學試卷中，雙曲線的相關(guān)題型幾乎年年都會考到，屬于熱點問題。題型比較豐富，選擇題、填空題、解答題都出現(xiàn)過，主要通過雙曲線的定義、方程及性質(zhì)考查數(shù)學運算能力及轉(zhuǎn)化思想，難度中等偏難。【題型1雙曲線的定義及概念辨析】滿分技巧（1）在雙曲線定義中若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；（2）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；（3）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；（4）若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線?！纠?】（2023·全國·高三專題練習）已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A．射線B．直線C．橢圓D．雙曲線的一支【變式1-1】（2023·四川綿陽·高三南山中學?？茧A段練習）雙曲線C：（，）的一條漸近線過點，，是C的左右焦點，且，若雙曲線上一點M滿足，則（）A．或B．C．D．【變式1-2】（2023·河北·模擬預測）已知雙曲線的上、下焦點分別為，，的一條漸近線過點，點在上，且，則.【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知圓，圓，圓與圓、圓外切，則圓心的軌跡方程為．【變式1-4】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預測）（多選）已知復數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．方程表示的在復平面內(nèi)對應點的軌跡是圓B．方程表示的在復平面內(nèi)對應點的軌跡是橢圓C．方程表示的在復平面內(nèi)對應點的軌跡是雙曲線的一支D．方程表示的在復平面內(nèi)對應點的軌跡是拋物線【題型2利用定義求距離和差最值】滿分技巧利用定義||PF1|-|PF2||＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)及基本不等式求最值【例2】（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）已知拋物線上一點到準線的距離為是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的一動點，則的最小值為（）A．12B．11C．10D．9【變式2-1】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當?shù)闹荛L最小時，（）A．B．C．D．【變式2-2】（2023·四川南充·?？寄M預測）已知是離心率為的雙曲線的右支上一點，則到直線的距離與到點的距離之和的最小值為（）A．B．C．D．【變式2-3】（2022·天津南開·高三統(tǒng)考階段練習）已知雙曲線，點F是C的右焦點，若點P為C左支上的動點，設(shè)點P到C的一條漸近線的距離為d，則的最小值為（）A．B．C．8D．10【變式2-4】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點為A，左，右焦點分別為，，點P在其右支上，點，三角形的面積為，則當取得最大值時點P的坐標為（）A．B．C．D．【題型3雙曲線標準方程的求解】滿分技巧1、由雙曲線標準方程求參數(shù)范圍（1）對于方程，當時表示雙曲線；當時表示焦點在軸上的雙曲線；當時表示焦點在軸上的雙曲線.（2）對于方程，當時表示雙曲線；當時表示焦點在軸上的雙曲線；當時表示焦點在軸上的雙曲線.（3）已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應先將方程轉(zhuǎn)化為所對應曲線的標準方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值范圍的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍。2、待定系數(shù)法求雙曲線方程的五種類型（1）與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（2）若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，則可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（3）與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦點的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；（4）過兩個已知點的雙曲線的標準方程可設(shè)為eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)；（5）與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)【例3】（2023·全國·高三對口高考）與有相同漸近線，焦距，則雙曲線標準方程為（）A．B．C．D．【變式3-1】（2023·湖北荊州·高三松滋市第一中學?？茧A段練習）雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（）A．B．C．D．【變式3-2】（2023·天津?qū)幒印じ呷J臺第一中學校考期末）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線準線與一條漸近線交于點，則雙曲線的方程為（）A．B．C．D．【變式3-3】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線C：的漸近線方程為，左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線l交雙曲線的右支于M，N兩點，若的周長為36，則雙曲線C的方程為（）A．B．C．D．【變式3-4】（2023·四川樂山·統(tǒng)考三模）設(shè)為坐標原點，，是雙曲線：的左、右焦點．過作圓：的一條切線，切點為，線段交于點，若，的面積為，則的方程為（）A．B．C．D．【題型4雙曲線的焦點三角形問題】滿分技巧求雙曲線中的焦點三角形面積的方法（1）=1\*GB3①根據(jù)雙曲線的定義求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關(guān)系式；=3\*GB3③通過配方，利用整體的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面積。（2）利用公式求得面積；（3）若雙曲線中焦點三角形的頂角，則面積，結(jié)論適用于選擇或填空題。【例4】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線交雙曲線左支于兩點，且，若雙曲線的實軸長為8，那么的周長是（）A．5B．16C．21D．26【變式4-1】（2023·重慶·高三重慶八中?？计谥校┰O(shè)雙曲線的左?右焦點分別為，點在的右支上，且，則的面積為（）A．2B．C．D．【變式4-2】（2023·四川成都·高三?？计谥校┰O(shè)、分別是雙曲線：的左、右兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為（）A．5B．10C．D．20【變式4-3】（2023·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習）已知雙曲線的一條漸近線方程是分別為雙曲線的左、右焦點，過點且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點，則（）A．B．C．D．【變式4-4】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的左支交于，兩點，若，則的內(nèi)切圓周長為.【題型5求雙曲線的離心率與范圍】滿分技巧1、求雙曲線的離心率或其范圍的方法（1）求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.（2）列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范圍．（3）因為離心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相應c的值，進而求出離心率，能有效簡化計算．（4）通過特殊位置求出離心率．2、雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：當k>0時，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；當k<0時，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).