第04講正弦定理和余弦定理(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形個(gè)數(shù)問題角度2：利用正弦定理解三角形角度3：利用余弦定理解三角形角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用高頻考點(diǎn)二：判斷三角形的形狀高頻考點(diǎn)三：三角形面積相關(guān)問題角度1：求三角形面積角度2：根據(jù)面積求參數(shù)角度3：三角形面積的最值高頻考點(diǎn)四：三角形周長(zhǎng)相關(guān)問題第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、正弦定理1.1正弦定理的描述①文字語言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.②符號(hào)語言：在中，若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，則有1.2正弦定理的推廣及常用變形公式在中，若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，其外接圓半徑為，則①②；；；③④⑤，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）⑥，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）2、余弦定理2.1余弦定理的描述①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.②符號(hào)語言：在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是,則：；2.2余弦定理的推論；；3、三角形常用面積公式①；②；③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；4、常用結(jié)論在三角形中的三角函數(shù)關(guān)系①②③④⑤⑥若⑦若或第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形個(gè)數(shù)問題典型例題例題1．（2022·河南·南陽中學(xué)高二開學(xué)考試）在中，已知，則此三角形（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．無法判斷有幾解例題2．（2022·青海西寧·高一期末）在△ABC中，，，，則滿足條件的（

）A．無解 B．有一解 C．有兩解 D．不能確定例題3．（2022·天津·高一期中）在中，，，若該三角形有兩個(gè)解，則邊范圍是（

）A． B． C． D．例題4．（多選）（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，若解該三角形有且只有一解，則的可能值為（

）A．6 B． C． D．8題型歸類練1．（2022·山東濰坊·高一期末）在中，若，，，則此三角形解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定2．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高一期中）在中，，，，則滿足條件的（

）A．無解 B．有解 C．有兩解 D．不能確定3．（2022·山東棗莊·高一期中）在中，若，，，則此三角形解的情況為（

）A．無解 B．有兩解 C．有一解 D．有無數(shù)解4．（2022·福建·上杭縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，，，若三角形有兩個(gè)解，則邊的取值范圍是__________．角度2：利用正弦定理解三角形典型例題例題1．（2022·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知中，，則等于（

）A．或 B．或 C． D．例題2．（2022·吉林·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）中，，，，則（

）A． B．2 C． D．1例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，則等于（

）A． B．2 C．3 D．例題4．（2022·浙江·高一期中）在中，是邊上的一點(diǎn)，，，，則（

）A．15° B．30° C．45° D．60°題型歸類練1．（2022·新疆石河子一中高一階段練習(xí)）在中，??所對(duì)的邊分別為??，若，，，則（

）A． B． C． D．或，2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則（

）A． B． C．6 D．3．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）在中，A＝30°，C＝45°，c＝，則a的值為（

）A．2 B．1 C． D．4．（多選）（2022·福建省福州華僑中學(xué)高二期末）在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，已知，則角的值為（

）A． B． C． D．角度3：利用余弦定理解三角形典型例題例題1．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）在中，角所對(duì)的邊分別是，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則等于（

）A． B． C． D．例題3．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在中，，則___________.例題4．（2022·廣東省陽山縣陽山中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，，，，則______題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則等于（

）A． B． C．2 D．32．（2022·福建·莆田一中高一期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南邵陽·高一期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則c=（

）A．3 B． C． D．4．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，，，則__________.角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2022·云南昆明·高一期末）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．(1)求；(2)若，，求．例題2．（2022·北京一七一中高一階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，.(1)求的值；(2)求邊的值.例題3．（2022·重慶市二0三中學(xué)校高一階段練習(xí)）在△中，內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，且.(1)求；(2)若，，求△的邊的值.題型歸類練1．（2022·廣東·江門市第二中學(xué)高一期中）在銳角中，的對(duì)邊分別為，且(1)確定角的大小；(2)若，且，求邊.2．（2022·新疆·和碩縣高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，已知(1)求的值；(2)若，求的值.3．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，根據(jù)下列條件求相應(yīng)的值.（1）已知，，，求；（2）已知，，，求.高頻考點(diǎn)二：判斷三角形的形狀典型例題例題1．（2022·江蘇·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高一期末）在中，，，，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷例題2．（2022·江西省銅鼓中學(xué)高二開學(xué)考試）在中，角所對(duì)的邊分別是，且，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若在，則三角形的形狀一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形題型歸類練1．（2022·重慶一中高一期中）若三角形的三邊長(zhǎng)分別是3，4，6，則這個(gè)三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．不能確定2．（2022·河南·濮陽一高高二階段練習(xí)（理））某學(xué)生在“撿起樹葉樹枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動(dòng)中拾到了三支小樹枝（視為三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個(gè)三角形．經(jīng)測(cè)量，其長(zhǎng)度分別為，則（

