極限考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$的值是（）A.0B.1C.2D.不存在2.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$等于（）A.eB.1C.0D.不存在3.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在4.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，$\lim_{x\toa}g(x)=B$，則$\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))$等于（）A.A+BB.A-BC.ABD.$\frac{A}{B}$5.$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n^2+5}$的值是（）A.$\frac{3}{2}$B.1C.0D.不存在6.函數(shù)$f(x)=\frac{x}{|x|}$在$x=0$處極限（）A.等于1B.等于-1C.等于0D.不存在7.$\lim_{x\to2}(3x-1)$的值為（）A.5B.4C.3D.28.若$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，則$\lim_{x\to0}f(x)$等于（）A.0B.1C.-1D.不存在9.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}$的值是（）A.0B.1C.無窮大D.不存在10.$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{5x-2}$等于（）A.$\frac{2}{5}$B.$\frac{3}{2}$C.1D.不存在二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些極限值為1（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$C.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$D.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$2.關(guān)于極限$\lim_{x\tox_0}f(x)$，下列說法正確的是（）A.若函數(shù)$f(x)$在$x_0$處有定義，則極限一定存在B.極限存在與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義無關(guān)C.左、右極限都存在且相等時，極限存在D.函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，則函數(shù)在該點(diǎn)的值一定等于極限值3.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{x}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$C.$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}$4.$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$等于（）A.$\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)$（當(dāng)右邊兩極限都存在時）B.不一定存在C.0D.與$\lim_{x\toa}f(x)$和$\lim_{x\toa}g(x)$無關(guān)5.以下極限運(yùn)算正確的有（）A.$\lim_{x\to2}(x^2+1)=2^2+1=5$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=0$C.$\lim_{x\to3}\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{6}$D.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1$6.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，$\lim_{x\toa}g(x)$不存在，則（）A.$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$不存在B.$\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))$不存在C.$\lim_{x\toa}f(x)g(x)$不存在D.$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$不存在7.設(shè)$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x\tox_0}g(x)=B$，則（）A.$\lim_{x\tox_0}(f(x)g(x))=AB$B.當(dāng)$B\neq0$時，$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$C.$\lim_{x\tox_0}(f(x)+g(x))=A+B$D.$\lim_{x\tox_0}(f(x)-g(x))=A-B$8.下列極限中，值為0的有（）A.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^3+1}$9.極限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}$（）A.可通過因式分解化簡后求解B.值為-1C.與函數(shù)在$x=1$處的定義有關(guān)D.是$\frac{0}{0}$型的極限10.若$\lim_{x\to\infty}f(x)=C$（C為常數(shù)），則（）A.當(dāng)$x$趨于無窮大時，$f(x)$無限趨近于CB.函數(shù)$f(x)$有界C.函數(shù)$f(x)$在某區(qū)間上可能無界D.函數(shù)$f(x)$的圖像有水平漸近線$y=C$三、判斷題（每題2分，共20分）1.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則函數(shù)$f(x)$在$x_0$處一定有定義。（）2.$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2$。（）3.函數(shù)在某點(diǎn)的極限值一定等于該點(diǎn)的函數(shù)值。（）4.$\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$。（）5.如果$\lim_{x\toa}f(x)$和$\lim_{x\toa}g(x)$都不存在，則$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$也不存在。（）6.$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}=0$。（）7.若$\lim_{x\tox_0^+}f(x)=\lim_{x\tox_0^-}f(x)=A$，則$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$。（）8.$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{n}=\infty$。（）9.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$在$x=1$處極限存在。（）10.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{3x}=\frac{1}{3}$。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述函數(shù)極限存在的充要條件。函數(shù)極限$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在的充要條件是左極限$\lim_{x\tox_0^-}f(x)$和右極限$\lim_{x\tox_0^+}f(x)$都存在且相等。2.計算$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$。對分子因式分解，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，則原式$=\lim_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$。3.說明$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{k}{x})^x$（k為常數(shù)）的結(jié)果并簡述理由。結(jié)果為$e^k$。令$t=\frac{x}{k}$，則$x=kt$，當(dāng)$x\to\infty$時，$t\to\infty$，原式可化為$\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{kt}=[\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^t]^k=e^k$。4.當(dāng)$x\to0$時，比較$\sin2x$與$x$的無窮小階數(shù)。計算極限$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=2$，為非零常數(shù)，所以$\sin2x$與$x$是同階無窮小。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x+1,x\geq0\\1-x,x\lt0\end{cases}$在$x=0$處的極限是否存在。計算左極限$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(1-x)=1$，右極限$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x+1)=1$，左、右極限相等，所以函數(shù)在$x=0$處極限存在，值為1。2.討論$\lim_{x\to1}\frac{1}{(x-1)^2}$的極限情況。當(dāng)$x\to1$時，$(x-1)^2\to0$且$(x-1)^2\gt0$，那么$\frac{1}{(x-1)^2}\to+\infty$，所以此極限不存在，是正無窮大。3.討論函數(shù)極限與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系。函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該點(diǎn)極限存在且等于該點(diǎn)函數(shù)值；但函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，函數(shù)在該點(diǎn)不一定連續(xù)。比如函數(shù)可能在該點(diǎn)無定義或者極限值不等于函數(shù)值。4.若$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x\tox_0}g(x)$不存在，討論$\lim_{x\tox_0}(f(x)+g(x))$的情況。假設(shè)$\lim_{x\tox_0}(f(x)+g(x))$存在，根據(jù)極限運(yùn)算法則，$\lim_{x\tox_0}g(x)=\lim_{x\tox_0}[(f(x)+g(x))-f(x)]$也存在