6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示1|平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示知識點(diǎn)1.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.必備知識清單破2.平面向量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i,j,取{i,j}作為基底.

對于平面內(nèi)的任意一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj.

這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=

(x,y),此式叫做向量a的坐標(biāo)表示.(2)在直角坐標(biāo)平面中,以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作

=a,則點(diǎn)A的位置由向量a唯一確定.設(shè)

=xi+yj,則向量

的坐標(biāo)(x,y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo);反過來,終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量

的坐標(biāo).設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).重要結(jié)論:若A(x1,y1),B(x2,y2),則

=(x2-x1,y2-y1).2|平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示知識點(diǎn)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則向量a,b共線的充要條件是x1y2-x2y1=0.3|平面向量共線的坐標(biāo)表示知識點(diǎn)知識辨析1.當(dāng)表示向量的有向線段平移后,向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)是否會發(fā)生變化?向量的坐標(biāo)是否

會發(fā)生變化?2.當(dāng)兩個非零向量共線時(shí),通過坐標(biāo)如何判斷它們是同向還是反向?3.“設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?

=

”,這種表示正確嗎?1.向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)會發(fā)生變化;向量的坐標(biāo)不會發(fā)生變化,因?yàn)橄蛄康淖鴺?biāo)只與起點(diǎn)、

終點(diǎn)的相對位置有關(guān),而與它們的具體位置無關(guān).一語破的2.當(dāng)兩個向量的對應(yīng)坐標(biāo)同號時(shí),兩向量同向;當(dāng)兩個向量的對應(yīng)坐標(biāo)異號時(shí),兩向量反向.3.不正確.當(dāng)a,b中有一個為0或a,b的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))都為0時(shí),不能用該式表示.1|平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破1.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解.(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2.向量共線在幾何中的應(yīng)用可分為兩個方面:一是已知兩向量共線,求點(diǎn)或向量的坐標(biāo);二是

利用兩向量共線,證明三點(diǎn)共線或兩直線平行,當(dāng)兩向量有公共點(diǎn)時(shí)可確定三點(diǎn)共線,當(dāng)兩向

量無公共點(diǎn)時(shí)可確定兩直線平行.如圖,在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,M為CE的中點(diǎn),

用向量方法證明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三點(diǎn)共線.

典例

設(shè)|

|=1,則|

|=1,|

|=2,∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).(1)易得

=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),

=(0,1)-(1,0)=(-1,1),∴

=

,∴

∥

,又ED,BC不在一條直線上,∴DE∥BC.證明

如圖,以E為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,∵M(jìn)為CE的中點(diǎn),∴M

,∴

=(-1,1)-

=

,

=(1,0)-

=

,∴

=-

,∴

∥

.又MD與MB有公共點(diǎn)M,∴D,M,B三點(diǎn)共線.解題模板

用向量方法解幾何問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形特點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,為了

計(jì)算方便,建系時(shí)要盡可能使更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,使更多的線與坐標(biāo)軸平行(或垂直),利

用平面向量將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算問題.(2)連接MB,MD,

直線l上有兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),在l上取不同于P1,P2的任意一點(diǎn)P,存在一個實(shí)數(shù)λ,使

=λ

,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則有

=

+

,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.特別地,當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)P為P1P2的中點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.2|定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示定點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P1(0,1),P2(4,4),當(dāng)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).典例

解析

設(shè)P(x,y).當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)P1時(shí),

=

,由定比分點(diǎn)