）A．能作出二個(gè)銳角三角形 B．能作出一個(gè)直角三角形C．能作出一個(gè)鈍角三角形 D．不能作出這樣的三角形3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形高頻考點(diǎn)三：三角形面積相關(guān)問題角度1：求三角形面積典型例題例題1．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高一期末）在中，若，，則的面積為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中，，是三角形的三邊，是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．例題3．（2022·四川涼山·高二期末（理））在中，已知，，．(1)求角；(2)求的面積．例題4．（2022·福建·廈門市湖濱中學(xué)高一期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知，，.(1)求的值；(2)求的面積.例題5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若為邊上中線，，求的面積.例題6．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高三期末）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知向量，，且．（1）求角的大?。唬?）若，求面積．題型歸類練1．（2022·北京豐臺(tái)·高一期末）在中，若，，，則的面積為____________．2．（2022·全國(guó)·高一）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，.已知，則__，若，，則的面積為__.3．（2022·天津河?xùn)|·高一期中）在△中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，且，（1）求角A.（2）求△的面積.4．（2022·福建漳州·高二期末）在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面積．角度2：根據(jù)面積求參數(shù)典型例題例題1．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，，求的值；(2)在銳角△中，、、分別是角、、的對(duì)邊，若，，△的面積，求的值．例題2．（2022·四川省仁壽縣文宮中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知的內(nèi)角、，所對(duì)的邊分別為、、，且．（Ⅰ）求角的值．（Ⅱ）若的面積為，且，求的值．例題3．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）已知的周長(zhǎng)為，且.(1)求邊的長(zhǎng)；(2)若的面積為，求角的度數(shù).題型歸類練1．（2022·西藏·拉薩中學(xué)高三階段練習(xí)（理））的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，角，，成等差數(shù)列，．（1）若，求；（2）若的面積為，求．2．（2022·青?！の鲗幈蓖飧綄傩氯A聯(lián)外國(guó)語高級(jí)中學(xué)有限公司高三開學(xué)考試）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，．(1)求；(2)若，的面積為，求，．3．（2022·遼寧·沈陽二中高一階段練習(xí)）中，是角所對(duì)的邊，.(1)求的大小；(2)若的面積為，求的值.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，．(1)若，求的值；(2)若的面積，求的值．角度3：三角形面積的最值典型例題例題1．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高一期末）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．(1)求角；(2)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．例題2．（2022·河南安陽·高二期末（文））在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，且．(1)求角的大??；(2)若，求面積的最大值．例題3．（2022·福建泉州·高一階段練習(xí)）在中，已知向量，，且．(1)求；(2)若，求面積的最大值．題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若，求面積的最大值.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求△ABC的面積的最大值．高頻考點(diǎn)四：三角形周長(zhǎng)相關(guān)問題典型例題例題1．（2022·河北·大名縣第一中學(xué)高二期末）在銳角中，，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角的大小；(2)若，且，求的周長(zhǎng)．例題2．（2022·廣東廣州·高一期中）在中，內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，已知．(1)求角的大?。?2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．例題3．（2022·福建省福州高級(jí)中學(xué)高二期末）在中，.(1)求；(2)若的周長(zhǎng)為，求邊上中線的長(zhǎng).例題4．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（文））中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且的外接圓半徑滿足.(1)求角；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.例題5．（2022·黑龍江·龍江縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）在①，②的面積，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行求解.問題：在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知_________，.(1)求角.(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.題型歸類練1．（2022·山東·泰安市基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室高一期末）如圖，在四邊形中，，，．(1)求；(2)若，，求的周長(zhǎng)．2．（2022·湖南懷化·高二開學(xué)考試）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.(1)求；(2)若，求的周長(zhǎng).3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在