【例5】（2023·天津北辰·高三統(tǒng)考期中）雙曲線的左、右焦點分別為，以為圓心，為半徑的圓與的左支的一個公共點為，若原點到直線的距離等于實半軸的長，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【變式5-1】（2023·全國·模擬預測）雙曲線的左、右焦點分別為，，點是其右支上一點．若，，，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【變式5-2】（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習）已知雙曲線的左?右焦點分別為為坐標原點，圓交雙曲線的左支于點，直線交雙曲線的右支于點，若為的中點，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【變式5-3】（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C的右支上一點，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式5-4】（2023·河南洛陽·高三洛陽市第八中學?？奸_學考試）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【題型6雙曲線的中點弦問題】滿分技巧解決中點弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立方程，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行舍而不求，從而簡化運算；2、點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入雙曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過雙曲線上兩點、，其中中點為，則有.證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴.【例6】（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點.若的中點坐標為，則E的方程為（）A．B．C．D．【變式6-1】（2024·陜西寶雞·?？家荒＃┰O(shè)，為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是（）A．B．C．D．【變式6-2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知直線過雙曲線的左焦點，且與的左?右兩支分別交于兩點，設(shè)為坐標原點，為的中點，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（）A．B．C．D．【變式6-3】（2023·上?！じ呷邔氈袑W?？级＃┎慌c軸重合的直線經(jīng)過點，雙曲線：上存在兩點A，B關(guān)于對稱，AB中點M的橫坐標為，若，則的值為.【變式6-4】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為是上的兩點，是的中點，為坐標原點，直線的斜率為，若，則的兩條浙近線的斜率之積為.【題型7直線與雙曲線相交弦長】滿分技巧求弦長的兩種方法：（1）交點法：將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．（2）根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被雙曲線截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：【例7】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的左、右兩支分別交于點，且，則的離心率為（）A．B．C．D．【變式7-1】（2023·湖南益陽·安化縣第二中學?？既＃┮阎p曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點，與x軸交于點P，若，則點P的坐標為.【變式7-2】（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線，過其右焦點的直線與雙曲線交于、兩點，已知，若這樣的直線有條，則實數(shù)的取值范圍是.【變式7-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，且當l垂直于x軸時，l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為4.（1）求C的方程；（2）證明：，求.【變式7-4】（2023·山東青島·高三統(tǒng)考開學考試）已知為坐標原點，，，直線，的斜率之積為4，記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線經(jīng)過點，與交于，兩點，線段中點為第一象限，且縱坐標為，求的面積.【題型8直線與雙曲線綜合問題】【例8】（2023·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學?？茧A段練習）如圖，雙曲線C：－＝1的中心O為坐標原點，離心率，點在雙曲線C上．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）若直線l與雙曲線C交于P，Q兩點，且，求＋的值．【變式8-1】（2023·湖北·高三天門中學校聯(lián)考期中）已知雙曲線C：的右焦點為，過F且斜率為的直線交C于A，B兩點，且當時，A的橫坐標為3.（1）求C的方程；（2）設(shè)O為坐標原點，過A且平行于x軸的直線與直線交于點D，P為線段的中點，直線交于點Q，證明：.【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是的左頂點，的離心率為2.設(shè)過的直線交的右支于、兩點，其中在第一象限.（1）求的標準方程；（2）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；否則，說明理由.【變式8-3】（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）已知在平面直角坐標系中，動點到的距離與它到直線的距離之比為，的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點作直線與曲線交于不同的兩點、（、在軸右側(cè)），在線段上取異于點、的點，且滿足，證明：點恒在一條直線上.【變式8-4】（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：，其漸近線方程為，點在上.（1）求雙曲線的方程；（2）過點的兩條直線AP，AQ分別與雙曲線交于P，Q兩點（不與點A重合），且兩條直線的斜率之和為1，求證：直線PQ過定點.（建議用時：60分鐘）圓錐曲線練習1．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則（）A．－4B．4C．D．2．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，則雙曲線的方程為（）A．B．C．D．3．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的左焦點為，過原點的直線與的右支交于點，若為等腰三角形，則點到軸的距離為（）A．B．C．3D．54．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：的左，右焦點分別為，，O為坐標原點，點P是雙曲線C上的一點，，且的面積為4，則實數(shù)（）A．B．2C．D．45．（2023·山西臨汾·校考模擬預測）已知雙曲線（，）的離心率為，圓與C的一條漸近線相交，且弦長不小于4，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．6．（2023·全國·模擬預測）已知直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線右支交于，兩點．若，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．7．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┮阎獧E圓與雙曲線有共同的焦點，，離心率分別為，，點為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點，且.若，則的取值范圍為（）A．B．C．D．8．（2023·安徽·高三懷遠第一中學校聯(lián)考階段練習）（多選）在平面直角坐